试卷代号：1076 座位号匚口
中央广播电视大学2006-2007学年度第二学期“开放本科”期末考试（半开卷）
数学专业常微分方程试题
2007年7月
题号 一 二 三 四 五 总分
分数
1.方程g = xsin（x+y）满足解的存在惟一性定理条件的区域是
方程宰=■的奇解是.
方程y，，+xy，+^y=O的等价方程组是.
dx
瓦=*
得 分 评卷人
二、单项选择题（每小题3分,本题共15分）
6.方程須+工=0的任一非零解在（t,z）平面上（
A.有无穷多个
B.
只有两个
C.只有一个
7. 方程着=3丿3过点（0,0）的解（ ）•
A.只有一个 B.只有两个
C.有无数个 D.只有三个
8. 方程过点（1,1）的解的存在区间是（）•
A. （ — oo,4-oo） B. （ — oo,2）
C・（0, + 8） D. （l,+oo）
9. 方程^=x2cos3/的所有常数解是（）•
A.;y=0 B.
C.丿=学 D.丿=号+如以=0,±1,士2,…
10. 平面自治系统在相平面上的一条轨线，对应（）积分曲线.
A.—条 B.两条
C.无穷多条 D.三条
得分评卷人 三、计算题（毎小题8分,本题共40分）
求下列方程的通解或通积分:
11.(l + x)5,dx+(l —y)xdy=0
12.掣+廿有=3戏”
dr x
13.e_>dx—(2了+工厂，)d»=0
14.y=xy+y +(yf’)z
得分 评卷人 四、计算题（本题共15分）
16.求下列方程组的通解.
dx _i_
矿f
*=_2z+3j
得分 评卷人 五、证明题（本题共15分）
17.设PG）一个多项式函数，证明：方程
$ = P（工）cosy
所有解的存在区间必为（一 8,+8）.
试卷代号：1076
中央广播电视大学2006-2007学年度第二学期“开放本科”期末考试（半开卷）
数学专业常微分方程试题答案及评分标准
（供参考）
2007年7月
一、 填空题（毎小题3分,本题共15分）
1.全平面
2.尸士 1
3.n
（y=yi
4.J
[yi = —xyi—x2y
5.（0,0）,（0,1）
二、 单项选择题（每小题3分,本题共15分）
6.A 7. C 8. B 9. D 10. C
三、 计算题（毎小题8分,本题共40分）
11.解将方程改写为
Bd尸丑血 （4分）
y x
积分得
y—ln|>| =x+ln|x| +C
即通积分为
y—x—In | xy \ — C （8 分）
12.解先解齐次方程，通解为
J^=_jl±xdx + C
即
>=C 三- （4 分）
令非齐次方程的特解为
r=C（jc）^-
代入原方程，求出C（x）=x3+C 原方程的通解为
y~ （史+C） X （8分）
13.解== — （2）+衣_’）
3M ,aN
dyc 9x
因此，原方程是全微分方程. （3分）
取（工o，M）= （0,0）,原方程的通积分为
f eTy dx — f 2ydy — C
J 0 J 0 （6分）
即 xe^y — yz=C （8分）
14.解这是一个克莱洛方程，因此通解为
y=Cx+C+C2 （8分）
15.解令y=z,/=/代入方程，得
半=一（1+z2） ax
分离变量，积分
ji + 廿贝+ C （3分）
z=tan（ —x+C）
于是
j^ = tan（—x+C） ax （5分）
积分，得通解为’
>=ln| cos（一x+C） | +G （8分）
四、计算题（本题共15分）
16.解特征方程为
rl—A 1 q
|A—人 E| ==A2—4A+5=0
~2 3—A
556
特征根为為,2=2 士”
Ai=2^z对应特征向量a满足 b
——1 — 2 1 – “a~ ■o-
-2 1—i b 0
r（ — 1一i）a+Z>=0 即 J
［一2a + （l — i）6=0
解之得 Z>=（l + z）a,令 a=l,则 3=1 + /
五、证明题（本题共15分）
17.证明 因为 P&）在（一8,+ 8）上连续,cosy 及（cosy）’ = — siny 在（一8,+8）
上连续，所以该方程在全平面上满足解的存在惟一性定理及解的延展定理.
又显然 尸号&=0,±1,±2,…是方程的常数解.
现设丿=义工）是方程的任一解，若其初值在常数解夕=号+如上,则由解的惟一性,y（z）
= | + ^7r的存在区间必为（一8,+8）.若其初值落在上述两个常数解之间，那么由解的惟一 性和解的延展定理点=了（工）可向平面的无穷远无限延展，同时又不能上下穿越这两个常数 解，故其存在区间必为（一8,+8）. （15分）
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