微信小程序试卷代号门076
中央广播电视大学2009-2010学年度第二学期“开放本科”期末考试（半开卷）
常微分方程试题
2010年7月
题号 —’ 二 三 四 五 总分
分数
得分评卷人
一、填空题（毎小题3分,本题共15分）
1.方程衆了的常数解是 ■
2.方程票=zsin&+少满足解的存在惟一性定理条件的区域是 .
3.&阶线性齐次微分方程的所有解构成一个 维线性空间.
4.二阶线性齐次微分方程的两个解的3）,的伝）为基本解组的充要条件是这两个解
5.二阶方程/W+^y=0的等价方程组是 得分评卷入
二、单项选择题（每小题3分,本题共15分）
6.一阱变量可分离微分方程MCr）N3）&+Pa）Q（少心=0的积分因子是（ ）.
C.
PU）Q（3＞）
D.
7.方程^=x2cosy的所有常数解是(
）.
A.乂=0
3穴
y
D.財=考+如成=0,士1,±2,…
8.”维方程组^=F(x,Y)的任一解的图像是门+1维空间Gr,y)中的( )，
A, 一个曲面 B.性个曲面
C. 一条曲线 D.拎条曲线
9.用待定系数法求方程/+y=^sinx的非齐次特解力，力应设为( )•
A.3h=Aj：shu：
B.yi =x(Ax+B)sinx+x(Cx4-D)cosx
C.=(Ax+B)sinjc
D.yi =(Ax+B)sirLr4-(Cx+D)cosx
10.相平面上的一条轨线对应平面自治系统的()积分曲线，
A.无穷条 B. 一条
C.二条 D.三条
也一21业變L 三、计算题(毎小题8分，本题共40分)
求下列方程的通解或通积分：
11 dy_J：+sinx
di ?~”
12.衣=J寸二寸+ y.
13.（X3 + J：y + x3 ）dx+xzydy=0.
14.y=xy ~\r y ~ VV-
is. /+（y）2+i=o.
dx c
di=~X~2y
16 J
学= 3zf
得分评卷人
五、证明题（本题共15分）
17.设P&）一个多项式函数，证明:方程
所有解的存在区间必为（一8,十8）.
试卷代号：1076
中央广播电视大学2009-2010学年度第二学期“开放本科”期末考试（半开卷）
常微分方程试题答案及评分标准
（供参考）
2010年7月
一、 填空题（毎小题3分,本题共15分）
1.广±1
2.全平面
3.n
4.线性无关
y=yi
5.< ,
加=—衬1_为
二、 单项选择题（每小题3分,本题共15分）
6.A 7. D 8. C 9.B
三、 计算题（每小题8分,本题共40分）
1L解 分离变量积分，得pdy=J& + sinQ& + C 即通积分为芝=土静—cosz+C
12.解将方程改写为票=/-（打+辛， 令U = *,则y =XM/ + «,代人上式得X ^ = ‘/1 —U2 分离变量积分得arcsinu = ln| +C.
原方程的通积分为arcsin《 = ln0| +C.
即扌刁+公寸+¥=c
14.解 克莱洛方程，通解为$=CKC-显
（8分）
15.解令7=2,/=/代入方程，得若=一（1+蜕）.
（2分）
分离变量，积分j匸自 =一 Jdx + G
z=tan(—x+Cj)
（5分）
于是需=tan（一工+C）积分，得通解为
3»=ln| cos（—x+Ci） I +C2
四、计算题（本题共15分）
16.解特征方程
（8分）
|A-A£| =
4-A
= (A-2)(A-1)=Q
（5分）
特征根I =2,^2 = 1
Ai=2对应的特征向量为
（12 分）
2e2/
原方程的通解为
五、证明题（本题共15分）
17.证明 因为 P（z）在（一8, +8）上连续，cosy 及（cosy）/ = —sinj» 在（一oo,+co）上连 续，所以该方程在全平面上满足解的存在惟一性定理及解的延展定理. （6分）
+C2
[_3e 勻
（15 分）
又显然广号+龙”=0,±1,±2,…是方程的常数解.
现设广火力是方程的任一解，若其初值在常数解广分+如上，则由解的惟一性,义工） =f的存在区间必为（-03,4-00）.若其初值落在上述两个常数解之间，那么由解的惟一 性和解的延展定理，:V = 可向平面的无穷远无限延展，同时又不能上下穿越这两个常数
解，故其存在区间必为（一 oo,+oo）. （15分）
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