全国高考3卷16-20年文数全国32016年全国统一高考数学试卷（新课标ⅲ）（文科）及解析

2016年全国统一高考数学试卷（新课标Ⅲ）（文科）

 

一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）

1．（5分）设集合A={0，2，4，6，8，10}，B={4，8}，则∁_AB=（　　）

A．{4，8} B．{0，2，6} C．{0，2，6，10} D．{0，2，4，6，8，10}

2．（5分）若z=4+3i，则 =（　　）

A．1 B．﹣1 C． + i D． ﹣ i

3．（5分）已知向量 =（ ， ）， =（ ， ），则∠ABC=（　　）

A．30° B．45° C．60° D．120°

4．（5分）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图，图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃，下面叙述不正确的是（　　）

A．各月的平均最低气温都在0℃以上

B．七月的平均温差比一月的平均温差大

C．三月和十一月的平均最高气温基本相同

D．平均最高气温高于20℃的月份有5个

5．（5分）小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1，2，3，4，5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是（　　）

A． B． C． D．

6．（5分）若tanθ=﹣ ，则cos2θ=（　　）

A．﹣ B．﹣ C． D．

7．（5分）已知a=2 ，b=3 ，c=25 ，则（　　）

A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b

8．（5分）执行如图程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6

9．（5分）在△ABC中，B= ，BC边上的高等于 BC，则sinA=（　　）

A． B． C． D．

10．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（　　）

A．18+36 B．54+18 C．90 D．81

11．（5分）在封闭的直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA₁=3，则V的最大值是（　　）

A．4π B． C．6π D．

12．（5分）已知O为坐标原点，F是椭圆C： + =1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（　　）

A． B． C． D．

 

二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）

13．（5分）设x，y满足约束条件 ，则z=2x+3y﹣5的最小值为　　　　　　．

14．（5分）函数y=sinx﹣ cosx的图象可由函数y=2sinx的图象至少向右平移　　　　　　个单位长度得到．

15．（5分）已知直线l：x﹣ y+6=0与圆x²+y²=12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点．则|CD|=　　　　　　．

16．（5分）已知f（x）为偶函数，当x≤0时，f（x）=e^﹣x﹣1﹣x，则曲线y=f（x）在点（1，2）处的切线方程是　　　　　　．

 

三、解答题（共5小题，满分60分）

17．（12分）已知各项都为正数的数列{a_n}满足a₁=1，a_n²﹣（2a_n+1﹣1）a_n﹣2a_n+1=0．

（1）求a₂，a₃；

（2）求{a_n}的通项公式．

18．（12分）如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图．

注：年份代码1﹣7分别对应年份2008﹣2014．

（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以证明；

（2）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．

附注：

参考数据： y_i=9.32， t_iy_i=40.17， =0.55， ≈2.646．

参考公式：r= ，

回归方程 = + t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

= ， = ﹣ ．

19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．

（Ⅰ）证明MN∥平面PAB；

（Ⅱ）求四面体N﹣BCM的体积．

20．（12分）已知抛物线C：y²=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l₁，l₂分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．

（Ⅰ）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；

（Ⅱ）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．

21．（12分）设函数f（x）=lnx﹣x+1．

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）证明当x∈（1，+∞）时，1＜ ＜x；

（3）设c＞1，证明当x∈（0，1）时，1+（c﹣1）x＞c^x．

 

请考生在第22-24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]

22．（10分）如图，⊙O中 的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点．

（1）若∠PFB=2∠PCD，求∠PCD的大小；

（2）若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明：OG⊥CD．

 

[选修4-4：坐标系与参数方程]

23．在直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为 （α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为ρsin（θ+ ）=2 ．

（1）写出C₁的普通方程和C₂的直角坐标方程；

（2）设点P在C₁上，点Q在C₂上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．

 

[选修4-5：不等式选讲]

24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．

（1）当a=2时，求不等式f（x）≤6的解集；

（2）设函数g（x）=|2x﹣1|，当x∈R时，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围．

 

2016年全国统一高考数学试卷（新课标Ⅲ）（文科）

参考答案与试题解析

 

