微信小程序试卷代号：1076
中央广播电视大学2011-2012学年度第一学期“开放本科”期末考试（半开卷）
常微分方程试题
2012年1月
题号 一 二 三 四 五 总分
分数
1. 微分方程工（寸一1）& + »（工2 _1）心=0的所有常数解是（ ）.
A.? = 士1，二=士1 B. y = ± 1
C.工=士 1 D. y = 1 = 1
2. 方程罕=石过点（0,0）的积分曲线（ ）.
A.有惟一一条 B.有无穷多条
C.只有二条 D.不存在
3.若f（x,y）在全平面上连续且对，满足李普希兹条件，那么方程等=/（工以）的任一解
的存在区间（ ）.
A.必为（一oo,0） B.必为（0,+8）
C.必为（一 00,+ 00） D.因解而定
4.三阶线性齐次微分方程的所有解构成一个（ ）线性空间.
A. 1维 B. 2维
D.4维
等=2工+ 丁
5.平面系统」 的奇点类型是（ ）・
孚=3工+ 4，
A.鞍点
B.不稳定结点
C.不稳定焦点
D.稳定焦点
—一色评卷人_ 二、填空题（毎小题3分，本题共15分）
6.初值问题jd* 的解所满足的积分方程是 ■
顷五）=>0
7.方程祟=x2 + cosy满足解的存在惟一性定理条件的区域是 •
8.方程笠=缶了 的奇解是 .
9.二阶线性方程寸‘ + 了 = 0的基本解组是 .
10.向量函数组在区间I上的朗斯基行列式W&） =0是它们线性相关的 条件.
求下列方程的通解或通积分:
11.孕=5凹.
13.e->dx — (2j» + jse~J)djj =0.
14.(j/)2 — 2xyf + 1 = 0.
15.x/+3′)2 =0.
得分 评卷人 四、计算题（本题共15分）
16.求下列方程组的通解
dZ = 5x + 4>
X + 5y
17.证明：若yCx）是初值问题
掣=P（x）sin>
）（0） =0
的解，则>（x） -0,其中P（x）在区间（一00, +8）上连续.
试卷代号：1076
中央广播电视大学2011-2012学年度第一学期“开放本科”期末考试（半开卷）
常微分方程试题答案及评分标准
（供参考）
2012年1月
一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）
1. A
2.B
3.D
4.C
5.B
二、填空题（每小题3分，本题共15分）
6.了 = % + [ /（5,y（5））d5（或 y = y0+ [ /（5,^）d5）
J工。 J工。
7.全平面
8.7 = 士1
9.cosx,sinx
10,必要
三、计算题（每小题8分，本题共40分）
11.解 当1时，分离变量取不定积分，得
[-^ = [dx + C
J ylny J
通积分为：lny = CW
12 .解先解齐次方程，通解为
j y =-j” + C
（4分）
（8分）
即 y=C —
x
（4分）
令非齐次方程的特解为y = C（x）主
X 代入原方程，求出C（x）=工3 +C 原方程的通解为丿=主（工3+0
X
（8分）
13, 解 = e_> = — (2y + j：e~y )
dM _v 3N
dy dx
因此，原方程是全微分方程.
取&0以0）= （0,0），原方程的通积分为
* fy
e~y dx — 2ydy = C
0 J 0
14.解令y’=p,则工=赤+等，原方程的参数形式为
[y
心=》（—去+§）當=（一法+专）當
积分有 y = ~ yin\p\ + 扌# + c
得原方程参数形式通解《
工=我+身
3? = — -yin\p\ + -^p2 + C
15 •解 原方程为恰当导数方程，可改写为
(yyfY =。
即 yyf =C
积分得通积分寸=C^ + C2
四、计算题（本题共15分）
16 .解特征方程为
|A-AE| =
5-A
5-A
特征根为:Ai = 1 ,A2 =9,
544
（3分）
（6分）
（8分）
（3分）
（7分）
（8分）
（4分）
（8分）
（5分）
当丄=1时，对应特征向量U满足：
则有a + b = 0.
X]”i r 1 取a =l,b = — l,对应解为： —
)1」 L I
同理，当人2 =9时，对应特征向量为:
所以，原方程组的通解为：g=Ge’
+5；
（10 分）
（12 分）
（15 分）
五、证明题(本题共15分)
17.证明因为f(x,y) = p(x)stny, fry(x,y) = p(x)cosy,由已知条件，方程在全平面上
满足解的存在惟一性定理的条件. (6分)
又显然，贝工)三0是方程的一个常值解，且满足初值条件＞(0)=0, (10分)
因此，由解的惟一性,若函数＞(x)是该方程满足＞(0) =0的解，那么＞(x)三0. (15分)
545
点点赞赏，手留余香
给TA打赏
请先 ！