2018年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅲ)
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.(5分)已知集合A={x|x﹣1≥0},B={0,1,2},则A∩B=( )
A.{0} B.{1} C.{1,2} D.{0,1,2}
2.(5分)(1+i)(2﹣i)=( )
A.﹣3﹣i B.﹣3+i C.3﹣i D.3+i
3.(5分)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( )
A. B. C. D.
4.(5分)若sinα= ,则cos2α=( )
A. B. C.﹣ D.﹣
5.(5分)(x2+ )5的展开式中x4的系数为( )
A.10 B.20 C.40 D.80
6.(5分)直线x+y+2=0分别与x轴,y轴交于A,B两点,点P在圆(x﹣2)2+y2=2上,则△ABP面积的取值范围是( )
A.[2,6] B.[4,8] C.[ ,3 ] D.[2 ,3 ]
7.(5分)函数y=﹣x4+x2+2的图象大致为( )
A. B.
C. D.
8.(5分)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员的支付方式相互独立.设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数,DX=2.4,P(x=4)<P(X=6),则p=( )
A.0.7 B.0.6 C.0.4 D.0.3
9.(5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若△ABC的面积为 ,则C=( )
A. B. C. D.
10.(5分)设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点,△ABC为等边三角形且面积为9 ,则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为( )
A.12 B.18 C.24 D.54
11.(5分)设F1,F2是双曲线C: ﹣ =1(a>0.b>0)的左,右焦点,O是坐标原点.过F2作C的一条渐近线的垂线,垂足为P,若|PF1|= |OP|,则C的离心率为( )
A. B.2 C. D.
12.(5分)设a=log0.20.3,b=log20.3,则( )
A.a+b<ab<0 B.ab<a+b<0 C.a+b<0<ab D.ab<0<a+b
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.(5分)已知向量 =(1,2), =(2,﹣2), =(1,λ).若 ∥(2 + ),则λ= .
14.(5分)曲线y=(ax+1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为﹣2,则a= .
15.(5分)函数f(x)=cos(3x+ )在[0,π]的零点个数为 .
16.(5分)已知点M(﹣1,1)和抛物线C:y2=4x,过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点.若∠AMB=90°,则k= .
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。(一)必考题:共60分。
17.(12分)等比数列{an}中,a1=1,a5=4a3.
(1)求{an}的通项公式;
(2)记Sn为{an}的前n项和.若Sm=63,求m.
18.(12分)某工厂为提高生产效率,开展技术创新活动,提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率,选取40名工人,将他们随机分成两组,每组20人.第一组工人用第一种生产方式,第二组工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间(单位:min)绘制了如下茎叶图:
(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高?并说明理由;
(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m,并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表:
超过m | 不超过m | |
第一种生产方式 | ||
第二种生产方式 |
(3)根据(2)中的列联表,能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异?
附:K2= ,
P(K2≥k) | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
k | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
19.(12分)如图,边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧 所在平面垂直,M是 上异于C,D的点.
(1)证明:平面AMD⊥平面BMC;
(2)当三棱锥M﹣ABC体积最大时,求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值.
20.(12分)已知斜率为k的直线l与椭圆C: + =1交于A,B两点,线段AB的中点为M(1,m)(m>0).
(1)证明:k<﹣ ;
(2)设F为C的右焦点,P为C上一点,且 + + = .证明:| |,| |,| |成等差数列,并求该数列的公差.
21.(12分)已知函数f(x)=(2+x+ax2)ln(1+x)﹣2x.
(1)若a=0,证明:当﹣1<x<0时,f(x)<0;当x>0时,f(x)>0;
(2)若x=0是f(x)的极大值点,求a.
(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)
22.(10分)在平面直角坐标系xOy中,⊙O的参数方程为 ,(θ为参数),过点(0,﹣ )且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A,B两点.
(1)求α的取值范围;
(2)求AB中点P的轨迹的参数方程.
[选修4-5:不等式选讲](10分)
23.设函数f(x)=|2x+1|+|x﹣1|.
(1)画出y=f(x)的图象;
(2)当x∈[0,+∞)时,f(x)≤ax+b,求a+b的最小值.
2018年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅲ)
参考答案与试题解析
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.(5分)
【考点】1E:交集及其运算.
【分析】求解不等式化简集合A,再由交集的运算性质得答案.