一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）

1．（5分）

【考点】交、并、补集的混合运算．菁优网版权所有

【分析】直接利用集合的交、并、补的运算法则求解即可．

【解答】解：集合A={0，2，4，6，8，10}，B={4，8}，则∁_AB={0，2，6，10}．

故选：C．

【点评】本题考查集合的基本运算，是基础题．

2．（5分）

【考点】复数代数形式的乘除运算．菁优网版权所有

【分析】利用复数的除法以及复数的模化简求解即可．

【解答】解：z=4+3i，则 = = = ﹣ i．

故选：D．

【点评】本题考查复数的代数形式混合运算，考查计算能力．

3．（5分）

【考点】数量积表示两个向量的夹角．菁优网版权所有

【分析】根据向量 的坐标便可求出 ，及 的值，从而根据向量夹角余弦公式即可求出cos∠ABC的值，根据∠ABC的范围便可得出∠ABC的值．

【解答】解： ， ；

∴ ；

又0≤∠ABC≤180°；

∴∠ABC=30°．

故选A．

【点评】考查向量数量积的坐标运算，根据向量坐标求向量长度的方法，以及向量夹角的余弦公式，向量夹角的范围，已知三角函数值求角．

4．（5分）

【考点】进行简单的合情推理．菁优网版权所有

【分析】根据平均最高气温和平均最低气温的雷达图进行推理判断即可．

【解答】解：A．由雷达图知各月的平均最低气温都在0℃以上，正确

B．七月的平均温差大约在10°左右，一月的平均温差在5°左右，故七月的平均温差比一月的平均温差大，正确

C．三月和十一月的平均最高气温基本相同，都为10°，正确

D．平均最高气温高于20℃的月份有7，8两个月，故D错误，

故选：D

【点评】本题主要考查推理和证明的应用，根据平均最高气温和平均最低气温的雷达图，利用图象法进行判断是解决本题的关键．

5．（5分）

【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．菁优网版权所有

【分析】列举出从M，I，N中任取一个字母，再从1，2，3，4，5中任取一个数字的基本事件数，然后由随机事件发生的概率得答案．

【解答】解：从M，I，N中任取一个字母，再从1，2，3，4，5中任取一个数字，取法总数为：

（M，1），（M，2），（M，3），（M，4），（M，5），（I，1），（I，2），（I，3），（I，4），（I，5），（N，1），（N，2），（N，3），（N，4），（N，5）共15种．

其中只有一个是小敏的密码前两位．

由随机事件发生的概率可得，小敏输入一次密码能够成功开机的概率是 ．

故选：C．

【点评】本题考查随机事件发生的概率，关键是列举基本事件总数时不重不漏，是基础题．

6．（5分）

【考点】三角函数的化简求值．菁优网版权所有

【分析】展开二倍角的余弦，进一步转化为含有tanθ的代数式得答案．

【解答】解：由tanθ=﹣ ，得cos2θ=cos²θ﹣sin²θ

= = ．

故选：D．

【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础的计算题．

7．（5分）

【考点】对数函数图象与性质的综合应用；指数函数的单调性与特殊点；幂函数的实际应用．菁优网版权所有

【分析】b=4 = ，c=25 = ，结合幂函数的单调性，可比较a，b，c，进而得到答案．

【解答】解：∵a=2 = ，

b=3 ，

c=25 = ，

综上可得：b＜a＜c，

故选A

【点评】本题考查的知识点是指数函数的单调性，幂函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．

8．（5分）

【考点】程序框图．菁优网版权所有

【分析】模拟执行程序，根据赋值语句的功能依次写出每次循环得到的a，b，s，n的值，当s=20时满足条件s＞16，退出循环，输出n的值为4．

【解答】解：模拟执行程序，可得

a=4，b=6，n=0，s=0

执行循环体，a=2，b=4，a=6，s=6，n=1

不满足条件s＞16，执行循环体，a=﹣2，b=6，a=4，s=10，n=2

不满足条件s＞16，执行循环体，a=2，b=4，a=6，s=16，n=3

不满足条件s＞16，执行循环体，a=﹣2，b=6，a=4，s=20，n=4

满足条件s＞16，退出循环，输出n的值为4．

故选：B．

【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，正确依次写出每次循环得到的a，b，s的值是解题的关键，属于基础题．

