试卷代号：1076
中央广播电视大学2002-2003学年度第二学期“开放本科”期末考试
数学与应用专业常微分方程试题
2003年7月
题号 TW”t
四 五 总分
分数
1.方程xsinydx+ycos^dy0所有常数解是
2・方程^=x2+siny满足解的存在唯一性定理条件的区域是 3•线性齐次微分方程组的解组3 （Q, Y2（X）,…，匕（］）为基本解组的
条件是它们的朗斯基行列式旅&）尹0.
5.”阶线性齐次微分方程线性无关解的个数最多为 _个.
得 分 评卷△ 二、単项选择题（每小题3分,本题共15分）
6.方程電=&+1（ ）奇解・
A.有无数个
C.有一个
7.方程喪=丿1=7″过点（0,0）（
A.只有一个解
B.有无数个解
求下列方程的通解或通积分:
11,业=广
• dx
13. e，ir+(a:e，+2y)dy=0
14. jF=ln(l+y2)
16.求方程J’+4/=cos2h的通解.
17.求下列方程组的通解.
(dx
五=丁
18.设方程須=z2須（3）中在（一8, +8）上连续可微，且yf（y）＜0t 3。0）・求
证:该方程的任一满足初值条件火五）=又的解乂工）必在区间［西，+8）上存在.
19.设和丁=例愆）是二阶线性齐次微分方程的两个线性无关解，求证:它们不 能有共同的零点.
试卷代号：1076
中央广播电视大学2002-2003学年度第二学期“开放本科”期末考试
数学与应用专业常微分方程试题答案及评分标准
（供参考）
2003年7月
一、填空题（毎小题3分,本题共15分）
1.夕=月江,4 = 0, ±1, ±2, •・・；或2=号+4冗,人=0, ±1, 士2, •••
2.HO”平面
3.充分必要
4.不能
5.n
二、单项选择题（毎小题3分,本题共15分）
三,计算题（毎小题6分,本题共30分）
1L解分离变量是
eydys=exdx
等式两端积分得通积分
（6分）
12.解 齐次方程的通解为
（2分）
令非齐次方程的特解为
代入原方程,确定出C（jr）:=ln|x| +C 原方程的通解为
（6分）
13.解 由于習=«票,所以原方程是全微分方程.
（2分）
取（&, “。）= （0, 0）,原方程的通积分为
eydr + I 2ydy = C
（6分）
14.解令J=a，则原方程的参数形式为
（2分）
^=ln（l + p2）
由基本关系式
积分有
x=2arctan/>+C
得原方程参数形式通解
x—2arctan/> + C
（6分）
,=ln（l +力 2）
15.解 原方程为恰当导数方程，可改写为
（—x + C] ） dz + Cz
得原方程的通积分为
四、计算题（每小题10分,本题共20分）
16 .解 方程的特征根为万,2 = 士23
特征根为 义1=2,义2 = — 1
丄=2对应特征向量应满足
可确定出
同样可算出丄=一1对应的特征向量为
1-
（8分）
所以，原方程组的通解为
十G
（10 分）
2e2t
五■证明题（毎小题10分,本题共20分）
18.证明 由已知条件，方程在整个衣）平面上满足解的存在唯一及解的延展定理条件,
且在上半平面（＞＞0）,有y=x2/（^）＜0;
在下半平面（y＜0）,有y=xzf（y）＞0.
722
现不妨取点（工。，物）属于上半平面，并记过该点的解为由上面分析可知,3= ,（工）一方面在上半平面单调递减向平面无穷远延展；另一方面又不能穿过x轴，否则与唯一
性矛盾.故解y^ydx）存在区间必为O。，+8）.
19.证明 由于7=的&）和、=*）是两个线性无关解，则它们的朗斯基行列式
（pl（羽）） = ^2（工。）=0
于是
这与（*）式矛盾
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