试卷代号：1076 座位号匚口
中央广播电视大学2002-2003学年度第一学期“开放本科”期末考试
数学与应用专业常微分方程试题
2003年1月
题号 一 二 三 四 五 总分
分数
1.方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是
2.方程寳siny的所有常数解是 .
3.若y=<p(.x)在(一8, +8)上连续，则方程衆的任一非零解 与工轴 相交.
4.在方程y*+p^x)y -\-q{x)y=0中，如果/>(x) , q(.x)在(一8,+8)上连续，那么它的 任一非零解在xoy平面上 与工轴相切.
5.向量函数组Vi(x), y2u),…竄(h)在其定义区间I上线性相关的 条件是它
们的朗斯基行列式W(C=0, xEL
得 分 评卷入 二、单项选择题（毎小题3分，本题共15分）
6. ”阶线性齐次方程的所有解构成一个（ ）线性空间.
A.”维 B. n+1 维
C. n—1 维 Hn+2 维
方程宏=后歹+2（ ）奇解.
A.有三个 &无
C.有一个 D.有两个
8.方程g=3>T过点（0,0）（ ）.
A.有无数个解
B.只有三个解
C.只有解y=Q
D.只有两个解
9-若）=的（工），>=^（x）是一阶线性非齐次微分方程的两个不同特解，则该方程的通解 可用这两个解表示为（ ）•
A-啊（》）—啊（工）
B.^5i（X）+932（X）
C.CX# （工）一的（□:））+的（工）
D.C^!（X）+^2（X）
10. £（工，少连续是方程足=_fGc,少初值解唯一的（ ）条件.
A.必要
B.必要非充分
C.充分必要
D.充分
得 分 评尊人 三、计算题（毎小题6分.本題共30分）
求下列方程的通解或通积分：
11-若盈
12.足+3丿=芥
13.（j：3+xy2）dx+（x2y4-y3）d>==0
14.事+丁’一工=0
15.yy +（y）2=0
得分I评卷人
四、计算题（每小题10分,本題共20分）
16.求方程寸一5j = sm5*的通解.
17-求下列方程组的通解.
dx I
d7=x+y
得分评卷人 五、证明题（毎小题10分.本题共2。分）
18.设/Xz,少在整个叫平面上连续可微，且/Xz,丸）=0.求证:方程須”z,少的
非常数解y=y（x）»当x-*x0时，有y（x）-^y0,那么x0必为一8或+8.
19.设丿=的3）和丁=的&）是方程/+g（x）y=0的任意两个解，求证:它们的朗斯基行
列式wa）=c,其中C为常数.
试卷代号：1076
中央广播电视大学2002-2003学年度第一学期“开放本科”期末考试
数学与应用专业常微分方程试题答案及评分标准
（供参考）
2003年1月
一、 填空AE（毎小fl! 3分,本題共15分）
1- 丿平面
2.y=kirt k=0, 士1, ±2,
3.不能
4.不能
5.必要
二、 单项选择题（毎小题3分,本题共15分）
6.A 7.B 8. A 9.C 10. D
三、 计算題（毎小题6分,本题共30分）
11.解 当y^Q时，分离变量得
业=為迫
y 1+x2 （3分）
等式两端积分得 «
即通解为
y=C Jl+x2 （6分）
12.解齐次方程的通解为
y=Ce~31 (2分)
令非齐次方程的特解为
>=C(x)e-Sx
代入原方程,确定出C（x）=ye5l+C （5分）
原方程的通解为
（6分）
13.解由于崙=2时=票,所以原方程是全傲分方程. 取Gc。，加）= （0, 0）,原方程的通积分为
［（x3 +xy，）dx +jjd/ = G
即 x4+2x*y+y=c
14.解令y=t,则原方程的参数形式为
仔=f+e*
（./=«
由基本关系式
dy=j/，dr=t（l + e,）df
积分有
y=-^-t1+e’（.t—l）+C
得原方程参数形式通解
■x=t+e,
>=-^-t*+e*（f—D+C
15.解原方程为恰当导数方程，可改写为
（W）’=。
即
yy—Ci
分离变量得
ydy=Cidx
积分得通积分
=Gh+G
四、计算题（毎小题10分,本题共20分）
16.解方程的特征根为；U=0,为=5
齐次方程的通解为 y=G+Ge”
因为a士ip=±5i不是特征根.所以，设非齐次方程的特解为
yi （x） =Asin5x+Bcos5x
代入原方程，比较系数得
f-25A+25B=l
-25A-25B=0
确定出A=—*槌=备
原方程的通解为 >=Ci+C2e5x+^（cos5x—sin5x）
17-解特征方程为
1-A 1
| A—AE| = =0
4 1-A
即 A2-2A-3 = 0
特征根为 Ai=3, A2 = —1
A）=3对应特征向量应满足
[:]=£]
同样,可算出为=一1对应的特征向量为
所以，原方程组的通僻为
五、证明题（毎小题10分,本题共20分）
18.证明由已知条件，方程在整个工©平面上满足解的存在唯一及解的延晨定理条件,
因此，它的任一解都可延展到平面的无穷远. （2分）
又由已知条件，知yf 是方程的一个解. （4分）
假如方程的非常数解y=y（x）对有限值西有limy（x）=y0,那么由已知条件，该僻在点
L气
（Xo,北）处可向Xo的右侧（或左侧）延展.这样，过点（女，北）就有两个不同解y = y0和 y=y（x）.这与解的唯一性矛盾，因此次不能是有限值.
19.证明 如果y=p!（x）和少=例3）是二阶线性齐次方程
y +/＞（x）p，+q（x）y=O
的解,那么由刘维尔公式有
W（x） = W（xo）e^o3 （5 分）
现在9p（X）=0故有
W（x） = WGeQSE ” = W（x0） = C （10 分）
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