9．（5分）

【考点】解三角形的实际应用；三角形中的几何计算．菁优网版权所有

【分析】由已知，结合勾股定理和余弦定理，求出AB，AC，再由三角形面积公式，可得sinA．

【解答】解：∵在△ABC中，B= ，BC边上的高等于 BC，

∴AB= BC，

由余弦定理得：AC= = = BC，

故 BC• BC= AB•AC•sinA= • BC• BC•sinA，

∴sinA= ，

故选：D

【点评】本题考查的知识眯是三角形中的几何计算，熟练掌握正弦定理和余弦定理，是解答的关键．

10．（5分）

【考点】由三视图求面积、体积．菁优网版权所有

【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱柱，进而得到答案．

【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱柱，

其底面面积为：3×6=18，

前后侧面的面积为：3×6×2=36，

左右侧面的面积为：3× ×2=18 ，

故棱柱的表面积为：18+36+9 =54+18 ．

故选：B．

【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．

11．（5分）

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．菁优网版权所有

【分析】根据已知可得直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁的内切球半径为 ，代入球的体积公式，可得答案．

【解答】解：∵AB⊥BC，AB=6，BC=8，

∴AC=10．

故三角形ABC的内切圆半径r= =2，

又由AA₁=3，

故直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁的内切球半径为 ，

此时V的最大值 = ，

故选：B

【点评】本题考查的知识点是棱柱的几何特征，根据已知求出球的半径，是解答的关键．

12．（5分）

【考点】椭圆的简单性质．菁优网版权所有

【分析】由题意可得F，A，B的坐标，设出直线AE的方程为y=k（x+a），分别令x=﹣c，x=0，可得M，E的坐标，再由中点坐标公式可得H的坐标，运用三点共线的条件：斜率相等，结合离心率公式，即可得到所求值．

【解答】解：由题意可设F（﹣c，0），A（﹣a，0），B（a，0），

令x=﹣c，代入椭圆方程可得y=±b =± ，

可得P（﹣c， ），

设直线AE的方程为y=k（x+a），

令x=﹣c，可得M（﹣c，k（a﹣c）），令x=0，可得E（0，ka），

设OE的中点为H，可得H（0， ），

由B，H，M三点共线，可得k_BH=k_BM，

即为 = ，

化简可得 = ，即为a=3c，

可得e= = ．

故选：A．

【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用椭圆的方程和性质，以及直线方程的运用和三点共线的条件：斜率相等，考查化简整理的运算能力，属于中档题．

 

二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）

13．（5分）

【考点】简单线性规划．菁优网版权所有

【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．

【解答】解：由约束条件 作出可行域如图，

∰

联立 ，解得 ，即A（﹣1，﹣1）．

化目标函数z=2x+3y﹣5为 ．

由图可知，当直线 过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为2×（﹣1）+3×（﹣1）﹣5=﹣10．

故答案为：﹣10．

【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．

 

14．（5分）

【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．菁优网版权所有

【分析】令f（x）=2sinx，则f（x﹣φ）=2in（x﹣φ），依题意可得2sin（x﹣φ）=2sin（x﹣ ），由﹣φ=2kπ﹣ （k∈Z），可得答案．

【解答】解：∵y=sinx﹣ cosx=2sin（x﹣ ），

令f（x）=2sinx，

则f（x﹣φ）=2in（x﹣φ）（φ＞0），

依题意可得2sin（x﹣φ）=2sin（x﹣ ），

故﹣φ=2kπ﹣ （k∈Z），

即φ=﹣2kπ+ （k∈Z），

当k=0时，正数φ_min= ，

故答案为： ．

【点评】本题考查函数y=sinx的图象变换得到y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象，得到﹣φ=2kπ﹣ （k∈Z）是关键，属于中档题．

15．（5分）

【考点】直线与圆相交的性质．菁优网版权所有

【分析】先求出|AB|，再利用三角函数求出|CD|即可．

【解答】解：由题意，圆心到直线的距离d= =3，

∴|AB|=2 =2 ，

∵直线l：x﹣ y+6=0

∴直线l的倾斜角为30°，

∵过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，

∴|CD|= =4．

故答案为：4．

【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查弦长的计算，考查学生的计算能力，比较基础．

 

16．（5分）

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有

【分析】由已知函数的奇偶性结合x≤0时的解析式求出x＞0时的解析式，求出导函数，得到f′（1），然后代入直线方程的点斜式得答案．

【解答】解：已知f（x）为偶函数，当x≤0时，f（x）=e^﹣x﹣1﹣x，

设x＞0，则﹣x＜0，

∴f（x）=f（﹣x）=e^x﹣1+x，

则f′（x）=e^x﹣1+1，

f′（1）=e⁰+1=2．

∴曲线y=f（x）在点（1，2）处的切线方程是y﹣2=2（x﹣1）．

即y=2x．

故答案为：y=2x．

【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了函数解析式的求解及常用方法，是中档题．

 

