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中央广播电视大学2011-2012学年度第二学期“开放本科”期末考试（半开卷）
常微分方程试题
2012年7月
题号 一 二 三 四 五 总分
分数
1.•阶线性微分方程学的积分因子是（ ）.
2.方程早一过点（¥，1）共有（ ）个解.
d_r Z
A.无数 B.-
C,两 D.三
3. —阶线性非齐次方程组的任意两个非零解之和（ ）■
A,不是其对应齐次方程组的解 B.是其对应齐次方程组的解
C.仍是原方程组的解 D.是原方程组的通解
4. 若”r）9（.r）是二阶线性齐次微分方程的两个线性无关解，则它们（）共同零点.
A. & .r=- 1处可以有 B.在了 = 0处可以有
（：.没有 D.在工=1处可以有
A.焦点
（’.鞍点
得分评卷人
二、填空题（每小题3分，本题共15分）
6.一阶变量可分离微分方程 M&）N（》）& + P（H）Q（y）dv = 0的积分因子
是.
7.方程^=HsinGr + y）满足解的存在惟一性定理条件的区域是 .
QX
8.常微分方程的一个不可延展解的存在区间一定是 区间•
9.”阶线性齐次微分方程的n个解饥（z）,…，代（工）构成基本解組的充分必要条件
是 •
話P3
10.点（五，方）是方程组J奇点的充分条件是
$=Q（W）
—~~空 评卷人- 三、计算题（每小题8分，本题共40分）
求下列方程的通解或通积分:
13,—d.r + （y3 + IruOdy =0. •T
14.>=^,+y +（y）2.
15.刀〃 + 必 + 1 =0.
得分评卷人
四、计算题(本题共15分)
16.求下列方程組的通解
得分评卷人
五、证明题(本题共15分)
17.试证明：对任意儿及满足条件0 Vy。＜ 1的协，方程
dy y(v—1)
d.r 1 + h’ + 丁
的満足条件.v(_r ) : _y＜的解v =^(.r)在(一8, +oo)上存在.
试卷代号：1076
中央广播电视大学2011-2012学年度第二学期“开放本科’‘期末考试（半开卷）
常微分方程试题答案及评分标准
（供参考）
2012年7月
一、 单项选择题（每小题3分，本题共15分）
I.D 2. A 3. A 4.C 5.B
二、 填空题（每小题3分，本题共15分）
6/ = N（少 P（_r）
7.全平面
8.开
9.线性无关（或填写：朗斯基行列式不为零）
10.P（jo ,y0~） =Q（x0 ＞）= 0
三、 计算题（每小题8分，本题共40分）
II.解 当丿共1时.分离变量积分得
J云很如=JcLr + G （4分）
In 三4 =x+G，仁4=Ce，
y + i v + i
解得通解v= 挡得 （8分）
12.解令y = m.则翌=“+工半,代入原方程.得
dx dr
了器=5 -必 （3分）
分离变量.取不定积分，得
[—T = f ^ + lnC （C#0） （6 分）
原方程的通积分为:arcSin^ = lnCr
X
13.解 因为祟一丄=辭，所以原方程是全微分方程.
<iy x dx
取& ,y）=（l,O）,原方程的通积分为
| ； chr + | 寸 dy = C
即 m + h=C
M.解这是一个克莱洛方程.因此通解为
v-Cr+C + CZ
15.解原方程为恰当导数方程，可改写为
（外）=—I
即 》’= —z + G
分离变fit，取积分卜如=j（—工+ G ）d.r + C, 得原方程的通积分为=-| （x-C,）2+C,
四、计算题（本题共15分）
16.解特征方程为
I3-A 4
.4 – | = 1 =（人+ 2）以一7）=0
| 5. 2-A
特征根为芸=一2,据=7
-1 ]
求出丄 一2对应特征向量为
/5」
再求出A. – 7对应的特征向量为[J
所以，原方程?II的通解为
五、证明题(本题共15分)
17.证明由于/0 = ]*草2
r ” 、 (2j-l)(l +x2 +>2)-.y(y- 1)2>
/，(x,>)=— ―(1+八刃2
在全平面上连续，所以原方程在全平面上满足解的存在惟一性定理及解的延展定理条件・
(7分)
又显然>=0,y= 1是方程的两个特解. (10分)
现任取了。6 (-oo,+oo),y„ 6 (0.1),记为过(xo,5-o)的解.那么这个解可以惟 一地向平面的边界无限延展，又上不能穿越，=1，下不能穿越丿=0,因此它的存在区间必为 (—co, + Q0). (15 分)
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