试卷代号：1076
中央广播电视大学2007-2008学年度第一学期“开放本科”期末考试（半开卷）
数学专业常微分方程试题
2008年1月
注意事项
一、 将你的学号、姓名及分校（工作站）名称填写在答题纸的规定栏内。
二、 仔细读懂题目的说明，并按题目要求答题。答案一定要写在答题纸的指 定位置上，写在试题上的答案无效。
三、 考试结束后，把试题和答题纸放在桌上，试题和答题纸均不得带出考场。
一、 填空题（每小题3分，本题共15分）
1. 方程* =了满足初值解存在且唯一的区域是（1）
2.二阶线性方程7+2/+^=0的基本解组是（2） .
3.方程宏Tsiny的所有常数解是⑶ .
4.如果函数组乂（z）,队（z）在区间I是线性相关，那么它们的朗斯基行列式W&）在区
间 / ±（4） .
5.£（工点）有界是保证方程譽= ＜（工点）初值解惟一的（5） 条件.
二、 单项选择题（每小题3分，本题共15分） .
6.方程的专+2希+z = e，的任一解的图像是三维空间中的（ ）.
A. 一个曲面 B. 一条曲线
D. 一族曲线
7.
方程 yi—>2 +1( ).
A.有奇解）=士1
B.有奇解y= 1
D.有奇解）=一1
8.
方程）= W‘+vT的通解是（
).
9.
A. y = cx
C. y = cx2
B. y = c \[x
D. y = cx~\~4c
相平面上的一条轨线对应平面自治系统的（ ）积分曲线.
A.无穷条
B. 一条
C.二条
D.三条
10.方程寸+狞3/ +可=狞廿的任一解的最大存在区间一定是（ ）.
A. ( — 8,0)
B. ( — 8 , + 8 )
C. [0, +8)
D. [1 , +8)
三、计算题（每小题8分，共40分）
11.若扣-1)
12. (jr+>)djr — = 0
13.字=乏+兰
ax x y
14. (jc3 ~\~xy2 ~\~x2 )djc + jr2>dj»=0
r r- 〃 /? 9 –
15. yy — y —y smz
四、计算题（本题共15分）
（”dx 丄 瓦=土
16 J
尊=4f
五、证明题（本题共15分）
17.设*c）是［0,+8）上的连续可微函数,且满足lim（y（x）+＞（x））=O.求证lim ＞（x）=0.
中央广播电视大学2007-2008学年度第一学期“开放本科”期末考试（半开卷）
数学专业常微分方程试题答题纸
2008年1月
题号 一 二 三 四 五 总分
分数
1. (1)
一、填空题（毎小题3分，共15分）
4. (4)
5. (5)
得分评巻人
二、单项选择题（毎小题3分，共15分）
6. 7.
8.
9.
10.
得分评卷人
三、计算题（每小题8分，共40分）
11.
12.
13.
14.
16.
四、计算题（本题共15分）
17.
五、证明题（本题共15分）
试卷代号：1076
中央广播电视大学2007-2008学年度第一学期“开放本科”期末考试（半开卷）
数学专业常微分方程试题答案及评分标准
（供参考）
2008年1月
一、 填空题（每小题3分，本题共15分）
1.（1）满足VI的条形区域
2.（2）er,ze“
3.（3）了 =虹以=0, ± 1, 士2,…
4.（4）恒等于零
5.（5）充分
二、 单项选择题（每小题3分，本题共15分）
6.B 7. C , 8. D
三、计算题（每小题8分，共40分）
11.解：当丿丈1时，分离变量积分得
〕7^1心=传+。 4分
+ ： 7 分
解得通解
i+ce
i-ce
8分’
12.解：方程改写成
dy_飞 + 丁
dr Jc— y 1+乏
JC_ c
X
令《 = “,则財’ = “+*,代入得 du 1 + w
d«z 1 — u
du_l + u2
dx l~u
分离变量积分，得
J冶血=仕d*
arctanu—-i_ln(H-«2) = ln| +C
原方程通积分为
arctan — = ln a? +>2 +C
13.解：方程两端乘队得
点=9+水
令yz = z,则2y飛=圭，代人得
字=& + 2*2
dr x
齐次通解z = C*2
令非齐次解为Z = C&)*2，代入得
C(x)=2x+C
即 z = Cx2+2x\
原方程通解为广士丿廿+2书 8分
U ^M_9 项N、
14-解：我一2勺-云
方程是全微分方程，取Uo,3-0)=(0,0) : 3分
原方程的通积分为
j (x3 + xy2 + x2 )dx = C 5 分
即扌£+身打+¥=c 8分
15.解：方程改写成
〃 >2
^=^-Sinx=0 y
即
I (W + cosz)，= 0
有 丄裂+ cosz=Ci y &
积分，得通积分
In | 3^1 +sirLr=Gz + G
四、计算题(本题共15分)
16.解：特征方程为
1-A 1
|A-AE| =
4 1-A
=(人一 3)(人+1) = 0
特征根人1=3,人2 = — 1
兀=3对应的特征向量为［J
人2 = — 1对应的特征向量为
-2
10分
原方程组的通解为
X=G+c2
y. 2e3/, -2e-\
五、证明题(本题共15分)
17.证明由已知条件丁(z)满足方程
J (z)+丁&) =a(z)
这里 lima(z)=0
X~*+8
而该方程过&”弘)的任一解g为
于是 limy(z) = lim -^-‘+ lim
£-*+8 N-*+8 e 0 r-*+<X>
=0+ lim汽戶
l+8 e °
=lim q(z) =0
J->4-00
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