【解答】解:∵A={x|x﹣1≥0}={x|x≥1},B={0,1,2},
∴A∩B={x|x≥1}∩{0,1,2}={1,2}.
故选:C.
【点评】本题考查了交集及其运算,是基础题.
2.(5分)
【考点】A5:复数的运算.
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.
【解答】解:(1+i)(2﹣i)=3+i.
故选:D.
【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算,是基础题.
3.(5分)
【考点】L7:简单空间图形的三视图.
【分析】直接利用空间几何体的三视图的画法,判断选项的正误即可.
【解答】解:由题意可知,如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,小的长方体,是榫头,从图形看出,轮廓是长方形,内含一个长方形,并且一条边重合,另外3边是虚线,所以木构件的俯视图是A.
故选:A.
【点评】本题看出简单几何体的三视图的画法,是基本知识的考查.
4.(5分)
【考点】GS:二倍角的三角函数.
【分析】cos2α=1﹣2sin2α,由此能求出结果.
【解答】解:∵sinα= ,
∴cos2α=1﹣2sin2α=1﹣2× = .
故选:B.
【点评】本题考查二倍角的余弦值的求法,考查二倍角公式等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题.
5.(5分)
【考点】DA:二项式定理.菁优网版权所有
【分析】由二项式定理得(x2+ )5的展开式的通项为:Tr+1= (x2)5﹣r( )r= ,由10﹣3r=4,解得r=2,由此能求出(x2+ )5的展开式中x4的系数.
【解答】解:由二项式定理得(x2+ )5的展开式的通项为:
Tr+1= (x2)5﹣r( )r= ,
由10﹣3r=4,解得r=2,
∴(x2+ )5的展开式中x4的系数为 =40.
故选:C.
【点评】本题考查二项展开式中x4的系数的求法,考查二项式定理、通项公式等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题.
6.(5分)
【考点】J9:直线与圆的位置关系.
【分析】求出A(﹣2,0),B(0,﹣2),|AB|=2 ,设P(2+ , ),点P到直线x+y+2=0的距离:d= = ∈[ ],由此能求出△ABP面积的取值范围.
【解答】解:∵直线x+y+2=0分别与x轴,y轴交于A,B两点,
∴令x=0,得y=﹣2,令y=0,得x=﹣2,
∴A(﹣2,0),B(0,﹣2),|AB|= =2 ,
∵点P在圆(x﹣2)2+y2=2上,∴设P(2+ , ),
∴点P到直线x+y+2=0的距离:
d= = ,
∵sin( )∈[﹣1,1],∴d= ∈[ ],
∴△ABP面积的取值范围是:
[ , ]=[2,6].
故选:A.
【点评】本题考查三角形面积的取值范围的求法,考查直线方程、点到直线的距离公式、圆的参数方程、三角函数关系等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是中档题.
7.(5分)
【考点】3A:函数的图象与图象的变换.
【分析】根据函数图象的特点,求函数的导数利用函数的单调性进行判断即可.
【解答】解:函数过定点(0,2),排除A,B.
函数的导数f′(x)=﹣4x3+2x=﹣2x(2x2﹣1),
由f′(x)>0得2x(2x2﹣1)<0,
得x<﹣ 或0<x< ,此时函数单调递增,
由f′(x)<0得2x(2x2﹣1)>0,
得x> 或﹣ <x<0,此时函数单调递减,排除C,
故选:D.
【点评】本题主要考查函数的图象的识别和判断,利用函数过定点以及判断函数的单调性是解决本题的关键.
8.(5分)
【考点】CH:离散型随机变量的期望与方差.
【分析】利用已知条件,转化为二项分布,利用方差转化求解即可.
【解答】解:某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,看做是独立重复事件,满足X~B(10,p),
P(x=4)<P(X=6),可得 ,可得1﹣2p<0.即p .
因为DX=2.4,可得10p(1﹣p)=2.4,解得p=0.6或p=0.4(舍去).
故选:B.
【点评】本题考查离散型离散型随机变量的期望与方差的求法,独立重复事件的应用,考查转化思想以及计算能力.
9.(5分)
【考点】HR:余弦定理.
【分析】推导出S△ABC= = ,从而sinC= =cosC,由此能求出结果.
【解答】解:∵△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.
△ABC的面积为 ,
∴S△ABC= = ,
∴sinC= =cosC,
∵0<C<π,∴C= .
