全国高考3卷16-20年文数全国32020年全国统一高考数学试卷A4文科）（新课标ⅲ）

2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合A＝{1，2，3，5，7，11}，B＝{x|3＜x＜15}，则A∩B中元素的个数为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5

2．（5分）若 （1+i）＝1﹣i，则z＝（　　）

A．1﹣i B．1+i C．﹣i D．i

3．（5分）设一组样本数据x₁，x₂，…，x_n的方差为0.01，则数据10x₁，10x₂，…，10x_n的方差为（　　）

A．0.01 B．0.1 C．1 D．10

4．（5分）Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I（t）（t的单位：天）的Logistic模型：I（t）＝ ，其中K为最大确诊病例数．当I（t^*）＝0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t^*约为（　　）（ln19≈3）

A．60 B．63 C．66 D．69

5．（5分）已知sinθ+sin（θ+ ）＝1，则sin（θ+ ）＝（　　）

A． B． C． D．

6．（5分）在平面内，A，B是两个定点，C是动点．若 • ＝1，则点C的轨迹为（　　）

A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．直线

7．（5分）设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y²＝2px（p＞0）交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为（　　）

A．（ ，0） B．（ ，0） C．（1，0） D．（2，0）

8．（5分）点（0，﹣1）到直线y＝k（x+1）距离的最大值为（　　）

A．1 B． C． D．2

9．（5分）如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（　　）

A．6+4 B．4+4 C．6+2 D．4+2

10．（5分）设a＝log₃2，b＝log₅3，c＝ ，则（　　）

A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b

11．（5分）在△ABC中，cosC＝ ，AC＝4，BC＝3，则tanB＝（　　）

A． B．2 C．4 D．8

12．（5分）已知函数f（x）＝sinx+ ，则（　　）

A．f（x）的最小值为2

B．f（x）的图象关于y轴对称

C．f（x）的图象关于直线x＝π对称

D．f（x）的图象关于直线x＝ 对称

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（5分）若x，y满足约束条件 则z＝3x+2y的最大值为　 　．

14．（5分）设双曲线C： ﹣ ＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为y＝ x，则C的离心率为　 　．

15．（5分）设函数f（x）＝ ，若f′（1）＝ ，则a＝　 　．

16．（5分）已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的表面积为　 　．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。

17．（12分）设等比数列{a_n}满足a₁+a₂＝4，a₃﹣a₁＝8．

（1）求{a_n}的通项公式；

（2）记S_n为数列{log₃a_n}的前n项和．若S_m+S_m+1═S_m+3，求m．

18．（12分）某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：

锻炼人次 空气质量等级	[0，200]	（200，400]	（400，600]
1（优）	2	16	25
2（良）	5	10	12
3（轻度污染）	6	7	8
4（中度污染）	7	2	0

（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；

（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；

（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？

	人次≤400	人次＞400
空气质量好
空气质量不好

附：K²＝

P（K2≥k）	0.050	0.010	0.001
k	3.841	6.635	10.828

19．（12分）如图，在长方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，点E，F分别在棱DD₁，BB₁上，且2DE＝ED₁，BF＝2FB₁．证明：

（1）当AB＝BC时，EF⊥AC；

（2）点C₁在平面AEF内．

20．（12分）已知函数f（x）＝x³﹣kx+k²．

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）若f（x）有三个零点，求k的取值范围．

21．（12分）已知椭圆C： + ＝1（0＜m＜5）的离心率为 ，A，B分别为C的左、右顶点．

（1）求C的方程；

（2）若点P在C上，点Q在直线x＝6上，且|BP|＝|BQ|，BP⊥BQ，求△APQ的面积．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 （t为参数且t≠1），C与坐标轴交于A，B两点．

（1）求|AB|；

（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程．

[选修4-5：不等式选讲]（10分）

23．设a，b，c∈R，a+b+c＝0，abc＝1．

（1）证明：ab+bc+ca＜0；

（2）用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，证明：max{a，b，c}≥ ．

2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ）

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合A＝{1，2，3，5，7，11}，B＝{x|3＜x＜15}，则A∩B中元素的个数为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5

