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中央广播电视大学2010-2011学年度第一学期“开放本科”期末考试（半开卷）
常微分方程试题
2011年1月
题号 一 二 三 四 五 总分
分数
L方程(y+l)dx+(x+l)d^ = O所有常数解是 _
2.方程半=工2 +cosy满足解的存在惟一性定理条件的区域是
瓦一
得分评卷人
亠 二％单项选择题（每小题3分,本题共15分）
6.一阶线性微分方程等 十 /＞（”尸qCr）的积分因子是（ ）.
A.产=/脆 B
C.尸=广”& D.兴=eTqM*
7.方程栄=JT二 17+1（ ）.
A.有奇解y= + l
B.有奇解y=l
C.无奇解
D.有奇解y= — l
8.一阶线性非齐次方程组^=A（z）Y+FGr）,y=3i,…，必尸的任一解的图像是n+1
维空间（孙乂，…，乂,）中的（ ）•
A.—个曲面 B.—条曲线
C. 一族曲线 D. 一族曲面
9-用待定系数法求方程寸一+ 5^= — 3b + 5衣的非齐次解乂的形式应设为（ ）.
A.yi = Azcex + Bx2
B.y\ =Aex + Bx2+Cjr+D
C.yi =Ae*r +Bx2
D.yi — + Bxz +Cjt+D
10.方程的任一非零解在（小少平面的工轴上任意有限区间内（ ）零点*
A.无 B.只有一个
C.至多只有有限个 D,有无限个
得分I评巻人 —―— —- 三、计算题（每小题8分，本题共40分）
求下列方程的通解或通积分：
11.（X2 — l）yf -^2xy2 = 0,
12.掣=2 —+ 2^3.
UJ7 X
13.（）cosj? + 2hW）djr+ （sinz+j?W’ + 2）d；y=0.
14.+y2.
15.yy —y2 +yz cosx = 0.
16.求下列方程组的通解.
即= a — 2y
at
得分评巻人
五、证明题（本题共15分）
17.设八少在（一8,+00）上连续可微，求证:对任意的两£（ 一8,+8）, I VI,方程
满足初值条件y（xo）=yo的解必在（一8,+8）上存在.
试卷代号：1076
中央广播电视大学2010-2011学年度第一学期”开放本科”期末考试（半开卷）
常微分方程试题答案及评分标准
（供参考）
2011年1月
一、 填空题（每小题3分,本题共15分）
1.y= —： 1 ,x= — 1
2.全平面
3.
3.必要
4.稳定焦点
二、 单项选择题（每小題3分，本题共15分）
5.A 7. C 8. B 9. D 10. C
三、 计算题（每小题8分，本题共40分｝
11.解分离变量积分，得一 jdjy = .&竺]）d* （4分）
1
积分得 j = ln| I +C
即通积分为尸云吳土可 （8分）
12. 解齐次方程的通解为（4分） 设原方程的通解为y=C（K
代入原方程，得C（x）=x2+C
所以，原方程的通解为y=x2（^2+C） （8分）
13. 解 因为^=c眼工+2&，=羿，所以方程是全微分方程・ （3分）
（）y dx
取&，，於）=（0,0）,原方程的通积分为
I （j^cosx + ）dj7 -r [ 2dy — C （5 分）
J 0 J o
+G （15 分）
e~\
五、 证明题（本题共15分｝
17.证明该方程在全平面上满足解的存在惟一性定理及解的延展定理.
又＞=± 1是该方程的两个常数解. （5分）
现取务＞£（—8,+00）,|弘| ＜1,记过点（女，丸）的解为贝工）.一方面该解可向平面的无 穷远无限延展，另一方面又不能上下穿越丿=土1,否则将破坏解的惟一性.因此，该解只能在 区域6=｛&,少|刃VI,工£（ —8,+8）｝内沿”轴两侧无限延展，显然其定义区间必是 （―0O, 4-00）. （15 分）
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