微信小程序中央广播电视大学2012-2013学年度第二学期“开放本科”期末考试（半开卷）
常微分方程试题
2013年7月
题号 — 二 三 四 五 总分
分数
1.方程^=fcosv的所有常数解是（ ）.
A. > = 0 B-y=f
厂 3兀 c.» = w D. y =号 + 饭 M = 0, 士］, 士 2,…
2.方程翌=“ +丨的奇解（ ）
A.—个也没有 B.有无数个
C.只有一个 D.只有两个
3,方程栄=丁过点（1,1）的解的存在区间是（ ）.
A. (— 00, + co) B. (-8,2)
C. (0, +8) D. (1, +oo)
4.一阶线性非齐次微分方程組的任两个非零解之差（
A.不是其对应齐次微分方程组的解 B.是非齐次微分方程组的解
C.是非齐次微分方程组的通解 D.是其对应齐次微分方程组的解
435
5.平面自治系统在相平面上的一条轨线，对应（ ）积分曲线.
A. 一条 B.两条
C.无穷多条 D.三条
n~分!评卷人
二、填空题（每小题3分，本题共15分）
6.方程zsin^dH + ycoszdy =0的所有常数解是
7.方程学=石满足初值解的存在且惟一性的区域是
8.有界是保证方程擘=/Cr,y）初值解惟一的 条件.
9.二阶方程y ++ g（i）y —0的等价方程组是
斧=2h + 3j
10. 平面系统｛的奇点类型是
栄=，+ 3y
得分评卷人
三、计算题（每小题8分，本题共40分）
求下列方程的通解或通积分：
11.尊=y(y~ 1). dr
12. 工学=y — .
13.e’cLr + (xe^ + 2y)dy =0.
14., = ‘ + 2 ( j/ ) 3.
15.yy，f + (yf)2 + 3×2 =0.
四、计算题（本题共15分）
16.求下列方程组的通解
cLr
瓦=、
五、证明题（本题共15分）
17.证明：一阶微分方程
dy _ siny 万=尘2 +y + 1 的任一解的存在区间必是（一 8, +8）.
试卷代号：1076
中央广播电视大学2012-2013学年度第二学期“开放本科”期末考试（半开卷）
常微分方程试题答案及评分标准
（供参考）
一、 单项选择题（每小题3分，本题共15分）
I.D 2, A 3. B 4.D
二、 填空题（每小题3分，本題共15分）
6.1 = 奇 +龙兀，3=悬,4=0, 土 1, ±2,…
7.满足’>0的上半平面
8.充分
dy
9.<
票= —f（x）yi —
10.不稳定结点
三、 计算题（每小题8分，本题共10分）
II.解 当yCy-1） # 0时，分离变量，得
积分，得j乾1r心=］打+伝
或［（一—丄）dy=［dj7 + G
J y — 1 y j
In I jr — 1 In I I =x + Ci
2013年7月
5. C
（3分）
（5分）
通积分为宁=*
（8分）
12.解 方程改写成尹=2—工2
cLr x
齐次通解为y = Cx
令非齐次解为y = C（i）H
代入得 C（z）=-*z+c
原方程通解为V = Gr — §z3
13.解由于* = e>=祭，所以原方程是全微分方程.
dy dx
取（工0 ,火）=（0,0）,原方程的通积分为
I” eydx + I 2ydy = C
J 0 J 0
即 xey + y2 =C
14•解 原方程是克莱洛方程，通解为
,=Gr + 2C3
15•解原方程是恰当导数方程，可写成
（yyf +□?）’=。
即刀’+了3=0
分离变量解此方程，通积分为
y/=Gh — +G
四、计算题（本题共15分）
—A 1
16.解特征方程为；|A—*?|= =0
2 1 — A
即 A2 -A-2=0
特征根为A）— 2（Az = — 1
A, =2对应特征向量应满足
-2 1 1 pl!
_ 2 1 – 2] [i,
同样可算出旗=一1对应的特征向量为
^2_
一 1
所以，原方程组的通解为:
五、证明题（本題共15分）
17.证明方程在全平面上满足解的存在唯一性定理的条件，又v = 以=0, 士 1, ±2, …，是方程的常数解. （6分）
对平面上任取的危。，丸）
若丸=虹则对应的是常数解y=kn其存在区间显然是（一 8, +oo）
若丸£ （for,以+1″）则过该点的解可以向平面无穷远无限延展，但是上下又不能穿越 y = kn和/ =以+ 1）汗，于是解的存在区间必是（-00, +«）. （15分）
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