微信小程序中央广播电视大学2009-2010学年度第一学期“开放本科”期末考试(半开卷)
常微分方程试题
2010年1月
题号 —- 二 三 四 五 总分
分数
1.一阶变量可分离微分方程M(z)N(y)ck+P(z)Q(7)dy=0的积分因子是
2.方程尊=西满足初值解的存在且惟一性的区域是 .
3.方程若=行亍的奇解是 .
4.二阶方程y+f^)y，+ g(x)y=Q的等价方程组是
5.如果函数组少(z),*(z)在区间/上线性相关，那么它们的朗斯基行列式W(z)在区
间J上 .
得分评卷人 二、单项选择题(每小题3分，本题共15分)
6.微分方程 ylnydz十(z — lnj)dy=。是(
A.线性方程
C.全微分方程
7.方程祟=ji^y+i（）.
A.有奇解y=±l B.有奇解丿=1
C.无奇解 D.有奇解了=一1
8.方程寸’+工勺，+工3了=工sin*的任一解的最大存在区间必为（ ）.
A. （ — 8, +8） B. （0,+8）
C.（一 8,0） D. （ 1 , + OQ ）
9. 方程貝+工=0的任一非零解在（t,z）平面上（ ）零点.
A.无
B.只有一个
C.只有两个
D.有无穷多个
（at 芳= 2z+y
10.平面系统］ 的奇点类型是（ ）.
尊=3工+ 4y
A.鞍点 B.不稳定结点
C.不稳定焦点 D,稳定焦点
得分评卷人
三、计算题（每小题8分，本题共40分）
求下列方程的通解或通积分:
11 心_ J1—寸
■石
12.x掣=丿一史
Q.X
13.2*丑+ （工2 一点）心=0
14.尸*_/+J +（ J）2
15.xyfy
评卷人
四、计算题（本题共15分）
16.求方程i + x = sini的通解.
得分评卷人
五、证明题（本题共15分）
17.若八“）在（一8,+ 8）上连续可微，且当U弄。时,uf（u）＜0,求证：方程 5^ = x2/（siny）的任一解y = y{x）均在（一8,十8）上存在.
试卷代号：1076
中央广播电视大学2009-2010学年度第一学期“开放本科”期末考试（半开卷）
常微分方程试题答案及评分标准
（供参考）
2010年1月
一、填空题（每小题3分,本题共15分）
1 – 1
“ N（y）PU）
2.满足丿＞0的上半平面
3.尸±]
dy _
& =少
4.〈
禀=-—g（x）y
5.恒等于零
二、 单项选择题（每小题3分，本题共15分）
6.A 7. C 8. A 9. D 10. B
三、 计算题（毎小题8分，本题共40分）
11.解 当/尹1时,分离变量积分，得
FF_d^ + c（3 分）
J j] 一 J J yi—x2
arcsinjf=arcsinx+C ‘
3/ = sin（arcsinj： + C） （8 分）
12.解方程改写成衆=子一*2
齐次通解为y=Cx （3分）
令非齐次解为y = C（jc）jc
代入得 C（x） = -j^2+C （6 分）
原方程通解为y = Cx-^x’i （8分）
567
13.解 因为M（z以）=2矽小（工以）=<2:2—— y
业 =dN
‘—死
所以，原方程是全微分方程.
取（*。，弘）=（0,1）,原方程的通积分为
J 2xydx~\~ J -扌dy = C\
即 f +丄=。
14-解 这是一个克莱洛方程，因此通解为
y=Cx + C+C2 （3分）
（6分）
（8分）
（8分）
15.解令y=z则丁”=等’代入有
X寺-2=3工2
解此线性非齐次方程通解为
2=3工2 +Ci J7 （4分）
即 A眼+M
原方程通解是
y^x3+j-C^2+C2
四、计算题（本题共i5分）
16.解对应齐次方程的特征方程是 （8分）
皆+ 1=0
特征根为為,2 = ±「，齐次方程的通解为
•27= Ci cosz+C2 sinZ
因为a±ip=±i是一重特征根.故非齐次方程有形如 （6分）
心(t) = ：(Acosz + Bsirv)
的特解，代入原方程，得 A=-|,B = 0 . （12 分）
故原方程的通解为 x==Cl cost + C2sinZ — —-tcost
568 （15 分）
五、证明题（本题共15分）
17.证明由已知条件，方程在全平面上满足存在唯一性定理条件及解的延展定理. （6分）
由已知条件容易证明/（0） = 0,于是方程有无穷多个常数解丿=a,i = O,±l, 士 2,…，它 们是平面上的一族平行直线. （9分）
设（他，又）是任一初始点，则相应的初值解y = 的函数图像或者是上述平行线中的一
条,或是介于某两条平行线之间.由解的唯一性和延展定理易知其存在区间为（一8, +8）.
（15 分）
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