中央广播电视大学2006-2007学年度第一学期“开放本科”期末考试
数学专业常微分方程试题
2007年1月
题号 一 二 三 四 五 总分
分数
得 分 评卷人
一、填空题（每小题3分，本题共15分）
1.方程* = h2+cOSJ满足解的存在惟一性定理条件的区域是 .
2.方程（丁十l）dz十G+l）dj = O所有常数解是
3.方程y = xy，+ ^y’Y的通解是.
4.”阶线性齐次微分方程的〃个解饥（工），…，饥（工）构成基本解组的充分必要条件是
5.常微分方程的一个不可延展解的存在区间一定是 区间.
得分评卷人
二、单项选择题（每小题3分，本题共15分）
6.三阶线性齐次微分方程的所有解构成一个（ ）线性空间.
A. 2维
D. 4维
1 fu, 当 y = 0
方程字=」 在球丁平面上任一点的解（ ）.
A.都不是惟一的
求下列方程的通解或通积分:
11-
12.字+旦=产
dz x
13.2xy(\x~\-(工2 — 丄)心=0
14.(J)?—2_zJ + l=0
15.y‘j/’+1 = 0
得分评卷人
‘ 四、计算题（本题共15分）
16.求方程的通解.
得分评卷人
五、证明题（本题共15分）
17.设函数.尸⑴在区间［a,十8）上连续，且lim /（O = 0.试证明：非齐次线性方程
L十5>
r rl T’ 斧十荒+ 4工=/3
的任一解h（£）均有lim h（£）=0,
t* + 8
试卷代号：1076
中央广播电视大学2006-2007学年度第一学期“开放本科”期末考试
数学专业常微分方程试题答案及评分标准
（供参考）
2007年1月
一、 填空题（每小题3分，本题共15分）
1.全平面
2.y=一1, x~一1
3.y = Cx + ~-C2
4.线性无关（朗斯基行列式不为零）
5.开
二、 单项选择题（每小题3分，本题共15分）
6.B 7. C 8. B 9. A 10. D
三、 计算题（每小题8分，本题共40分）
11. 解 当1）乂0时，分离变量，得
机丄1）心=&
积分，得
J疝丄心= J& + G （4分）
或 f（— —丄）心=fdj? + C,
J y — y J
11 ~ln I 3; I =h + G
通积分为 ~— （8分】
y
12.解齐次方程的通解为
c
）=7 （4分】
设原方程的通解为
570
C(x)
代入原方程，得c（”=¥+c
所以，原方程的通解为
3*—~（C+ ）
13.解因为 M（z,jO=2cy,N（j：，3O=z2—丄 y
迎=”=型
3y dx
所以，原方程是全微分方程.
取（以以。）=（0,1）,原方程的通积分为
f 2勺 dz + [ — -\dy = Ci
J o J i y
即 ^y + – = C
y
14.解 令yf = p,则工=命十幻原方程的参数形式为 件=丄十&
2p 2
<
由 dy = ydx,有
心*一由“）如=（一土 +如力 积分有
y= 一-^-InI p I +~p2 +C
得原方程参数形式通解
梧=丄十&
2p 2
）=—}ln| 如 +§# _|_c
15.解 令J = />，3/’ = ?甘代入方程，得
pAp= 一_~d>
积分，得 ^p2 = ^y~2+C}
拼=£+c=i+?y
j y
dy 卜 J ] + Qy2
dz — y
分离变量,积分得
ydy
/I + Cy2
=± jd* + Ct
原方程的通积分为
1 十 cy =（Cz + G）’
四、计算题（本题共15分）
16.解对应齐次方程的特征方程为
AZ + 1 = O
特征根为人口 = 土島齐次方程的通解为
z = G cost + G sinZ
因为a士税=±7是一重特征根，故非齐次方程有形如
.Zi（Z） = t（Acosf十Bsint）
的特解，代入原方程，得A=-y,B = 0
故原方程的通解为jr = C1cosz + C2sin?_ y/cosz
（3分）
（5分）
（8分）
（6分）
（12 分）
（15 分）
五、证明题（本题共15分）
17.证明 先求出齐次方程的特征根为人” =一2故齐次方程的通解为
x（.t） = Cle^21 + C2te 2′
令非齐次方程特解为
心（z） = G （z）e_”+G（t）£e-*
C’Z）,C‘2（f）满足
rC/1（Oe^ + C，2（?）ie-2,=0
j-C/1（Z）2e , + C，2（O（e 2,-2/e 2,）=/（Z）
解出 C’］（r） = —zr（t）e”, G（£）= 一
J 0
（4分）
C‘2(Q=rR)e”, C2(r) = C
J 0
原方程的通解为
，(t)=Ge “十 — |”v(Qe2E>d£+』’r(Qeg”df
J 0 J 0
或写成
—[■0(淀曷+心(£)缽*
M) = G 厂”+ G£e「a + -业
e
当£f+ oo,分子中的广义积分f十8时，由洛比达法则，有
lim z(t) = 0 + 0 + lim —~
—+s 2e*
= lim年淇=0
is 4e”
当+ 8,分子中的广义积分为有界时，显然有
lim x（t）=Q
t~-+g
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