故选:C.
【点评】本题考查三角形内角的求法,考查余弦定理、三角形面积公式等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题.
10.(5分)
【考点】LF:棱柱、棱锥、棱台的体积;LG:球的体积和表面积.
【分析】求出,△ABC为等边三角形的边长,画出图形,判断D的位置,然后求解即可.
【解答】解:△ABC为等边三角形且面积为9 ,可得 ,解得AB=6,
球心为O,三角形ABC 的外心为O′,显然D在O′O的延长线与球的交点如图:
O′C= = ,OO′= =2,
则三棱锥D﹣ABC高的最大值为:6,
则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为: =18 .
故选:B.
【点评】本题考查球的内接多面体,棱锥的体积的求法,考查空间想象能力以及计算能力.
11.(5分)
【考点】KC:双曲线的性质.
【分析】先根据点到直线的距离求出|PF2|=b,再求出|OP|=a,在三角形F1PF2中,由余弦定理可得|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2﹣2|PF2|•|F1F2|cos∠PF2O,代值化简整理可得 a=c,问题得以解决.
【解答】解:双曲线C: ﹣ =1(a>0.b>0)的一条渐近线方程为y= x,
∴点F2到渐近线的距离d= =b,即|PF2|=b,
∴|OP|= = =a,cos∠PF2O= ,
∵|PF1|= |OP|,
∴|PF1|= a,
在三角形F1PF2中,由余弦定理可得|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2﹣2|PF2|•|F1F2|COS∠PF2O,
∴6a2=b2+4c2﹣2×b×2c× =4c2﹣3b2=4c2﹣3(c2﹣a2),
即3a2=c2,
即 a=c,
∴e= = ,
故选:C.
【点评】本题考查了双曲线的简单性质,点到直线的距离公式,余弦定理,离心率,属于中档题.
12.(5分)
【考点】4M:对数值大小的比较.
【分析】直接利用对数的运算性质化简即可得答案.
【解答】解:∵a=log0.20.3= ,b=log20.3= ,
∴ = ,
,
∵ , ,
∴ab<a+b<0.
故选:B.
【点评】本题考查了对数值大小的比较,考查了对数的运算性质,是中档题.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.(5分)
【考点】9J:平面向量的坐标运算;96:平行向量(共线).
【分析】利用向量坐标运算法则求出 =(4,2),再由向量平行的性质能求出λ的值.
【解答】解:∵向量 =(1,2), =(2,﹣2),
∴ =(4,2),
∵ =(1,λ), ∥(2 + ),
∴ ,
解得λ= .
故答案为: .
【点评】本题考查实数值的求法,考查向量坐标运算法则、向量平行的性质等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题.
14.(5分)
【考点】6H:利用导数研究曲线上某点切线方程.
【分析】球心函数的导数,利用切线的斜率列出方程求解即可.
【解答】解:曲线y=(ax+1)ex,可得y′=aex+(ax+1)ex,
曲线y=(ax+1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为﹣2,
可得:a+1=﹣2,解得a=﹣3.
故答案为:﹣3.
【点评】本题考查函数的导数的应用切线的斜率的求法,考查转化思想以及计算能力.
- (5分)
【考点】51:函数的零点.
【分析】由题意可得f(x)=cos(3x+ )=0,可得3x+ = +kπ,k∈Z,即x= + kπ,即可求出.
【解答】解:∵f(x)=cos(3x+ )=0,
∴3x+ = +kπ,k∈Z,
∴x= + kπ,k∈Z,
当k=0时,x= ,
当k=1时,x= π,
当k=2时,x= π,
当k=3时,x= π,
∵x∈[0,π],
∴x= ,或x= π,或x= π,
故零点的个数为3,
故答案为:3
【点评】本题考查了余弦函数的图象和性质以及函数零点的问题,属于基础题.
16.(5分)
【考点】KN:直线与抛物线的位置关系;K8:抛物线的性质.
【分析】由已知可求过A,B两点的直线方程为y=k(x﹣1),然后联立直线与抛物线方程组可得,k2x2﹣2(2+k2)x+k2=0,可表示x1+x2,x1x2,y1+y2,y1y2,由∠AMB=90°,向量的数量积为0,代入整理可求k.
