试卷代号：1076
中央广播电视大学2008—2009学年度第一学期“开放本科”期末考试（半开卷）
常微分方程试题
2009年1月
题号 二 三 四 五 总分
分数
得分评卷人
一、填空題（每小题3分，本题共15分）
得刽卜初值问题＜ 的解所满足的积分方程是 ___——„一_—
以（西））=北
得刽 —[2.方程令=/ +cosv满足解的存在惟一性定理条件的区域是 ..
得刽 〕3.儿aa有界是保证方程君=/（工点）初值解惟一的 条件.
得列—在.二阶方程寸+巧‘+工勺=o的等价方程组是 .
得分|】5.向量函数纽在区间/上的朗斯基行列式W&） = 0是它们线性相关的 条件.
得分评卷人
二、单项选择题（每小题3分，本题共15分）
啊一〕6.方程* = ./cosy的所冇常数解是（ ）.
A.丁 = 0 B.广专
1). 3=令-|-如,& = 0, +1 .土2,…
得硏 17.方程翌=77过点（o,o）的积分曲线（ ）.
A.有惟一一条
B.有无穷多条
C.只有二条
D.不存在
得分| |8.方程寸+上勺’+工了 =工％’的任一解的最大存在区间一.定是（ ）.
A・（一8,0） B. （ 一 8,+8）
C. [0,+8） D・ Ll,+oo）
得刽 —19.若伯（x），物Cr）是二阶线性齐次微分方程的两个线性无关解，则它们（ ）共同零点.
A.在x= —1处可以有
B.在工=0处可以有
C.不能有
D.在工=1处可以有
d<z
A,中心 B.焦点
C.鞍点 D.结点
史.分一评色L 三、计算题（毎小题8分，本题共40分）
求下列方程的通解或通积分； 得列—111.宗=今匝 得期[12.令〃 得分 13. （e，— 4）（1工 +丄dy=O
1—1 工 X
得分 14. y=^y
丽I 15./+（y）? + l=0
函二|17.试证明：对任意瓦及满足条件0V丸V1的北，方程 A1翌毛
y（x0）—y0的解 y=y（x）在（一8,+8）上存在.
试卷代号：1076
中央广播电视大学2008-2009学年度第一学期“开放本科”期末考试（半开卷）
常微分方程试题答案及评分标准
（供参考）
2009年1月
一、 填空題（毎小題3分,本題共15分）
1./=丸+ I f（5,y（$））ds,或、=,（）+ [ f（s,y）ds.
J *0 J J
2.全平面
3.充分
4.< ,
5.必要
二、 単项选择題（毎小■! 3分,本意共15分）
6.D 7.B 8. B 9. C 10. A
（4分）
（8分）
（4分）
三、计算题（毎小题8分,本题共40分）
H.解 分离变量积分，得
e〉dy=（工 +，1女）& +。
12.解齐次方程的通解为
_c
设原方程的通解为
代入原方程,得C（i） =令+ C
所以，原方程的通解为
（8分）
m 3 1M 1 3N
13•解矿”F
原方程是全微分方程.
（3分）
取兴）=（1,0）,原方程的通积分为
(ex—)《Lr+ | dy~C
即 e* + a = C X
14.解克莱洛方程,通解为
15.解 令§=%、§’=£代入方程，得
事）
分离变量，积分
u= ian（ —工 + C）
于是
掣=tan （—jr + C）
积分，得通解为
y= In | cos（—卫 十。）丨+G
四、计算题（本题共15分）
16.解特征方程为
1 — A 1
|A-AE}= =（人一 3）。+1） = 0
4 1— A
特征根人i=3,万=一1
（6分）
（8分）
（8分）
(3分)
（5分）
（8分）
（5分）
T
A =3对应的特征向量为
2
,1 a2 = -i对应的特征向量为
1-2
原方程组的通解为
五、证明题（本题共15分）
17.证明由于八上，少=砖役碧
/y（x,y）=（2——1）（1+工2+；/）—「3—1）22
在全平面上连续，所以原方程在全平面上满足解的存在惟一性定理及解的延展定理条件.
（7分〉
又显然y=0,y=l是方程的两个特解. （10分）
现任取工0 £ （― 8, +8）5 £ （0,1）,记夕= ‘（工）为过（上0 ,了0）的解，那么这个解可以惟
一地向平面的边界无限延展，又上不能穿越V=l，下不能穿越W = 0,因此它的存在区间必为
（—8,4-00）,
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