三、解答题（共5小题，满分60分）

17．（12分）

【考点】数列递推式．菁优网版权所有

【分析】（1）根据题意，由数列的递推公式，令n=1可得a₁²﹣（2a₂﹣1）a₁﹣2a₂=0，将a₁=1代入可得a₂的值，进而令n=2可得a₂²﹣（2a₃﹣1）a₂﹣2a₃=0，将a₂= 代入计算可得a₃的值，即可得答案；

（2）根据题意，将a_n²﹣（2a_n+1﹣1）a_n﹣2a_n+1=0变形可得（a_n﹣2a_n+1）（a_n+a_n+1）=0，进而分析可得a_n=2a_n+1或a_n=﹣a_n+1，结合数列各项为正可得a_n=2a_n+1，结合等比数列的性质可得{a_n}是首项为a₁=1，公比为 的等比数列，由等比数列的通项公式计算可得答案．

【解答】解：（1）根据题意，a_n²﹣（2a_n+1﹣1）a_n﹣2a_n+1=0，

当n=1时，有a₁²﹣（2a₂﹣1）a₁﹣2a₂=0，

而a₁=1，则有1﹣（2a₂﹣1）﹣2a₂=0，解可得a₂= ，

当n=2时，有a₂²﹣（2a₃﹣1）a₂﹣2a₃=0，

又由a₂= ，解可得a₃= ，

故a₂= ，a₃= ；

（2）根据题意，a_n²﹣（2a_n+1﹣1）a_n﹣2a_n+1=0，

变形可得（a_n﹣2a_n+1）（a_n+1）=0，

即有a_n=2a_n+1或a_n=﹣1，

又由数列{a_n}各项都为正数，

则有a_n=2a_n+1，

故数列{a_n}是首项为a₁=1，公比为 的等比数列，

则a_n=1×（ ）^n﹣1= ^n﹣1，

故a_n= ^n﹣1．

【点评】本题考查数列的递推公式，关键是转化思路，分析得到a_n与a_n+1的关系．

 

18．（12分）

【考点】线性回归方程．菁优网版权所有

【分析】（1）由折线图看出，y与t之间存在较强的正相关关系，将已知数据代入相关系数方程，可得答案；

（2）根据已知中的数据，求出回归系数，可得回归方程，2016年对应的t值为9，代入可预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．

【解答】解：（1）由折线图看出，y与t之间存在较强的正相关关系，理由如下：

∵r= = ≈ ≈ ≈0.996，

∵0.996＞0.75，

故y与t之间存在较强的正相关关系；

（2） = = ≈ ≈0.103，

= ﹣ ≈1.331﹣0.103×4≈0.92，

∴y关于t的回归方程 =0.10t+0.92，

2016年对应的t值为9，

故 =0.10×9+0.92=1.82，

预测2016年我国生活垃圾无害化处理量为1.82亿吨．

【点评】本题考查的知识点是线性回归方程，回归分析，计算量比较大，计算时要细心．

19．（12分）

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．菁优网版权所有

【分析】（Ⅰ）取BC中点E，连结EN，EM，得NE是△PBC的中位线，推导出四边形ABEM是平行四边形，由此能证明MN∥平面PAB．

（Ⅱ）取AC中点F，连结NF，NF是△PAC的中位线，推导出NF⊥面ABCD，延长BC至G，使得CG=AM，连结GM，则四边形AGCM是平行四边形，由此能求出四面体N﹣BCM的体积．

