试卷代号：1076
座位号E
中央广播电视大学2004-2005学年度第一学期“开放本科”期末考试
数学与应专业常微分方程试题
2005年1月
得 分•专一、填空题（毎小题3分，共15分）
1.一阶微分方程的通解的图像是 维空间上的一族曲线•
2.二阶线性齐次微分方程的两个解力危），力（。为方程的基本解组充分必要条件是
3.方程j’-2j + y=0的基本解组是 .
4.一个不可延展解的存在在区间一定是 区间.
5.方程襄=/^了的常数解是 •
得分评卷人
二、单项选择题（每小题3分，共15分）
6.方程衆=^1+丿满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是（ ）•
A.上半平面
C.下半平面
7.方程喪=西+1（ ）奇解•
A.有一个
C.无
B. xoy平面
D.除丿轴外的全平面
B.有两个
D.有无数个
8. r（少连续可微是保证方程岩=rs）解存在且唯一的（ ）条件.
A.必要 B.充分
c.充分必要 D.必要非充分
9.二阶线性非齐次微分方程的所有解（
A.构成一个2维线性空间 ）.
B.构成一个3维线性空间
C.不能构成一个线性空间 D.构成一个无限维线性空间
10.方程若=3孩过点（0,0）（ ）.
A.有无数个解 B.只有一个解
C.只有两个解 D.只有三个解
16.求方程y7—sy=—5^2的通解.
17.求下列方程组的通解.
f dx_ 丄 1 dz ‘ sini
得分评卷人
五、证明题(毎小题10分，共20分)
18.设_/(工)在［0,+8)上连续，且lim 7(x)=0,求证:方程的一•切解y(x),
j-* + oo C1JC
均有 lim >(x)=0.
19.在方程 yf+p(x)y+ q(x)y=0 中,p(x),q(x)在(一8,+8)上连续，求证:若 p(x)
恒不为零,则该方程的任一基本解组的朗斯基行列式W(x)是(一 8, +8)上的严格单调函
试卷代号：1076
中央广播电视大学2004-2005学年度第一学期“开放本科”期末考试
数学与应专业常微分方程试题答案及评分标准
（供参考）
2005年］月
一、 填空题（毎小题3分,本题共15分）
1.2
2.线性无关（或:它们的朗斯基行列式不等于零）
3.ex,xex
4.开
5.丿=士1
二、 单项选择题（每小题3分,本题共15分）
6.D 7. C 8. B 9. C 10. A
三、 计算题（每小题6分,本题共30分）
11.解当）乂 0,丿尹1时,分离变量取不定积分，得
［毕4& + C （3 分）
J yinyj
通积分为
ln^—Cex （6 分）
12.解令丿=*”，则喪=“+工段，代入原方程，得
x yi_ w2
分离变量，取不定积分，得
［z — = f — + InC （C#： 0） （6 分）
J 一必 J工
通积分为：arcsin —= lnCj? （6 分）
x
13 .解方程两端同乘以了一5,得
蓦=广危
令广=z,则一4广裟=亲，代入上式，得
1 dz
—z—x
(3分)
通解为
Z=Ce–x+|
原方程通解为
（6分）
14.解因为當=2*=线,所以原方程是全微分方程 取(*o,%) = (O,O),原方程的通积分为
2xy dr — J ^2dj» = C
即 x2j»—=C
15.解原方程是克莱洛方程，通解为
y = Cx+2C3
四、计算题(毎小题10分，共20分)
16.解对应齐次方程的特征方程为足一5人=0,
特征根为為=0,人2 = 5,
齐次方程的通解为j=G+Ge”
因为a = 0是特征根。所以，设非齐次方程的特解为
3»i (x) =x(Ax2 +Bx+C)
代入原方程，比较系数确定出
a=t
,c=
2
25′
原方程的通解为
1 1 ?
y = C1 + C2 e5x + —x2 + y x2 + -^x
17.解先解出齐次方程的通解
[:]
=G
（2分）
（4分）
（6分）
（6分）
（4分）
（6分）
（10 分）
（4分）
令非齐次方程特解为
L为」
G’（Q，G’（Q 满足
=Ci （i）
COSZ
sint.
+C2（O
rsin£ -|
.cost.
（6分）
解得 G3=f£qv）=i
积分，得 C1（i） = ln|sinr| ,C2（«）=«
通解为
r costln | sint | + isint -> — sintln I sint | + tcost
五、证明题（每小题10分，本题共20分）
18.证明 设了=夕（工）是方程任一解，满足了（工。）=弘，该解的表达式为
/（5）e（5^xo）d5
Jo
x0 Xo
（10 分）
（4分）
取极限
\ /（5）e<^>d5
lim 丁（X）= lim 兰 + lim
X-* 4-00 x-*4-ooe ° x-* 4-00
x0
0,
=0+J
若J /（5）ec,_Io）di V 8
/（5）e（,_Xo> ds = 8
ex_x<> 一°’
（10 分）
19.证明设少（工），结（工）是方程的基本解组，则对任意z£（ — 8, + 8）,它们朗斯基行 列式在（一8,+8）上有定义，且W&）尹0.又由刘维尔公式
W&）=W&°）e务内见 £（一8,+8）
Wn）=W6）e”w0（z）
由于W&。）尹0 ,?&）尹0,于是对一切z£（-8,+8）,有
W’&）＞0 或 W’（z）V0
故W&）是（一8,+8）上的严格单调函数.
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