试卷代号：1076
中央广播电视大学2005-2006学年度第一学期“开放本科”期末考试
数学与应专业常微分方程试题
2006年1月
题号 一 二 三 四 五 总分
分数
得分评卷人
一、填空题（每小题3分，本题共15分）
1.方程殺=吉归*满足解的存在惟一性定理条件的区域是 •
2.方程^ = ysin（^2+y）的任一非零解与，轴相交•
3.方程y+xy+x2y = 0的所有解构成一个 维线性空间•
4.方程sinjydo: + cosxdjy = 0的所有常数解是
r Vi =sinjr
5.函数组」的朗斯基行列式WGO是
lj/2=COSJ?
碍 分 呼卷卜 二、单项选择题（每小题3分,本题共15分）
A. 一个曲面
C.—条曲线
7.方程—丿+ 2工在和丿平面上（
A.有奇解＞ =0
C,有奇解丿=2工 ）.
B.有奇解y-x
D,无奇解
瓦==2x+^
8.方程组J ‘ 的奇点（0,0）的类型是（ ）•
* = 3 工+4丁
A.稳定焦点
C.不稳定结点 B.不稳定焦点
D.鞍点
9.方程i + 2x=0的任一非零解在（tu）平面上的t轴的任一有限区间内（ ）•
A.只能有有限个零点
C.无零点 B.有无限个零点
D.为常值函数
10.常微分方程的一个不可延展解的存在区间一定是（ ）•
A.闭区间
C. ( — 8,+8) B.开区间
D. (0,+8)
得 分 评卷三、计算题（毎小题6分,本题共30分）
求下列方程的通解或通积分:
12.+ >tanr — seca:
13.(x—3^+ l)dx—(工 + 尸 +3)d；y=0
14.(x2~D(y)2+x2=0
15.xy y =^x
得 分 评巻A. 四、计算题（毎小题10分，本题共20分）
16.求方程y’+y=2sec3x的通解.
17.求下列方程组的通解.
尊= 5z + 4y
栄= 4H5y
得分评卷人
五、证明题（每小题10分，本题共20分）
18.设丁（工）是方程
芸 + ?（z）* + g（z）;y = （）
的非零解，其中pCr）,q（工）在（一8,+8）上连续.求证：当心）=0时，必有耕宀和
19.设/Xy）在（一8,十8）上连续可微，求证:对任意的*（）€（ —8,十8）,|义|vi,方程
*=3 —W3）
满足初值条件火孔）=又的解必在（一 8,+8）上存在•
试卷代号：1076
中央广播电视大学2005-2006学年度第一学期“开放本科”期末考试
数学与应专业常微分方程试题答案及评分标准
（供参考） ‘
2006年1月
一、 填空题（每小题3分，本题共15分）
1.全平面
2.不能
3.2
4.>=^n-,x = -y + ^n-,^ = 0, + l,+2,••-
~sinx cost ~
5.W&）=
cos* —sirur
二、 单项选择题（每小题3分,本题共15分）
6.C 7. D 8.C 9. A 10. B
三、 计算题（每小题6分，本题共30分）
11.解分离变量，得
3 + /）心=（飞一（3 分）
积分得
通积分为
y2—a:2 + 2（一e_T）—C （6 分）
12.解先求线性齐次方程
乎+ytarLZ = 0
的通解为
y~Ccosx （3 分）
令原方程的特解为
y=c(jc)cosz
代入原方程，求得
C（j?） = tanzr+C
原方程的通解为
y= sinj? + Ccosjc
13.解 M（x,＞） —y+1 ^N（x,y） = 一（z+J+3）
3M 3N
因此，原方程是全微分方程.
取（而，贝）=（0,0）,原方程的通积分为
（X — y + l）dx— f （寸+ 3）d;y = C
0 J 0
即 —_xy-\- x~^_3ji=C
14.解令x=cosi,则原方程的参数形式为
rx=cosi
[y’ = 士 cott
由 dy=j/dr,得
dy=±cott • ( — sinr) dt = T costd?
积分得
y= Tsini + C
原方程参数形式通解
x=cosf j/= Tsini + C
消去参数，得工2 + 3-C）2=l
15.解 令y’ = z,y=z代入方程，得
x 若+ z = 4_r
即 （片）’=4工
积分，得
ZX = 2j?2 + C
c
即 z=2x + –
x
(4分)
原方程的通解为
y = x2+C\n\x\+C1
（6分）
四、计算题（每小题10分，本题共20分）
16.解先求出齐次方程的通解为
y — Ci cosjr + C2 sin工
（4分）
令非齐次方程的特解为
史(工)=G (z)cosr+G (z)sirLr
（4分）
C’l（*）,C‘2（*）满足方程组
C’i (z)cosjr+C‘2 (>r)sinz = 0
—C i (x)sinx+C\ (z)cosjc = 2sec3H
解出 C\(x) = —2sinzsec3 j:, G(>z) = —sec 纭
C‘2 (z) =2sec 纭，C2 (j;) =2tanjr
（8分）
原方程的通解为
j/—Cx cosj: + C2 sinx
cos2*
COSJ7
（10 分）
17.解特征方程为
即 A2-10A + 9=(A-l)Q-9)=0
特征根为為=1,人2=9
对应人1=1特征向量满足
b
解得丄=1对应的特征向量为
「Il
（8分）
同理可求出A2=9对应特征向量为
1
故原方程的通解为
「1]
+ Ge” （10 分）
1
=Ci ez
五、证明题（每小题10分，本题共20分）
18. 证明 由已知条件知方程存在零解.
该方程满足解的存在惟一性定理条件. （4分）
设伙*）是方程的一个非零解，假如它满足
炉。）=0,幾 匚。=0,
由于零解也满足上述条件，以及方程有零解存在，那么由解的惟一性有J（工）三0,这与 乂力是非零解矛盾. （10分）
19. 证明 该方程在全平面上满足解的存在惟一性定理及解的延展定理. （2分）
又y=± 1是该方程的两个常数解. （4分）
现取孔£（一8,+8），W°|vl,记过点（工。，义）的解为北一方面该解可向平面的无 穷远无限延展，另一方面又不能上下穿越了=±1,否则将破坏解的惟一性.因此，该解只能在 区域G={Gr，3/）| |g VI,工€（ —8,+8）}内沿*轴两侧无限延展，显然其定义区间必是 （—8, +8）. （10 分）
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