【解答】解:∵抛物线C:y2=4x的焦点F(1,0),
∴过A,B两点的直线方程为y=k(x﹣1),
联立 可得,k2x2﹣2(2+k2)x+k2=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则 x1+x2= ,x1x2=1,
∴y1+y2=k(x1+x2﹣2)= ,y1y2=k2(x1﹣1)(x2﹣1)=k2[x1x2﹣(x1+x2)+1]=﹣4,
∵M(﹣1,1),
∴ =(x1+1,y1﹣1), =(x2+1,y2﹣1),
∵∠AMB=90°,∴ • =0
∴(x1+1)(x2+1)+(y1﹣1)(y2﹣1)=0,
整理可得,x1x2+(x1+x2)+y1y2﹣(y1+y2)+2=0,
∴1+2+ ﹣4﹣ +2=0,
即k2﹣4k+4=0,
∴k=2.
故答案为:2
【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的相交关系的应用,解题的难点是本题具有较大的计算量.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。(一)必考题:共60分。
17.(12分)
【考点】89:等比数列的前n项和.
【分析】(1)利用等比数列通项公式列出方程,求出公比q=±2,由此能求出{an}的通项公式.
(2)当a1=1,q=﹣2时,Sn= ,由Sm=63,得Sm= =63,m∈N,无解;当a1=1,q=2时,Sn=2n﹣1,由此能求出m.
【解答】解:(1)∵等比数列{an}中,a1=1,a5=4a3.
∴1×q4=4×(1×q2),
解得q=±2,
当q=2时,an=2n﹣1,
当q=﹣2时,an=(﹣2)n﹣1,
∴{an}的通项公式为,an=2n﹣1,或an=(﹣2)n﹣1.
(2)记Sn为{an}的前n项和.
当a1=1,q=﹣2时,Sn= = = ,
由Sm=63,得Sm= =63,m∈N,无解;
当a1=1,q=2时,Sn= = =2n﹣1,
由Sm=63,得Sm=2m﹣1=63,m∈N,
解得m=6.
【点评】本题考查等比数列的通项公式的求法,考查等比数列的性质等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题.
- (12分)
【考点】BL:独立性检验.
【分析】(1)根据茎叶图中的数据判断第二种生产方式的工作时间较少些,效率更高;
(2)根据茎叶图中的数据计算它们的中位数,再填写列联表;
(3)列联表中的数据计算观测值,对照临界值得出结论.
【解答】解:(1)根据茎叶图中的数据知,
第一种生产方式的工作时间主要集中在72~92之间,
第二种生产方式的工作时间主要集中在65~85之间,
所以第二种生产方式的工作时间较少些,效率更高;
(2)这40名工人完成生产任务所需时间按从小到大的顺序排列后,
排在中间的两个数据是79和81,计算它们的中位数为m= =80;
由此填写列联表如下;
超过m | 不超过m | 总计 | |
第一种生产方式 | 15 | 5 | 20 |
第二种生产方式 | 5 | 15 | 20 |
总计 | 20 | 20 | 40 |
(3)根据(2)中的列联表,计算
K2= = =10>6.635,
∴能有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异.
【点评】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题,是基础题.
19.(12分)
【考点】MJ:二面角的平面角及求法;LY:平面与平面垂直.
【分析】(1)根据面面垂直的判定定理证明MC⊥平面ADM即可.
(2)根据三棱锥的体积最大,确定M的位置,建立空间直角坐标系,求出点的坐标,利用向量法进行求解即可.
【解答】解:(1)证明:在半圆中,DM⊥MC,
∵正方形ABCD所在的平面与半圆弧 所在平面垂直,
∴AD⊥平面DCM,则AD⊥MC,
∵AD∩DM=D,
∴MC⊥平面ADM,
∵MC⊂平面MBC,
∴平面AMD⊥平面BMC.
(2)∵△ABC的面积为定值,
∴要使三棱锥M﹣ABC体积最大,则三棱锥的高最大,
此时M为圆弧的中点,
建立以O为坐标原点,如图所示的空间直角坐标系如图
∵正方形ABCD的边长为2,
∴A(2,﹣1,0),B(2,1,0),M(0,0,1),
则平面MCD的法向量 =(1,0,0),
设平面MAB的法向量为 =(x,y,z)
则 =(0,2,0), =(﹣2,1,1),
由 • =2y=0, • =﹣2x+y+z=0,
令x=1,
则y=0,z=2,即 =(1,0,2),
则cos< , >= = = ,
则面MAB与面MCD所成二面角的正弦值sinα= = .