【解答】证明：（Ⅰ）取BC中点E，连结EN，EM，

∵N为PC的中点，∴NE是△PBC的中位线，

∴NE∥PB，

又∵AD∥BC，∴BE∥AD，

∵AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，

∴BE= BC=AM=2，

∴四边形ABEM是平行四边形，

∴EM∥AB，∴平面NEM∥平面PAB，

∵MN⊂平面NEM，∴MN∥平面PAB．

解：（Ⅱ）取AC中点F，连结NF，

∵NF是△PAC的中位线，

∴NF∥PA，NF= =2，

又∵PA⊥面ABCD，∴NF⊥面ABCD，

如图，延长BC至G，使得CG=AM，连结GM，

∵AM CG，∴四边形AGCM是平行四边形，

∴AC=MG=3，

又∵ME=3，EC=CG=2，

∴△MEG的高h= ，

∴S_△BCM= = =2 ，

∴四面体N﹣BCM的体积V_N﹣BCM= = = ．

【点评】本题考查线面平行的证明，考查四面体的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．

20．（12分）

【考点】抛物线的简单性质；轨迹方程．菁优网版权所有

【分析】（Ⅰ）连接RF，PF，利用等角的余角相等，证明∠PRA=∠PRF，即可证明AR∥FQ；

（Ⅱ）利用△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求出N的坐标，利用点差法求AB中点的轨迹方程．

【解答】（Ⅰ）证明：连接RF，PF，

由AP=AF，BQ=BF及AP∥BQ，得∠AFP+∠BFQ=180°，

∴∠PFQ=90°，

∵R是PQ的中点，

∴RF=RP=RQ，

∴△PAR≌△FAR，

∴∠PAR=∠FAR，∠PRA=∠FRA，

∵∠BQF+∠BFQ=180°﹣∠QBF=∠PAF=2∠PAR，

∴∠FQB=∠PAR，

∴∠PRA=∠PRF，

∴AR∥FQ．

（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），

F（ ，0），准线为 x=﹣ ，

S_△PQF= |PQ|= |y₁﹣y₂|，

设直线AB与x轴交点为N，

∴S_△ABF= |FN||y₁﹣y₂|，

∵△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，

∴2|FN|=1，∴x_N=1，即N（1，0）．

设AB中点为M（x，y），由 得 =2（x₁﹣x₂），

又 = ，

∴ = ，即y²=x﹣1．

∴AB中点轨迹方程为y²=x﹣1．

【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查轨迹方程，考查学生的计算能力，属于中档题．

21．（12分）

【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．菁优网版权所有

【分析】（1）求出导数，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间，注意函数的定义域；

（2）由题意可得即证lnx＜x﹣1＜xlnx．运用（1）的单调性可得lnx＜x﹣1，设F（x）=xlnx﹣x+1，x＞1，求出单调性，即可得到x﹣1＜xlnx成立；

（3）设G（x）=1+（c﹣1）x﹣c^x，求出导数，可令G′（x）=0，由c＞1，x∈（0，1），可得1＜ ＜c，由（1）可得c^x= 恰有一解，设为x=x₀是G（x）的最小值点，运用最值，结合不等式的性质，即可得证．

【解答】解：（1）函数f（x）=lnx﹣x+1的导数为f′（x）= ﹣1，

由f′（x）＞0，可得0＜x＜1；由f′（x）＜0，可得x＞1．

即有f（x）的增区间为（0，1）；减区间为（1，+∞）；

（2）证明：当x∈（1，+∞）时，1＜ ＜x，即为lnx＜x﹣1＜xlnx．

由（1）可得f（x）=lnx﹣x+1在（1，+∞）递减，

可得f（x）＜f（1）=0，即有lnx＜x﹣1；

设F（x）=xlnx﹣x+1，x＞1，F′（x）=1+lnx﹣1=lnx，

当x＞1时，F′（x）＞0，可得F（x）递增，即有F（x）＞F（1）=0，

即有xlnx＞x﹣1，则原不等式成立；

（3）证明：设G（x）=1+（c﹣1）x﹣c^x，G′（x）=c﹣1﹣c^xlnc，

可令G′（x）=0，可得c^x= ，

由c＞1，x∈（0，1），可得1＜c^x＜c，即1＜ ＜c，

由（1）可得c^x= 恰有一解，设为x=x₀是G（x）的最大值点，且0＜x₀＜1，

由G（0）=G（1）=0，且G（x）在（0，x₀）递增，在（x₀，1）递减，

可得G（x₀）=1+（c﹣1）x₀﹣c^x0＞0成立，

则c＞1，当x∈（0，1）时，1+（c﹣1）x＞c^x．

【点评】本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查不等式的证明，注意运用构造函数法，求出导数判断单调性，考查推理和运算能力，属于中档题．

 

请考生在第22-24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]

