试卷代号：1076
中央广播电视大学2003-2004学年度第二学期“开放本科”期末考试
数学与应专业常微分方程试题
2004年7月
题号 一 二 三 四 五 总分
分数
得 分 评巻人
一、填空题（每小题3分，本题共15分）
1.方程x（y-l）dx+>（x2-l）d> =。所有常数解是 –
2.方程寸’+4丿=0的基本解组是 •
3.方程学=西+1满足解的存在唯一性定理条件的区域是
4.函数组甲1 （工）»物（工）饱（工）在区间I上线性无关的 条件是它们的朗斯基 行列式在区间I上不恒等于零.
5.若y=E，尸心是二阶线性齐次微分方程的基本解组,则它们 共同零点・ 得分］评卷人
二、单项选择题（每小题3分，本题共15分）
6.方程的奇解是（ ）•
A.y — x B. y~ 1
7. 方程喪了过点（号，1）共有（ ）个解.
A, 一 B.无数
C.两 D.=
8.n阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（ ）个.
A. n B. n— 1
C. n + 1 D. n+2
9.一阶线性非齐次微分方程组的任意两个非零解之差（ ）•
A.不是其对应齐次微分方程组的解
B.是非齐次微分方程组的解
C.是其对应齐次微分方程组的解
D.是非齐次微分方程组的通解
10.如果了）*疔）都在zoj平面上连续，那么方程器=/&，J）的任一解的存
在区间（ ）•
A.必为（一8,+8） B.必为（0,+8）
C.必为（ — oo,0） D.将因解而定
得分评卷人 三、计算题（每小题6分，本题共30分）
求下列方程的通解或通积分：
11.字= ^ + tan 乏
ax x x
12.~ + —y~3×2
cLz 工 °
13.（j:2 e? 一3?）dj：+j：dy=0
14.J（rc —ln：/） = l
15.yyfy 2 +2j： = 0
16.求方程的通解.
得分评卷人
五、证明题（每小题10分，本题共20分）
18.在方程殺=八*）3少中，已知_/•（*），矿3）在（一8,+8）上连续，且^（±1）=0.求 证:对任意工。和|>ol<b满足初值条件火為）=外的解贝z）的存在区间必为（一8,+8）.
19.在方程 yf + pQx）y 。中，已知在（一8,+8）上连续，求证:
该方程的任一非零解在云四平面上不能与z轴相切•
试卷代号：1076
中央广播电视大学2003-2004学年度第二学期“开放本科”期末考试
数学与应专业常微分方程
试题答案及评分标准
（供参考）
2004年7月
一、 填空题（每小题3分，本题共15分）
1.y= ± 1, z=±l
2.sin2z, cos2z
3- D=｛（x,y）ER2\y>0）,（或不含z轴的上半平面）
4.充分
5.没有
二、 单项选择题（每小题3分，本题共15分）
6.D 7. B 8. A 9. C 10. D
三、 计算题（每小题6分，本题共30分）
11.解令《=如则代入原方程，得
t du – du
wi~j: -3—= z/-rtanw9 x ~7— = tanu dr dz （2分）
当tan“夭0时，分离变量，再积分，得
［也=|■也+ 1″ C|
J tanu J x （4分）
ln| sinu| =ln| +ln|C|
即通积分为： sin£ = Cz
X （6分）
12.解 齐次方程的通解为：y = $
JC （2分）
令非齐次方程的特解为：丿=罕
代入原方程,确定出C（z）=§z9+C
原方程的通解为
四、计算题（每小题10分，本题共20分）
16.解对应的齐次方程的特征方程为:
a2-i=o
特征根为:為=1,人2 = —1
故齐次方程的通解为：丿=。代工+。注-
因为。=1是单特征根.所以，设非齐次方程的特解为
少（h） —Axe1
代入原方程，有2AeH + AzeH—= ,可解出 A = -^-.
17.解方程组的特征方程为
-2
=0
4-A
即 尸一 3人+ 2 = 0
特征根为Ai = 1,人2=2
為=1对应的解为
件. （2分）
显然＞=± 1是方程的两个常数解. （4分）
任取初值（工0，了0）,其中工（）£（ —8,+8）, | y0 | ＜1.记过该点的解为了 = 了（£）,由上面 分析可知，一方面y=yU）可以向平面无穷远处无限延展；另一方面又上方不能穿过了=1,下 方不能穿过了=一1,否则与惟一性矛盾.故该解的存在区间必为（一8,+8）. （io分）
19.证明由已知条件可知，该方程满足解的存在惟一及解的延展定理条件，且任一解的 存在区是都是（ — oo,+oo）. （2分）
显然，该方程有零解了（工）三0. （5分）
假设该方程的任一非零解少（工）在工轴上某点工。处与工轴相切，即有＞1 （工。）=Ji （工。）
=0,那么由解的惟一，性及该方程有零解了（工）三0可知切（二）=0,工£（ —8, + 8）,这是因为 零解也满足初值条件伙工。）=乂（*。）=0, y（xo）=y1（^）=o,于是由解的惟一性，有＞1（^） 三丿（二）三0,二£ （一8,+8）.这与H （工）是非零解矛盾. （10分）
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