试卷代号：1076
中央广播电视大学2007-2008学年度第二学期“开放本科”期末考试（半开卷）
常微分方程试题
2008年7月
注意事项
一、 将你的学号、姓名及分校（工作站）名称填写在答题纸的规定栏内。
二、 仔细读懂题目的说明，并按题目要求答题。答案一定要写在答题纸的指 定位置上，写在试题上的答案无效。
三、 考试结束后，把试题和答题纸放在桌上，试题和答题纸均不得带出考场。
一、填空题（每小题3分，本题共15分） –
1.方程若=满足解的存在惟一性定理条件的区域是（1）
2.方程/-2/+3，=0的基本解组是（2） •
dy
［瓦— — J
二、单项选择题(每小题3分,本题共15分)
6.方程£=西过点(0,0)的积分曲线(.).
A.有惟一~条 B.有无穷多条
C,只有二条 D.不存在
7.用待定系数法求方程，一6J + 5丿=一3寸+ 5水的非齐次解少的形式应设为(.).
A.丁1 =Aez +Bx2 +Cx+D
B.)1 =Axex+Bx2-\~Cx+D
C.y1=:Aex + Bx2
D.=Axex +Bx2
8.已知方程x/+y=4x的一个特解为工2,又对应齐次方程x/+y=o有一个特解为
In工，则原方程的通解为( ),.
A.3,= Ci-^+C2lnj;+x2
B.夕=G □? + G Inz+a?
C.y = G + C? ]n;r+工？
D.y = C1x3+C2lnx+x2
9.一阶线性非齐次微分方程组的任两个非零解之差( ).
A.不是其对应齐次微分方程组的解 B.是非齐次微分方程组的解
C.是非齐次^[分方程组的通解 D.是其对应齐次微分方程组的解
10.一阶变量可分离微分方程MM)N3)dz + P(z)Q3)dj= 0的积分因子是( ).
A = 1 \ o 1
N(y)P3) “一M(*)N(少
_ 1 _ 1 ‘,
3=P(1q3) D/=m(gq(M
三、 计算题（毎小题8分，共40分）
求下列方程的通解或通积分：
11.xy ~ ^/x2 ~y2 ~\~y
12.y=xy+y—y2
13.z 掣=
dx丿
14.（ex — 4）dz + §d;y = 0
15.yy _y2 +3/2cosx=0
四、 计算题（本题共15分）
学=2力一3了 \
dt \
16 J
碧=工-2丁 ‘
五、 证明题（本题共15分）
17.证明，当力20,q>0时，方程y+py+qy=0的一切解在［0, + 8）上有界.
试卷代号：1076
中央广播电视大学2007-2008学年度第二学期“开放本科”期末考试（半开卷）
常微分方程试题答题纸
2008年7月
题号 二 三 四 五 总分
分数
•得 分 评卷人 一、填空题（每小题3分，共15分）
1. (1)
2. (2)
3.(3)
4.(4)
5.(5)
得分评卷人
—: 二、单项选择题（每小题3分，共15分）
6.7. 8. 9. 10.
552
三、计算题（毎小题8分，共40分）
11.
12.
13.
14.
15.
16.
四、计算题（本题共15分）
17.
五、证明题（本题共15分）
试卷代号：1076
中央广播电视大学2007-2008学年度第二学期“开放本科”期末考试（半开卷）
常微分方程试题答案及评分标准
（供参考）
2008年7月
一、 填空题（毎小题3分,本题共15分）
1.（1）除去*轴的平面
2.（2*,拓
3.（3）y=y0 + f f（s,y）ds
4.（4）（一8,2）
5.（5）稳定焦点
二、 单项选择题（毎小题3分,本题共15分）
6.B 7. B 8. C 9. D 10. A
三、 计算题（每小题8分，共40分）
11.解:将方程改写为
擘=/1_（勺+卫
dr* y x x
令”=于，则：/=養十 〃,代入上式得
x 二”‘ t 4 分
分离变量积分得
arcsinu™ In | x | +C
原方程的通积分为
arcsin — ~ In | x | + C 8 分
x
12.解：克莱洛方程,通解为
y = Cx+C~C2
13.解：方程改写成
齐次通解为
y=Cx
令非齐次解为
y=C(x)x
代入得
C(x) = -jx2+C
原方程通解为
原方程是全微分方程.
取(知，加)=(1,0),原方程的通积分为
即 e’ + ； = C 8 分
15.解：方程改写成
cosx=0
或弓+ sM)’ = O
即丄宰+ sinH=G 4分
y &
积分得原方程通积分为
ln\y\ — cosx — CiC2 8 分
四、计算题(本题共15分)
16.解：特征方程
原方程组的通解是
五、证明题(本题共15分)
17.证明 原方程的特征方程为
A2 + pA+q=0
特征根为
人1,2
显然，当力>0,q〉0时，特征根只有3种情况:
(1)两个相异实根人1 ,人2且人1 V0，人2 V。；
(2)二重实根人，且;IV0；
⑶一对共轨复根a士历，质=4q-?2 g= 一_|vo.
此时，通解分别为
3^ ( ^) = Ci eAix + C2 eA2x
了(尤)=(G+。2力脂
>(x) = (Cicos^z+C2sin/3±).
于是lim;y(z)=0,因此丁(z)在［0,+8)上有界 10分
x-* + s
当》=0,g〉0时，特征根為,2 = ±/志
对应通解为
y(«r) = G cos +C2 sinV^z
显然也在[0,+8)上有界. ■’ 15分
556
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