22．（10分）

【考点】与圆有关的比例线段．菁优网版权所有

【分析】（1）连接PA，PB，BC，设∠PEB=∠1，∠PCB=∠2，∠ABC=∠3，∠PBA=∠4，∠PAB=∠5，运用圆的性质和四点共圆的判断，可得E，C，D，F共圆，再由圆内接四边形的性质，即可得到所求∠PCD的度数；

（2）运用圆的定义和E，C，D，F共圆，可得G为圆心，G在CD的中垂线上，即可得证．

【解答】（1）解：连接PB，BC，

设∠PEB=∠1，∠PCB=∠2，∠ABC=∠3，

∠PBA=∠4，∠PAB=∠5，

由⊙O中 的中点为P，可得∠4=∠5，

在△EBC中，∠1=∠2+∠3，

又∠D=∠3+∠4，∠2=∠5，

即有∠2=∠4，则∠D=∠1，

则四点E，C，D，F共圆，

可得∠EFD+∠PCD=180°，

由∠PFB=∠EFD=2∠PCD，

即有3∠PCD=180°，

可得∠PCD=60°；

（2）证明：由C，D，E，F共圆，

由EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G

可得G为圆心，即有GC=GD，

则G在CD的中垂线，又CD为圆G的弦，

则OG⊥CD．

【点评】本题考查圆内接四边形的性质和四点共圆的判断，以及圆的垂径定理的运用，考查推理能力，属于中档题．

 

[选修4-4：坐标系与参数方程]

23．（10分）

【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．菁优网版权所有

【分析】（1）运用两边平方和同角的平方关系，即可得到C₁的普通方程，运用x=ρcosθ，y=ρsinθ，以及两角和的正弦公式，化简可得C₂的直角坐标方程；

（2）由题意可得当直线x+y﹣4=0的平行线与椭圆相切时，|PQ|取得最值．设与直线x+y﹣4=0平行的直线方程为x+y+t=0，代入椭圆方程，运用判别式为0，求得t，再由平行线的距离公式，可得|PQ|的最小值，解方程可得P的直角坐标．

【解答】解：（1）曲线C₁的参数方程为 （α为参数），

移项后两边平方可得 +y²=cos²α+sin²α=1，

即有椭圆C₁： +y²=1；

曲线C₂的极坐标方程为ρsin（θ+ ）=2 ，

即有ρ（ sinθ+ cosθ）=2 ，

由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得x+y﹣4=0，

即有C₂的直角坐标方程为直线x+y﹣4=0；

（2）由题意可得当直线x+y﹣4=0的平行线与椭圆相切时，

|PQ|取得最值．

设与直线x+y﹣4=0平行的直线方程为x+y+t=0，

联立 可得4x²+6tx+3t²﹣3=0，

由直线与椭圆相切，可得△=36t²﹣16（3t²﹣3）=0，

解得t=±2，

显然t=﹣2时，|PQ|取得最小值，

即有|PQ|= = ，

此时4x²﹣12x+9=0，解得x= ，

即为P（ ， ）．

【点评】本题考查参数方程和普通方程的互化、极坐标和直角坐标的互化，同时考查直线与椭圆的位置关系，主要是相切，考查化简整理的运算能力，属于中档题．

[选修4-5：不等式选讲]

24．（10分）

【考点】绝对值不等式的解法．菁优网版权所有

【分析】（1）当a=2时，由已知得|2x﹣2|+2≤6，由此能求出不等式f（x）≤6的解集．

（2）由f（x）+g（x）=|2x﹣1|+|2x﹣a|+a≥3，得|x﹣ |+|x﹣ |≥ ，由此能求出a的取值范围．

【解答】解：（1）当a=2时，f（x）=|2x﹣2|+2，

∵f（x）≤6，∴|2x﹣2|+2≤6，

|2x﹣2|≤4，|x﹣1|≤2，

∴﹣2≤x﹣1≤2，

解得﹣1≤x≤3，

∴不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣1≤x≤3}．

（2）∵g（x）=|2x﹣1|，

∴f（x）+g（x）=|2x﹣1|+|2x﹣a|+a≥3，

2|x﹣ |+2|x﹣ |+a≥3，

|x﹣ |+|x﹣ |≥ ，

当a≥3时，成立，

当a＜3时， |a﹣1|≥ ＞0，

∴（a﹣1）²≥（3﹣a）²，

解得2≤a＜3，

∴a的取值范围是[2，+∞）．

【点评】本题考查含绝对值不等式的解法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意不等式性质的合理运用．

 

 

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