微信小程序试卷代号:1076 座位号匚口
中央广播电视大学2013-2014学年度第一学期“开放本科”期末考试（半开卷）
常微分方程试题
2014年1月
题号 一 二 三 四 五 总分
分数
1.一阶线性微分方程票+心”*&）的积分因子是（ ）.
A.兴=』<脸
C.必=eT心壮 B.必=小脸
D.必=eb(I)dl
2.方程票=尸过点（1,1）的解的存在区间是（ ）.
A. ( — 00, +oo)
C. (0, + oo) B. (一00,2)
D, (1 , +oo)
3.线性非齐次方程组^ = A（x）Y+F（x） ,Y= , – ,>„）T的所有解（ ）.
A.构成一个”维线性空间
C.不是线性空间 B.构成一个”+1维线性空间
D.构成一个无穷维线性空间
4.用特定系数法求方程/+>=xsinx的非齐次特解队，少应设为( ).
A.yx =Axsinx
B.=x(Ax+B)sinx+x(Cx+D)cosx ‘
C.= (Ax+B)sinx
D.= (Ax+B)sinx+(Cx+D)cosx
^ = 2x+y
5.平面系统的奇点类型是（
4+4,
A.鞍点
C.不稳定焦点 ）.
B.不稳定结点
D.稳定焦点
得 分 评卷人 二、填空题(毎小题3分,本題共15分)
光=凡3)
6.初值问题〈& 的解所满足的积分方程是 .
y(xo)=3,o
7.方程¥=Hsin&+少满足解的存在惟一性定理条件的区域是 .
8.二阶方程/+/(x)y+g(x)y=O的等价方程组是 .
9.二阶线性齐次微分方程的两个解⑶(z),知(z)为基本解组的充要条件是这两个 解 .
10.纯量方程笑=皿中，当aVO时，其零解是 稳定的.
得分|评卷人 三、计算题(毎小题8分，本题共40分)
求下列方程的通解或通积分：
M•翌=気寸_1)
12,掣=2乏+ 2工3
ox X
13.~dx+ (y3 +lnx)d;y=O
工
14.y=xyf + yf2
15.xy +y，==4x
16.求方程5y，==sin5x的通解.
418
评卷人 五、证明题(本通共15分)
17.试证明：对任意&及满足条件0<y0< 1的外，方程 dy_ y(y—1) d^_r+P+7
的满足条件y(x0)=>o的解y=y(x)在(一8,+8)上存在.
试卷代号：1。76
中央广播电视大学2013-2014学年度第一学期“开放本科”期末考试（半开卷）
常微分方程试题答案及评分标准
（供参考）
一、 单项选择题（每小题3分，本题共15分）
1. D 2. B 3. C 4. B
二、 填空题（每小题3分，本题共15分）
6.+ f /（5,>（5））d5 （或 > =>o + f /（5?>）d5）
J工0 J工0
7.全平面
2014年1月
5. A
虫一
dr
鷲=—— g（x）y
9 •线性无关
10.渐进
三、计算题（毎小题8分，本题共40分）
1L解 当了尹1时，分离变量积分得 j 7^id>=fdj: + Ci
In
=JC
解得通解y=\t^
12.解齐次方程的通解为:y=CrZ 设原方程的通解为y = C（x’）x2 代入原方程，得C（x）=x2+C 所以，原方程的通解为了=那（工2 +c） 用通解公式求解可参照给分
（4分）
（8分）
（4分）
（8分）
13.解 因为羿=丄=羿,所以原方程是全微分方程. （3分）
ay x ax
取（孔，％） = （1,0），原方程的通积分为
f —dx + f v3 d v = C
J 1 XJ 0
即 >lnx + y>4 =C （8分）
14 .解克莱洛方程,通解为
> = Cr +C2 （8分）
15.解令y =z,y =z代入方程，得
x 字 + z = 4x dx
即（zx ）’ = 4x （3分）
积分，得 zx =2×2 + C
即 z = 2工+ C
X
于是 孚=2工
dx x
原方程的通解为
y =x2 + Cln | x | + C] （6分）
（8分）
四、计算题（本题共15分）
16.解 方程的特征根为入1=0,人2 =5
齐次方程的通解为:V = G （6分）
因为q 士甲=士5£不是特征根.所以，设非齐次方程的特解为
yi （x） — Asin5x + Bcos5x
代入原方程，比较系数得
-25A + 25B = 1
-25A-25B=O
确定出卜—备必吧 （12 分）
原方程的通解为y = G + C2e5x +丄（cos5z — sin5x）
50 （15 分）
五、证明题（本题共15分）
在全平面上连续，所以原方程在全平面上満足解的存在惟一性定理及解的延展定理条件.
（7分）
又显然y = O,y = 1是方程的两个特解. （10分）
现任取女6 （一 00,+8）,丸6（0,1）,记丿=r（z）为过（女，贝）的解，那么这个解可以惟 一地向平面的边界无限延展，又上不能穿越y = l,下不能穿越y = 0,因此它的存在区间必为 （—00, 4-00）. （15 分）
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