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国家开放大学（中央广播电视大学）2014年春季学期“开放本科”期末考试
常微分方程试题（半开卷）
2014年7月
题号 一 二 三 四 五 总分
分数
6.一阶变量可分离微分方程M(x)N(y)dx4-P(x)Q(y)dy=0的积分因子 是 .
7.方程g = 满足初值解存在且唯一的区域是 ，
8.二阶方程/4-^/4-^^=0的等价方程组是 .
9.二阶线性方程/+y=0的基本解组是 .
等 = Fg)
奇点的充分条件是
話Qg)
生纟_^皂二 三、计算题(每小题8分,本题共40分)
求下列方程的通解或通积分:
11.(x2-l)y 4-2xy2=0
12.xy =-■/3? 4~y
13.(eI-^)dx4–^dy=0
14.y~xy +2 (J)，
15.工)”一j/ = 3工2
16.求下列方程组的通解.
零=2f
五、证明题（本题共15分）
17.在方程* = /3）g）中，已知 为），矿（Q在（一8, + 8）上连续，且时士D = 0.求证: 对任意正和|北丨VI,满足初值条件贝五）=災的解火工）的存在区间必为（一8,+8）.
试卷代号：1076
国家开放大学（中央广播电视大学）2014年春季学期“开放本科”期末考试
常微分方程试题答案及评分标准（半开卷）
（供参考）
2014年7月
一、 单项选择题（每小题3分,本题共15分）
I.B 2. C 3. D 4.B 5. A
二、 填空题（毎小题3分,本题共15分）
fi 1
N3）PCr）
7.满足|y|<l的条形区域
，
8 = *
8.<
9.cosx,sirhz
10.P（x0 ,y））=Q&o ,y）） = O
三、 计算题（每小题8分,本题共40分）
II.解 分离变量积分，得一丄心=宀参汚& （4分）
y 3 — 1）
积分得 丄=ln|/_i| + c
y
即通积分为rw’i+c 捋分）
12.解 将方程改写为 字％1-（纣 +乏,
dr \ x
令甘=%，则y =xu +製,代入上式得x段=_必 （4分）
分离变量积分得arcsinw =ln | x | + C.
即廿+乏=。 （8分）
X
14.解原方程是克莱洛方程，通解为
y=Cx +2C3 （8 分）
15.解 令则= 代入有
上等—2=3工2 （4分）
解此线性非齐次方程通解为Z = 3./+Gx
即奖=3z2+Gz
dz
原方程通解是 ,=工3 +§G工’+ G （8分）
四、计算题（本题共15分）
16.解特征方程
2 一人 —3
I A-AE 1= =（人 + 1）。一1）=0
1 -2-A
特征根为丄=1〃 2 = — 1 （5分）
[31i]
A,和如对应的特征向量分别是 和 （10 分）
uJi）
•Z3e!e”
原方程组的通解是 =Ci + c2 （15 分）
e’e-
五、证明题（本题共15分）
”.证明 由已知条件，该方程在整个xoy平面上满足解的存在唯一及解的延展定理 条件.
显然y = ±l是方程的两个常数解. （5分）
任取初值（工°，M）,其中血€ （― 8, +oo）, |北| V 1.记过该点的解为y=y（.2：’），由上面分 析可知，一方面y = y（x）可以向平面无穷远处无限延展;另一方面又上方不能穿过y = 下方 不能穿过丁 = 一 1,否则与惟一性矛盾.故该解的存在区间必为（-ao,+oo）. （15分）
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