【点评】本题主要考查空间平面垂直的判定以及二面角的求解,利用相应的判定定理以及建立坐标系,利用向量法是解决本题的关键.
20.(12分)
【考点】KL:直线与椭圆的位置关系;K3:椭圆的标准方程.
【分析】(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),利用点差法得6(x1﹣x2)+8m(y1﹣y2)=0,k= =﹣ =﹣
又点M(1,m)在椭圆内,即 ,解得m的取值范围,即可得k<﹣ ,
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x3,y3),可得x1+x2=2
由 + + = ,可得x3﹣1=0,由椭圆的焦半径公式得则|FA|=a﹣ex1=2﹣ x1,|FB|=2﹣ x2,|FP|=2﹣ x3= .即可证明|FA|+|FB|=2|FP|,求得A,B坐标再求公差.
【解答】解:(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),
∵线段AB的中点为M(1,m),
∴x1+x2=2,y1+y2=2m
将A,B代入椭圆C: + =1中,可得
,
两式相减可得,3(x1+x2)(x1﹣x2)+4(y1+y2)(y1﹣y2)=0,
即6(x1﹣x2)+8m(y1﹣y2)=0,
∴k= =﹣ =﹣
点M(1,m)在椭圆内,即 ,
解得0<m
∴ .
(2)证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x3,y3),
可得x1+x2=2,
∵ + + = ,F(1,0),∴x1﹣1+x2﹣1+x3﹣1=0,y1+y2+y3=0,
∴x3=1,y3=﹣(y1+y2)=﹣2m
∵m>0,可得P在第四象限,故y3=﹣ ,m= ,k=﹣1
由椭圆的焦半径公式得则|FA|=a﹣ex1=2﹣ x1,|FB|=2﹣ x2,|FP|=2﹣ x3= .
则|FA|+|FB|=4﹣ ,∴|FA|+|FB|=2|FP|,
联立 ,可得|x1﹣x2|=
所以该数列的公差d满足2d= |x1﹣x2|= ,
∴该数列的公差为± .
【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用,考查了点差法、焦半径公式,考查分析问题解决问题的能力,转化思想的应用与计算能力的考查.属于中档题.
21.(12分)
【考点】6D:利用导数研究函数的极值.
【分析】(1)对函数f(x)两次求导数,分别判断f′(x)和f(x)的单调性,结合f(0)=0即可得出结论;
(2)令h(x)为f′(x)的分子,令h″(0)计算a,讨论a的范围,得出f(x)的单调性,从而得出a的值.
【解答】(1)证明:当a=0时,f(x)=(2+x)ln(1+x)﹣2x,(x>﹣1).
, ,
可得x∈(﹣1,0)时,f″(x)≤0,x∈(0,+∞)时,f″(x)≥0
∴f′(x)在(﹣1,0)递减,在(0,+∞)递增,
∴f′(x)≥f′(0)=0,
∴f(x)=(2+x)ln(1+x)﹣2x在(﹣1,+∞)上单调递增,又f(0)=0.
∴当﹣1<x<0时,f(x)<0;当x>0时,f(x)>0.
(2)解:由f(x)=(2+x+ax2)ln(1+x)﹣2x,得
f′(x)=(1+2ax)ln(1+x)+ ﹣2= ,
令h(x)=ax2﹣x+(1+2ax)(1+x)ln(x+1),
h′(x)=4ax+(4ax+2a+1)ln(x+1).
当a≥0,x>0时,h′(x)>0,h(x)单调递增,
∴h(x)>h(0)=0,即f′(x)>0,
∴f(x)在(0,+∞)上单调递增,故x=0不是f(x)的极大值点,不符合题意.
当a<0时,h″(x)=8a+4aln(x+1)+ ,
显然h″(x)单调递减,
①令h″(0)=0,解得a=﹣ .
