试卷代号：1076 座位号匚口
中央广播电视大学2008-2009学年度第二学期“开放本科”期末考试（半开卷）
常微分方程试题
2009年7月
题号 一 三 四 五 总分
分数
得分评卷人
一、填空题（每小题3分，本题共15分）
1.方程3+l）d*+G+l）dy = 0所有常数解是 .
2.方程翌=空也怎+少满足解的存在惟一性定理条件的区域是 .
3.n阶线性齐次微分方程的所有解构成一个 维线性空间.
4.二阶线性方程y+y = Q的基本解组是 .
r^T-
杰=2并3,
6.一阶线性微分方程等+力（工）了 = 9（工）的积分因子是（ ）.
A. “ =应心壮 B. “ =应”°&
C. “ =厂’，3&
7.方程榮=3璀过点（0,0）的解（）.
A.只有一个 B.只有两个
C.有无数个 D.只有三个
8.若六z,少在全平面上连续且对，满足李普希兹条件，那么方程若=八£以）的任一解
的存在区间（ ）.
A.必为（一8,0） B.因解而定
C.必为（一8,+8） D.必为（0,+8）
9.7Z维方程组^|=F（x,y）的任一解的图像是”+1维空间G,Y）中的（ ）.
A. —个曲面 B. ”个曲面
C. 7Z条曲线 D. 一条曲线
10.已知方程x/+y=4x的一个特解为宀又对应齐次方程x/+y=o有一个特解为
1&,则原方程的通解为（ ）.
A. y = C1x+C2lnx+x2 B. 3,=CiX2 +C2lnx+x2
C. y=C1+C2lnx+xz D. y~Cix3 +C2inx+x2
得分I评卷人
三、计算题（毎小题8分，本题共40分）
求下列方程的通解或通积分：
11.(l+x)3»dx+(1~>»)xd^=0
12.x^=y~x3
13.(x3 +xy2 ~\~x2)dx~\~xzydy = 0
14.(^)2 —2xy +1 = 0
15.xy/+>/ = 4x
16.求下列方程组的通解.
17.设P（x）-个多项式函数，证明：方程$ = P&）cosy所有解的存在区间必为（一8,
+ 8）.
试卷代号:1076
中央广播电视大学2008-2009学年度第二学期“开放本科”期末考试（半开卷）
常微分方程试题答案及评分标准
（供参考）
2009年7月
一、 填空题（每小题3分，本题共15分）
1.了=一1,二=—]
2.全平面
3.n
4.cosj?,sinj：
5.不稳定结点
二、 单项选择题（每小题3分，本题共15分）
6.A 7. C 8. B 9. D 10. C
三、 计算题（每小题8分,本题共40分）
11.解将方程改写为
Bd尸业& （4分）
y 工
积分得 y~^n\y\ =x+ln|x| +C
即通积分为ln| =C （8分）
12.解方程写成
四=乏一二2
d_Z工
齐次方程通解为 尸C工 （3分）
令y=C（sc） • X是非齐次解,代入得
C（工）——x2 +C
原方程通解为y=Cx~j^ （8分）
13,解礬=2巧=羿
dy dx
方程是全微分方程，取（血以°） = （0,0）
原方程的通积分为
（3分）
j （x3+xy2+x2）dx = C
0
（6分）
扌工4 + yx2 y2 + = C
（8分）
14.
解 令j’ = P，则^ =法+ *,原方程的参数形式为
（3分）
=P
由 d）=j/dm 有
心=力（一右+i■心=（—赤+*）必
积分有
y=~^ri\p\ +}#+c
（7分）
得原方程参数形式通解
y=_§ln|?| +yp2 +C
（8分）
15.解令y =z,y =z代入方程，得
x 若+ w=4h
即（zz）’ = 4_z
积分，得2z=2®+c
（3分）
（6分）
原方程的通解为
、-^2+Cln|a:| +Q
（8分）
543
四、计算题（本题共15分）
16.解特征方程
\A-XE\ =
1 -2-A
= (A + 1)(A-I)=o
特征根为A1 = 1,A2 = —1
（5分）
為和；对应的特征向量分别是
（10 分）
原方程组的通解是
（15 分）
五、证明题（本题共15分）
17.证明 因为？&）在（一8,+8）上连续，cos了及（cos>）/ = — sin> 在（一8,4*8）上
连续，所以该方程在全平面上满足解的存在惟一性定理及解的延展定理.
（6分）
又显然尸号+&以=0,士 1,士2,…是方程的常数解.
（9分）
现设丿=乂工）是方程的任一解，若其初值在常数解丿=专+赢上，则由解的惟一性,
火。=专+&兀的存在区间必为（一8,+8）.若其初值落在上述两个常数解之间，那么由解的 惟一性和解的延展定理以=）愆）可向平面的无穷远无限延展，同时又不能上下穿越这两个常 数解，故其存在区间必为（一8,+8）. （15分）
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