【考点】1E：交集及其运算．菁优网版权所有

【专题】11：计算题；37：集合思想；4O：定义法；5J：集合；65：数学运算．

【分析】根据题意求出A∩B，进而能求出A∩B中元素的个数．

【解答】解：∵集合A＝{1，2，3，5，7，11}，B＝{x|3＜x＜15），

∴A∩B＝{5，7，11}，

∴A∩B中元素的个数为3．

故选：B．

【点评】本题考查交集中元素个数的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

2．（5分）若 （1+i）＝1﹣i，则z＝（　　）

A．1﹣i B．1+i C．﹣i D．i

【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有

【专题】38：对应思想；4O：定义法；5N：数系的扩充和复数；65：数学运算．

【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案．

【解答】解：由 （1+i）＝1﹣i，得 ，

∴z＝i．

故选：D．

【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．

3．（5分）设一组样本数据x₁，x₂，…，x_n的方差为0.01，则数据10x₁，10x₂，…，10x_n的方差为（　　）

A．0.01 B．0.1 C．1 D．10

【考点】BC：极差、方差与标准差．菁优网版权所有

【专题】38：对应思想；4O：定义法；5I：概率与统计；66：数据分析．

【分析】根据任何一组数据同时扩大几倍方差将变为平方倍增长，求出新数据的方差即可．

【解答】解：∵样本数据x₁，x₂，…，x_n的方差为0.01，

∴根据任何一组数据同时扩大几倍方差将变为平方倍增长，

∴数据10x₁，10x₂，…，10x_n的方差为：100×0.01＝1，

故选：C．

【点评】本题考查了方差的性质，掌握根据任何一组数据同时扩大几倍方差将变为平方倍增长是解题的关键，本题属于基础题．

4．（5分）Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I（t）（t的单位：天）的Logistic模型：I（t）＝ ，其中K为最大确诊病例数．当I（t^*）＝0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t^*约为（　　）（ln19≈3）

A．60 B．63 C．66 D．69

【考点】5C：根据实际问题选择函数类型．菁优网版权所有

【专题】33：函数思想；48：分析法；51：函数的性质及应用；65：数学运算．

【分析】根据所给材料的公式列出方程 ＝0.95K，解出t即可．

【解答】解：由已知可得 ＝0.95K，解得e^{﹣0.23（t﹣53）}＝ ，

两边取对数有﹣0.23（t﹣53）＝﹣ln19，

解得t≈66，

故选：C．

【点评】本题考查函数模型的实际应用，考查学生计算能力，属于中档题

5．（5分）已知sinθ+sin（θ+ ）＝1，则sin（θ+ ）＝（　　）

A． B． C． D．

【考点】GP：两角和与差的三角函数．菁优网版权所有

【专题】35：转化思想；4R：转化法；56：三角函数的求值；65：数学运算．

【分析】利用两角和差的三角公式，进行转化，利用辅助角公式进行化简即可．

【解答】解：∵sinθ+sin（ ）＝1，

∴sinθ+ sinθ+ cosθ＝1，

即 sinθ+ cosθ＝1，

得 （ cosθ+ sinθ）＝1，

即 sin（ ）＝1，

得sin（ ）＝

故选：B．

【点评】本题主要考查三角函数值的化简和求值，利用两角和差的三角公式以及辅助角公式进行转化是解决本题的关键．难度不大．

6．（5分）在平面内，A，B是两个定点，C是动点．若 • ＝1，则点C的轨迹为（　　）

A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．直线

【考点】J3：轨迹方程．菁优网版权所有

【专题】1：常规题型；35：转化思想；48：分析法；5A：平面向量及应用；5B：直线与圆；65：数学运算．

【分析】设出A、B、C的坐标，利用已知条件，转化求解C的轨迹方程，推出结果即可．

【解答】解：在平面内，A，B是两个定点，C是动点，

不妨设A（﹣a，0），B（a，0），设C（x，y），

因为 ＝1，

所以（x+a，y）•（x﹣a，y）＝1，

解得x²+y²＝a²+1，

所以点C的轨迹为圆．

故选：A．

【点评】本题考查轨迹方程的求法，向量的数量积的应用，考查计算能力．

7．（5分）设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y²＝2px（p＞0）交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为（　　）

A．（ ，0） B．（ ，0） C．（1，0） D．（2，0）

【考点】KN：直线与抛物线的综合．菁优网版权所有

【专题】11：计算题；35：转化思想；48：分析法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程；65：数学运算．

【分析】法一：利用已知条件转化求解E、D坐标，通过k_OD•k_OE＝﹣1，求解抛物线方程，即可得到抛物线的焦点坐标．

法二：画出图形，求出D的坐标，代入抛物线方程，然后求解即可．

【解答】解：法一：将x＝2代入抛物线y²＝2px，可得y＝±2 ，OD⊥OE，可得k_OD•k_OE＝﹣1，

即 ，解得p＝1，

所以抛物线方程为：y²＝2x，它的焦点坐标（ ，0）．

故选：B．

法二：易知，∠ODE＝45°，可得D（2，2），代入抛物线方程y²＝2px，

可得4＝4p，解得p＝1，

故选：B．

【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查．

8．（5分）点（0，﹣1）到直线y＝k（x+1）距离的最大值为（　　）

A．1 B． C． D．2

【考点】IT：点到直线的距离公式．菁优网版权所有

【专题】35：转化思想；49：综合法；5B：直线与圆；65：数学运算．

【分析】直接代入点到直线的距离公式，结合基本不等式即可求解结论．

【解答】解：因为点（0，﹣1）到直线y＝k（x+1）距离d＝ ＝ ＝ ；

∵要求距离的最大值，故需k＞0；

可得d≤ ＝ ；当k＝1时等号成立；

故选：B．

【点评】本题考查的知识点是点到直线的距离公式，属于基础题．

9．（5分）如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（　　）

A．6+4 B．4+4 C．6+2 D．4+2

【考点】L!：由三视图求面积、体积．菁优网版权所有

【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；48：分析法；5F：空间位置关系与距离；64：直观想象．

