试卷代号：1076
中央广播电视大学2005-2006学年度第二学期“开放本科”期末考试
数学专业常微分方程试题
2006年7月
注意事项
一、 将你的学号、姓名及分校（工作站）名称填写在答题纸的规定栏内。
二、 仔细读懂题目的说明，并按题目要求答题。答案一定要写在答题纸的指 定位置上，写在试题上的答案无效。
三、 考试结束后，把试题和答题纸放在桌上，试题和答题纸均不得带出考场。
一、填空题（每小题3分,本题共15分）
1.方程喪=“满足初值解的存在且惟一性的区域是（1）
2.n阶线性齐次微分方程线性无关解的个数最多为（2） 个.
3.线性方程/+>=0的基本解组是（3） .
4.二阶方程J’ + y（z”‘ + g（z）y = 0的等价方程组是（4）
5.向量函数组在区间/上的朗斯基行列式WGr）=。是它们线性相关的（5） 条件.
二、单项选择题（毎小题3分,本题共15分）
6. 积分方程丿&） = 勺（t）dt的解是（ ）.
Au=l
C.y = e， D. ex
13.y=xy+y2
14.声dz+(y—.)旳=0
15.yy —y2 一3×2 y2 =0
四、计算应用题（每小题10分，本题共20分）
fdjc 9
矿f 一2了
16.J
学=3工+4,
cit
17.质量为m的物体由高空以初速度为零下落，除受重力作用外，还受到空气阻力的作
用，设空气阻力与速度成正比，试求落体的极限速度.
五、证明题（毎小题10分，本题共20分）
18.设函数/■（£）在（一8,+8）上连续且有界，求证:对任意的（S。），方程^+x=/（r）
满足工3。）=次的解在0。，+8）上有界.
19.证明：一阶微分方程喪=盘了十1的任一解的存在区间必是（一 8,+8）.
中央广播电视大学2005-2006学年度第二学期“开放本科”期末考试
数学专业常微分方程试题答题纸
2006年7月
题号 一 二 三 四 五 总分
分数
4. (4) 5. (5)
得分评卷人
二、单项选择题（每小题3分，共15分）』
6. 7.
8.
9.
10.
得分评卷人
三、计算题（每小题6分，共30分）
11.
12.
13.
14.
四、计算应用题（每小题10分，共20分）
16.
17.
五、证明题（每小题10分，共20分）
18.
19.
试卷代号：1076
中央广播电视大学2005-2006学年度第二学期“开放本科”期末考试
数学专业常微分方程试题答案及评分标准
（供参考）
2006年7月
一、填空题（每小题3分,本题共15分）
1. （1）满足>>0的上半平面
2. (2) n
3. (3) cosjc,sirtr
(dy
5. (5)必要
二、单项选择题（每小题3分,本题共15分）
三、计算题（每小题6分，共30分）
11.解：当丁尹1时，分离变量积分，得
…厘 =严 +C VI-y2 J /1- x2
arcsiny = arcsinx+C
y=sin(arcsinjc + C)
12.解：方程两端乘丁T得
令择=z，则$尸栄=圭
得 3 分
这是线性非齐次方程，解得
z—xz （-^-ln| x | +C）
原方程通解为
y—x4 (―ln|x| +C)2 6 分
13.解：克莱洛方程，通解为
>=Cx+C2 6 分
方程是全微分方程，取（心以。）=（1，。） 2分
原方程的通积分为
(y — l)djj =
即
)
= C 6 分
Z x
15.解:原方程改写成
积分得原方程通积分
Inl^l =yx4 +Cix+C2
四、计算应用题(每小题10分,本题共20分)
16.解:特征方程
特征根Ai —2,Az = 1
原方程的通解为
X -ef’ r 2e2t’
=G+ C2
y —er -3e2r
17.解:设物体在t时刻下落的速度为p = p3),在t时刻物体所受的力f = mg~kv,其中
，为阻尼系数，由牛顿第二运动定律,得方程
零=一生(°_罕) at m k
解得
广罕 + Ce* k
代人初值条件汉0)=0,有c=_罕
初值问题解为
于是得极限速度
1曲弧)=临罕(1 —广釦=擊
/-»oo tf s K. rZ
五、证明题（每小题10分，本题共20分）
18.证明：方程过（如孔）的解为
j：（t） = j：0e_<,_，0> + [ /（s）e<r’,）ds 4 分
■>’o
由已知条件，存在M>0,使得丨以刃£必正（一8,+8） 于是
|^（f）K|x0|e-（^,o）+「| /（s） | 厂ds
I x0 I +Me_< [ e’ds
J（o
M|z（）I +Me-‘（e’ —e’。）
MH」+M（l-eTL，°>）
|x0 I +M, 珍代 10 分
19.证明：方程在全平面上满足解的存在唯一性定理的条件，又y = kn,k = Q, + l,+2,
…，是方程的常数解. 4分
对平面上任取的（工0 ,%）
若*=齢则对应的是常数解了=&其存在区间显然是（一8,+8）
若为€（给，以+1）”）则过该点的解可以向平面无穷远无限延展，但是上下又不能穿越y=kn
和j=Q+1）tt,于是解的存在区间必是（一8,+8）. 10分
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