中央广播电视大学2012—2013学年度第一学期“开放本科”期末考试（半开卷）
常微分方程试题
2013年1月
题号 一 二 三 四 五 总分
分数-
5.已知方程◎庠+ 工的一个特解为宀又对应齐次方程+ 。有一个特解为
1心，则原方程的通解为（ ）.
A* y = G + C2 luz + ^c2 B. = Q x + C2 Inx + x2
C. y—C^2 + CtInr + x2 D. r =G±* + C2Inx + x2
得 分评卷人
二、填空题（每小题3分,本题共15分）
6.方程等=xtany的所有常数解是.
7.方程等+ ysinx = b的任一解的存在区间必是.
8.向量函数组YjU） ,Y2a）,-,Y„（x）线性相关的
W(x)=O.
9.二阶方程矿+巧’+工勺=。的等价方程组是.
dx =
的奇点0(0,0)的类型是.
心
-—”T -T- 41
At y
求下列方程的通解或通积分:
12.单十2却 =4z. dr
13. 2xy&x + (x2 )dy = 0.
y
14. y —xy’ + yn.
15. y3 y + 1 =0.
的任一解y = 丁（力）均在’ 00, + C0）上存在.
试卷代号：1076
中央广播电视大学2012-2013学年度第-■学期”开放本科”期末考试（半开卷）
常微分方程试题答案及评分标准
（供参考）
2013年1月
一、 单项选择题（每小题3分，本题共15分）
I.D 2. C 3. B 4.D 5. A
二、 填空题（毎小题3分,本题共15分）
6.y ~krc = 0, dz 1 > ± 2,
7.（— co, + co）
8.必要
y ~ yi
9 J ,
,yi，=_” —x2y
10.稳定焦点
三、 计算题（毎小题8分，本题共40分）
II.解 当y^l时,分离变量积分，得
J+ C （4分）
arcsinj* = arcsinr + C
3? =sm（arcsinx + C） （8 分）
12.解对应的齐次方程
+ 2冲=。
的通解为以=0彳 （4分）
令非齐次方程解为；^ = C（x）e_x2
代入原方程，得CG） =2或+C
原方程通解为以=备”+2 （8分）
435
13.解 因为 M(x,y) —2xy,N(x,y) ~x2 \
y
3M 9 dN
ZXZ Z T = ”一・
dy dx
所以，原方程是全微分方程.
取，外）=（0,1）,原方程的通积分为
w 卩 1
2xydx + d_y = Ci
o J i y
14.解克莱洛方程,通解为
y^Cx+Cz
I
pdp = — —
积分，得
尸号+ c = L^*
dy = 士 Jl + Ox’
dx y
分离变量，积分得［= 士 |dz + G J + cy J
原方程的通积分为l + 0/=（Gr+G）2
四、计算题（本题共15分）
16.解 特征方程为号一以一5=0,
特征根为Ai = ― 1 ?Az = 5,
Ai=-1和A2 =5对应的特征向量分别为
■ 11 rr
f .
_1 2 –
故原方程组的通解为
「萨一
+ G （15 分）
_2e5,_ 五、证明题（本题共15分）
17.证明由已知条件，方程在全平面上满足存在唯一性定理及解的延展定理条件.
（6分）
由已知条件容易证明/（0） =0,于是方程有无穷多个常数解y=mr,” = 0, 士 1, 士 2,…，它 们是平面上的一族平行直线. （9分）
设，又）是任一初始点，则相应的初值解的函数图像或者是上述平行线中的 一条,或是介于某两条平行线之间.由解的唯一性和延展定理易知其存在区间为（-00,4-00）.
（15 分）
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