∴当﹣1<x<0时,h″(x)>0,当x>0时,h″(x)<0,
∴h′(x)在(﹣1,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减,
∴h′(x)≤h′(0)=0,
∴h(x)单调递减,又h(0)=0,
∴当﹣1<x<0时,h(x)>0,即f′(x)>0,
当x>0时,h(x)<0,即f′(x)<0,
∴f(x)在(﹣1,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减,
∴x=0是f(x)的极大值点,符合题意;
②若﹣ <a<0,则h″(0)=1+6a>0,h″(e ﹣1)=(2a﹣1)(1﹣e )<0,
∴h″(x)=0在(0,+∞)上有唯一一个零点,设为x0,
∴当0<x<x0时,h″(x)>0,h′(x)单调递增,
∴h′(x)>h′(0)=0,即f′(x)>0,
∴f(x)在(0,x0)上单调递增,不符合题意;
③若a<﹣ ,则h″(0)=1+6a<0,h″( ﹣1)=(1﹣2a)e2>0,
∴h″(x)=0在(﹣1,0)上有唯一一个零点,设为x1,
∴当x1<x<0时,h″(x)<0,h′(x)单调递减,
∴h′(x)>h′(0)=0,∴h(x)单调递增,
∴h(x)<h(0)=0,即f′(x)<0,
∴f(x)在(x1,0)上单调递减,不符合题意.
综上,a=﹣ .
【点评】本题考查了导数与函数单调性的关系,函数单调性与极值的计算,零点的存在性定理,属于难题.
(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)
22.(10分)
【考点】QK:圆的参数方程.
【分析】(1)⊙O的普通方程为x2+y2=1,圆心为O(0,0),半径r=1,当α= 时,直线l的方程为x=0,成立;当α≠ 时,过点(0,﹣ )且倾斜角为α的直线l的方程为y=tanα•x+ ,从而圆心O(0,0)到直线l的距离d= <1,进而求出 或 ,由此能求出α的取值范围.
(2)设直线l的方程为x=m(y+ ),联立 ,得(m2+1)y2+2 +2m2﹣1=0,由此利用韦达定理、中点坐标公式能求出AB中点P的轨迹的参数方程.
【解答】解:(1)∵⊙O的参数方程为 (θ为参数),
∴⊙O的普通方程为x2+y2=1,圆心为O(0,0),半径r=1,
当α= 时,过点(0,﹣ )且倾斜角为α的直线l的方程为x=0,成立;
当α≠ 时,过点(0,﹣ )且倾斜角为α的直线l的方程为y=tanα•x+ ,
∵倾斜角为α的直线l与⊙O交于A,B两点,
∴圆心O(0,0)到直线l的距离d= <1,
∴tan2α>1,∴tanα>1或tanα<﹣1,
∴ 或 ,
综上α的取值范围是( , ).
(2)由(1)知直线l的斜率不为0,设直线l的方程为x=m(y+ ),
设A(x1,y1),(B(x2,y2),P(x3,y3),
联立 ,得(m2+1)y2+2 +2m2﹣1=0,
,
=﹣ +2 ,
= , =﹣ ,
∴AB中点P的轨迹的参数方程为 ,(m为参数),(﹣1<m<1).
【点评】本题考查直线直线的倾斜角的取值范围的求法,考查线段的中点的参数方程的求法,考查参数方程、直角坐标方和、韦达定理、中点坐标公式等基础知识,考查数形结合思想的灵活运用,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是中档题.
[选修4-5:不等式选讲](10分)
23.(10分)
【考点】5B:分段函数的应用;3B:分段函数的解析式求法及其图象的作法.
【分析】(1)利用分段函数的性质将函数表示为分段函数形式进行作图即可.
(2)将不等式恒成立转化为图象关系进行求解即可.
【解答】解:(1)当x≤﹣ 时,f(x)=﹣(2x+1)﹣(x﹣1)=﹣3x,
当﹣ <x<1,f(x)=(2x+1)﹣(x﹣1)=x+2,
当x≥1时,f(x)=(2x+1)+(x﹣1)=3x,
则f(x)= 对应的图象为:
画出y=f(x)的图象;
(2)当x∈[0,+∞)时,f(x)≤ax+b,
当x=0时,f(0)=2≤0•a+b,∴b≥2,
当x>0时,要使f(x)≤ax+b恒成立,
则函数f(x)的图象都在直线y=ax+b的下方或在直线上,
∵f(x)的图象与y轴的交点的纵坐标为2,
且各部分直线的斜率的最大值为3,
故当且仅当a≥3且b≥2时,不等式f(x)≤ax+b在[0,+∞)上成立,
即a+b的最小值为5.
【点评】本题主要考查分段函数的应用,利用不等式和函数之间的关系利用数形结合是解决本题的关键.
请先
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