试卷代号：1076
中央广播电视大学2004-2005学年度第二学期“开放本科”期末考试
数学与应专业常微分方程试题
2005年7月
题号一 二 三 四 五 总分
7.李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的（）条件.
A.充分 B.必要
C.充分必要 D.必要非充分
8.方程字=寸过点（1,-1）的解的存在区间是（ ）.
A. (0,+oo) B. (-00,3)
C. (2,+8) D・[2,+8)
9.方程i + 3x=0的任一非零解在（r,x,±）空间中（ ）.
A.不能与t轴相交 B.可以与t轴相交
C.可以与t轴横解相交 D.可以与t轴相切
10.用待定系数法求方程/+y=2siar的非齐次特解少时，应将特解少设为（ ）.
A. yx =Asinx B. =Asinx+Bcosx
C. 3^i =Bcosx D・ —x(Asinx+Bcosx)
翌 分一评卷人 三、计算题（毎小题6分,本题共30分）
求下列方程的通解或通积分:
11 Ay _2xy~yi
12.学=2 亠+ 2a：3 ax x
13.x2(ex + 3>2)dx+2x[ n阶线性齐次微分方程的所有解构成一个 维线性空间•
rdLc_
di = y]>d>=0
14.y= (/)2 —xy+^-jc2
15- 2y/=(yz)2
16.求方程>/+4>=sin2x的通解.
17.求下列方程组的通解.
_ = _3x+>
字=8工r
得分评卷人 五、证明题（毎小题10分,本题共20分）
18.设六£）为区间（一8,+8）上的有界连续函数，证明：方程 粉宀&）
在区间（一 8,+8）上存在一个有界解.
19.设在方程组
中，广史=+8,其中afi（r）是系数矩阵A”）对角线上的元素,A”）在［如+8）上
i = l
连续，求证该方程组至少有一个解在［%，+8）上无界・
Ct1
原方程的通积分为丁=豈了
12.解先求齐次方程
学=2乏
dx X
的通解
y—Ca?
设原方程的通解为
>=C（x）x2
代入原方程，得C（x）=x2+C
所以，原方程的通解为
y=x2（x2+C）
13.解 M（xt^）=x2（ex + 3>2） ,N（j:,>）=2j:3>
3M a 2 3N
苏=6工勺=万
因此，原方程是全微分方程.
取（工。，外）=（0,0）,原方程的通积分为
J （x2ex + 3x2y2）dx = C
或 | x2eI（lr + 3J x2y2da: = C 即 （工2—2工+2）寸+工3寸=。
14.解 令工=工y=p,则,原方程的参数形式为
x=x
y=P
V
y=p2—^p+-^^
由 dy=ydLr,有
（—/>+x）dx+（2/>一x）dp= pdx
整理得 （2力一工）（樂一 1）=0
由出一1 = °’解得P=h+C，代入参数形式的第三式，得原方程通解为
y=-^-x2+Cx+C2
15.解 这是FCy,y’,/） =0形式方程.
令y=pJ’=P^代入方程，得
2〃関7
即半嘴
积分，得P = C^
即 关=5
分离变量，积分得原方程的通积分为
了=0 + 0
四’计算题（毎小题10分,本题共20分）
16.解对应齐次方程的特征方程为
启+4 = 0
特征根为為m = ±2i,齐次方程的通解为
了=G cos2 工+G sin2 工
因为a±ip=±2i是一重特征根，故非齐次方程有形如
54 （工）=x（Acos2x + Bsin2x）
的特解，代入原方程，得A=-§,B=0
故原方程的通解为 y == Ci cos2x + C2 sin2x—cos2x
17.解特征方程为
-—3—x 1 –
|A—AE| = =(A—l)(A+5)=0
8 -1-A
特征根为A i=A2 = —5
■I_ A =1对应特征向量为
4
• 1 –
A2 = —5对应的特征向量为
所以，原方程组的通解为
-1–1 –
—G e’+ C2e-5(
X 4 -2
五、证明题（毎小题10分，本题共20分）
18.证明先求出原方程的通解表达式为
5* == e_x[C +J /(r)efdr ]
再取C = ，此广义积分由r（t）在区间（一8,+8）上连续有界而保证收敛,
不妨设 I /(x) | ( — 8, +8).取 C= J’rCQe’dt 的解为
y(x) = e_1 y(«)e*d«
于是 I| <e_xMef =e_xM(ex—0)
l^(x) I <A4,xG (—oo,+oo).
19.证明（反证法）假设该方程组的一切解都在女。，+8）上有界，那么，该方程组的一个
基本解矩阵的朗斯基行列式W&）应在［跖，+ 8）上有界.
另一方面，由刘维尔公式，该朗斯基行列式W（Q满足
WM = W(r0)exp 、久。)d£
J ro i = l
这与r°°史叫=+8矛盾，所以，该方程组至少有一个解在2”+8）上无界. ）% 1=1
(10 分)
分数
得分评卷人
一、填空题（每小题3分,本题共15分）
1. 方程喪=夂2＞所有常数解是 •
2. 方程^ = cosx+cos＞满足解的存在惟一性定理条件的区域是 •
4. 方程组J 的奇点是 •
^ = —x—y—x* 1 2 3 4 5 6~y2
5. 若函数组的（工），0（工）在区间（a,6）±线性相关，则它们的朗斯基行列式WGr）在区间
（a»6）上 –
得分］评卷］
二、单项选择题（每小题3分,本题共15分）
6. 方程i+i + x = £C0S£的任一解的最大存在区间都是（ ）.
A.(0,+8)
C. (一 8,0)
点点赞赏，手留余香
给TA打赏
评论0