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国家开放大学（中央广播电视大学）2014年秋季学期“开放本科”期末考试
常微分方程 试题（半开卷）
2015年1月
题号 一 二 三 四 五 总分
分数
L 微分方程 （j： —lnji）dji =。是（ ）.
A.线性方程 B.可分离变量方程
C.全微分方程 D.贝努利方程
2.若在全平面上连续且对j-满足李普希兹条件，那么方程等=/（工以）的任一解
的存在区间（ ）.
A.必为（ — co,0） B.必为（0,+co）
C.必为（―oo,+oo） D.因解而定
3.一阶线性非齐次方程组翌=必）丫+尸（工），丫=（少，・“点”的任一解的图像是九+1
维空间（工点1，…，乂,）中的（ ）.
A. 一个曲面 B. 一条曲线
C.—族曲线 D. 一族曲面
4. 若⑶&）,代（*）是二阶线性齐次微分方程的两个线性无关解，则它们（ ）共同零点.
A.在X—— 1处可以有 B.在工=0处可以有
C.不能有 D.在工=1处可以有
5.一阶方程芳=皿中，当a = 0时，其零解是（ ）.
A.渐进稳定的
B.稳定的
C.不稳定的
D.不存在
6.方程字=丿匸了的常数解是 .
7.方程幾=河11（工+了）的任一非零解 与x轴相交.
8.向量函数组在区间/上的朗斯基行列式W（z）=。是它们线性相关的
9.n阶线性齐次微分方程的所有解构成一个 维线性空间.
10,平面系统，
心 dt
得分评卷人
三、计算题（每小题8分，本题共40分）
求下列方程的通解或通积分:
11 电 _ 工+sinz
, dx ey
13.(J? +璞2 )& + %勺北=0
14.y = J + (
is. )2+1 ~ 0
得分评卷人 四、计算题（本题共15分）
16.求下列方程组的通解.
^=~x~2y
尊=3工+会
得分评卷人 五、证明题（本题共15分）
17.设/”（丁）在（―00, +oo）连续可微，求证：对任意的Xq E （―00, +co） , I 3»0 I VI,方程
黑=3 —
满足初值条件乂&）=%的解必在（一00,+8）上存在.
试卷代号：1。76
国家开放大学（中央广播电视大学）2014年秋季学期“开放本科”期末考试
常微分方程试题答案及评分标准（半开卷）
（供参考）
2015年1月
一、 单项选择题（每小题3分，本题共15分）
I.A 2. D 3. B 4. C 5. B
二、 填空题（每小题3分，本题共15分）
6.尸士 1
7.不能
8.必要
9.n
10.鞍点
三、 计算题（每小题8分，本题共40分）
II.解分离变量积分，得
= j（z + sin*）ckr + C （4 分）
e，= — cos* + C （8 分）
12.解 先解齐次方程，通解为
[业=_ [ + C
j y j x
BP y = C— （4 分）
x
令非齐次方程的特解为y^C（x）—
X
代入原方程，求出c（z）=二3 +C
原方程的通解为y = —(x3 + C)
X
用通解公式求解可参照给分
13.解 因为簣=2工丿=礬,所以原方程是全微分方程.
取(工0 ,北)=(0,0)，原方程的通积分为
J （x3 + xy2 + x2）dr =C
0
14 ,解 这是一个克莱洛方程，因此通解为
y=Cz +C + C2
15.解令寸= C代入方程，得
半=—（1 +站） ax
分离变量，积分
世 T&+C
z, = tan（— X. + C）
于是
掣=tan（— x + C） dx
积分，得通解为 ^=ln|cos（—x + C） l + G
四、计算题(本题共15分)
16 .解特征方程
-1-A
-2
I A-AE | =
4-A
特征根A1 = 2,入2 =1
（8分）
（3分）
（6分）
（8分）
（8分）
（3分）
（5分）
（8分）
（5分）
（7分）
Ai -2对应的特征向量为
1 ‘
b=l对应的特征向量为 （12分）
-1
2e21 –
+ C2 （15 分）
_3e七
五、证明题（本题共15分）
17.证明该方程在全平面上满足解的存在惟一性定理及解的延展定理.
又> =± 1是该方程的两个常数解. （5分）
现取工。€ （-oo,+oo）,|>0|<1,记过点（工。，义）的解为乂工）.一方面该解可向平面的无 穷远无限延展，另一方面又不能上下穿越丿=±1,否则将破坏解的惟一性.因此，该解只能在 区域G = l,x e （一 00, + 00）｝内沿z轴两侧无限延展，显然其定义区间必是
（—00, + 00）. （15 分）
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