试卷代号：1076
中央广播电视大学2003-2004学年度第一学期“开放本科”期末考试
数学与应用专业常微分方程试题
2004年1月
题号 —- 二 三 四 五 总分
分数
碍 竺 變人- 一、填空题（每小题3分，本题共15分）
1.李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的 条件.
2.兀阶线性齐次微分方程线性无关解的个数最多为 个.’
3.一阶微分方程的一个特解的图像是 维空间上的一条曲线.
4.方程寸十了 = 0的基本解组是 .
5.方程工（了2 —1）&十了（工2 一 l）dy = 0的常数解是 .
碍 分 评卷人.. 二、单项选择题（每小题3分，本题共15分）
6.若少（*）,%（*）是二阶线性齐次微分方程的两个线性无关解，则在其定义的区间上,
它们（ ）•
A.可以有共同零点 B.可在*=0处有共同零点
C.没有共同零点 D.可在处有共同零点
7.连续是保证fg）对丿满足李普希兹条件的（ ）条件.
A.充分 B.充分必要
C.必要 D.必要非充分
8.方程宝=Jy-工+工（
）奇解.
9.方程满足解存在惟一性定理条件的区域是（ ）.
B.左半平面
D.除工轴外的全平面
io.方程通过点（i,i）的解为了=£,其有定义的区间是（ ）.
A. （ — 8,2） B. （ — 8, +8）
C.（一8,2] D. （2,+oo）
得分丨评卷人
三、计算题（每小题6分，本题共30分）
求下列方程的通解或通积分:
11.(jr+2j/)djr—jrdj/=0
12.浆+ 2工尸4工
13.—dx+ (jj3 +lnjr)d;y=0 x
14.y~xy~\~ (yf)2
15.彩”+(j/)2 +3尤2 =。
16-求方程J’+尸M的通解•
17.求下列方程组的通解.
字=4工+ 3夕
得分评卷人 五、证明题（每小题10分，共20分）
18.设M（z）, 乂（*）是方程）〃 +力（工）J + q（工）丿=0的解，且满足 功（孔）=乂（血）=0, （工）乂0,这里p（工）,g（x）在（一8 , + 8）上连续，及€（ —8,+8）.试证明：存在常数C使
得 >2 （工）=*1（X）.
19.假设方程在全平面上满足解的存在惟一性定理条件，且乂危），力（工）是
定义在区间I上的两个解.求证:若丁1 （孔）V%（及）£ I,则在区间I上必有（工）V%（卫） 成立.
试卷代号：1076
中央广播电视大学2003-2004学年度第一学期“开放本科”期末考试
数学与应用专业常微分方程试题答案及评分标准
（供参考）
2004年1月
一、 填空题（每小题3分,本题共15分）
1-充分
2.n
3.2
4.cosz,sirtz
5.jy=±l,z=±l
二、 单项选择题（每小题3分，共15分）
6.C 7. A 8. C
三、计算题（每小题6分，本题共30分）
11.解方程化为
令y = Xu,则殺= “+z冬,代入上式，得
x 半=1+” ax
分量变量，积分，通解为
u=Cx~l
原方程通解为
y—Cx2 _ x
12.解对应的齐次方程
坐+2巧=。
的通解为•
y~Ce^x2 （3 分）
令非齐次方程解为
y = C（x）e^x2
代入原方程，得C （z）=2* +C
原方程通解为
>=Ce_lZ +2 （6 分）
13. 解因为羿=丄=票,所以原方程是全微分方程. （3分）
dy x ox
取（无，又）=（1,0）,原方程的通积分为
f —dx+ \y y3 dy = C
J 1 X J 0
即 3dn|z|+§y=C （6 分）
14.解原方程是克来洛方程，通解为
y = Cx+C2 （6 分）
15.解原方程是恰当导数方程，可写成
（乂/+工3），= 0
即 /J + z3=G （3 分）
分离变量解此方程，通积分为
= §z’+C2 （6 分）
四、计算题（每小题10分，本题共20分）
16.解对应齐次方程的的通解为
y — Ci cos^+C2 sirtz （4 分）
令非齐次方程的特解为
j?i =G （^）cos^ + C2（^）sinz
C/（^）,C/（^）满足
-cosjc sirtz “i rC/（j：）-
—sinx cosx
解得， C/（^） = – —,c/（x） = l
COSJC
积分，得 G（z） = ln|csoz| ,G（z）=z 〜
原方程通解为
y—Ci cosj^+Cs sinjr+cosjrln| cosjc | +jrsirtz （10 分）
17.解特征方程为以一5 = 0, （4分）
特征根为Ai ― — 1,人2 = 5,
Ai = — 1和入2 = 5对应的特征向量分别为
r 1 -1 rl-i
, （8 分）
-12
L _l L _J
故原方程组的通解为
~T~ =G -e~’z – + C2 -e5: ■ （10 分）
y_—e’ 1_2e5l_
五、证明题（每小题10分，共20分）
18.证明设乂（工），乂（工）是方程的两个解，则它们在（一8,十8）上有定义，其朗斯基 行列式为
（力 了2（工）
W（z） =
了1’（工）丿2‘（z）
由已知条件，得
W6）= 切（血） >2（-T0 ）
）1’（女0）力’（以） = 0 0
功’（二0）丁2‘（工0） =0
故这两个解是线性相关的. （5分）
由线性相关定义,存在不全为零的常数Q1,a2，使得
%丁1 （工）十&% （工）=0, zC: （―8 ,十8）
由于>1 （jc）#0,可知a2^0.否则，若a2=0,则有ai>i（j：）=0,而丿/工）尹0,则ai =0,
这与乂（工），力（工）线性相关矛盾.故 （8分）
E =—*Q）=Cg）
19.证明 仅证⑦2血方向，（反之亦然）
假设存在^>^0,使得功（Q〉力（Z）（y（Q=力（Q不可能岀现,否则与解惟一矛盾）
令y &）H}i（:r）-夕2（工），那么
火而）=夕1 （孔）一夕2（处）<0，=>i （^） ~yz （^?）>0 （6 分）
由连续函数介值定理，存在x* e （孔，，），使得
火工* ）=少&” ）一丁2（尤* ）=0
即 》（N* ）=%（工* ）
这与解惟一矛盾. （10分）
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