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中央广播电视大学2010-2011学年度第二学期“开放本科”期末考试（半开卷）
常微分方程试题
2011年7月
题号 —’ 二 三 四 五 总分
分数
色 分 评呸 二、单项选择题（每小题3分,本题共15分）
得分| |6. 一阶线性非齐次微分方程组的任两个非零解之差（）-
A.不是其对应齐次微分方程组的解 B.是非齐次微分方程组的解
C-是非齐次微分方程组的通解 D.是其对应齐次微分方程组的解
10.若啊&），的GO是二阶线性齐次微分方程的两个线性无关解，则它们（ ）共
同零点.
B.在z=0处可以有
色* -呼尊人 三、计算题（毎小题8分,本题共40分）
求下列方程的通解或通积分；
得分 11. tanydx一cotxdy—0.
12.字 + J”
得分
得分 13- (J)? —2hj»’ + 1 = 0.
得分 14. 巧’+_y’ —寸气
得分 15. xy — y —2>j?.
得分评卷人 四、计算题（本题共15分）
得分| |16.求下列方程组的通解.
dx .
瓦=工+，
孚=4宀
得分评卷人
五、证明题（本题共15分）
得分 17.在方程3»）中，已知 /（＞•） 在（一00, +oo）上连续，且中（±1）=0.
求证:对任意农和|外丨VI,满足初值条件乂瓦）=外的解以企）的存在区间必 为（一8, 4-00）.
试卷代号：1076
中央广播电视大学2010-2011学年度第二学期“开放本科”期泰考试（半开卷）
常微分方程试题答案及评分标准
（供参考） 2011年7月
一、 填空题（毎小题3分,本题共15分）
1.不能
2.全平面
3.cosx,sinx
4.恒等于零
5.不稳定结点
二、 单项选择题（毎小题3分,本题共15分）
6.D 7. B 8. B 9. C
三、 计算题（毎小题8分,本题共40分）
11.解 分离变量,两端取积分得匕=［年+ ln|C|
J tany J cotx
即 In（sinj’）― — ln（cosx）+ln| C|
通积分为siny – cosx=C.
12.解 齐次方程的通解为y==与
设原方程的通解为尸罕 10. A
（4分）
（8分）
（4分）
代入原方程，得C（x）=f+C
所以，原方程的通解为工4）
13.解令宀力,则辛=法+与原方程的参数形式为 :=法+¥
y=P （8分）
（3分）
557
由 dy=Jdx,有 dy=p(
积分有/»!干 A+c 2心一（2力十2心 （7分）
得原方程参数形式通解」 （8分）
夕=一*1叫》| +s#+c
14.解 克莱洛方程,通解为y=Cx^C-C2. （8分）
15.解令y = 则寸 =若，代入有工若—Ta – （2分）
解此线性非齐次方程通解为z=^+Ctx （5分）
即豊=3工2 +C[Z
原方程通解是y = ^3+-|’CIJ：2+C2 （8分）
四、计算题（本题共15分）
1-A1
16. M 特征方程为|A—；IE| = = (A-3)(A+1) = O （5分）
41-A
特征根為=3,入2 = — 1 （7分）
為=3对应的特征向量为;
f 1
A2 = -l对应的特征向量为_2 （12 分）
pc][e3,e_,
原方程组的通解为 = =G +c2 （15 分）
[y\[2e3(-2e-J
五、证明题（本题共15分）
17.证明 由已知条件，该方程在整个z四平面上满足解的存在唯一及解的延展定理条
件.
显然y=±l是方程的两个常数解. （5分）
任取初值（工0 ,心），其中 工(— “,+8〉，|义|<1.记过该点的解为了 = :y&）,由上面分
析可知，一方面y=ya）可以向平面无穷远处无限延展：另一方面又上方不能穿过下方
不能穿过了=一1,否则与惟一性矛盾 .故该解的存在区间必为（-00,+00）. （15 分）
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