【分析】先由三视图画出几何体的直观图，利用三视图的数据，利用三棱锥的表面积公式计算即可．

【解答】解：由三视图可知，几何体的直观图是正方体的一个角，如图：

PA＝AB＝AC＝2，PA、AB、AC两两垂直，

故PB＝BC＝PC＝2 ，

几何体的表面积为：3× ＝6+2 ，

故选：C．

【点评】本题考查多面体的表面积的求法，几何体的三视图与直观图的应用，考查空间想象能力，计算能力．

10．（5分）设a＝log₃2，b＝log₅3，c＝ ，则（　　）

A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b

【考点】4M：对数值大小的比较．菁优网版权所有

【专题】11：计算题；33：函数思想；4O：定义法；5I：概率与统计；65：数学运算．

【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．

【解答】解：∵a＝log₃2＝ ＜ ＝ ，

b＝log₅3＝ ＞ ＝ ，

c＝ ，

∴a＜c＜b．

故选：A．

【点评】本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

11．（5分）在△ABC中，cosC＝ ，AC＝4，BC＝3，则tanB＝（　　）

A． B．2 C．4 D．8

【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．菁优网版权所有

【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；58：解三角形；65：数学运算．

【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求tanC的值，利用余弦定理可求AB的值，可得A＝C，利用三角形的内角和定理可求B＝π﹣2C，利用诱导公式，二倍角的正切函数公式即可求解tanB的值．

【解答】解：∵cosC＝ ，AC＝4，BC＝3，

∴tanC＝ ＝ ，

∴AB＝ ＝ ＝3，可得A＝C，

∴B＝π﹣2C，

则tanB＝tan（π﹣2C）＝﹣tan2C＝ ＝ ＝4 ．

故选：C．

【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，余弦定理，三角形的内角和定理，诱导公式，二倍角的正切函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．

12．（5分）已知函数f（x）＝sinx+ ，则（　　）

A．f（x）的最小值为2

B．f（x）的图象关于y轴对称

C．f（x）的图象关于直线x＝π对称

D．f（x）的图象关于直线x＝ 对称

【考点】2K：命题的真假判断与应用；3M：奇偶函数图象的对称性．菁优网版权所有

【专题】15：综合题；33：函数思想；35：转化思想；4J：换元法；51：函数的性质及应用；62：逻辑推理．

【分析】设sinx＝t，则y＝f（x）＝t+ ，t∈[﹣1，1]，由双勾函数的图象和性质可得，y≥2或y≤﹣2，故可判断A；根据奇偶性定义可以判断B正误；根据对称性的定义可以判断C，D的正误．

【解答】解：由sinx≠0可得函数的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，故定义域关于原点对称；

设sinx＝t，则y＝f（x）＝t+ ，t∈[﹣1，1]，由双勾函数的图象和性质得，y≥2或y≤﹣2，故A错误；

又有f（﹣x）＝sin（﹣x）+ ＝﹣（sinx+ ）＝﹣f（x），故f（x）是奇函数，且定义域关于原点对称，故图象关于原点中心对称；故B错误；

f（π+x）＝sin（π+x）+ ＝﹣sinx﹣ ；f（π﹣x）＝sin（π﹣x）+ ＝sinx+ ，故f（π+x）≠f（π﹣x），f（x）的图象不关于直线x＝π对称，C错误；

又f（ +x）＝sin（ +x）+ ＝cosx+ ；f（ ﹣x）＝sin（ ﹣x）+ ＝cosx+ ，故f（ +x）＝f（ ﹣x），定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，f（x）的图象关于直线x＝ 对称；D正确；

故选：D．

【点评】本题考查了基本初等函数的图象与性质，考查了对函数奇偶性和对称性质的灵活应用能力，属于基础题．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（5分）若x，y满足约束条件 则z＝3x+2y的最大值为　7　．

【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有

【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；48：分析法；5T：不等式；63：数学建模．

【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z＝3x+2y表示直线在y轴上的截距的一半，只需求出可行域内直线在y轴上的截距最大值即可．

【解答】解：先根据约束条件画出可行域，由 解得A（1，2），

如图，当直线z＝3x+2y过点A（1，2）时，目标函数在y轴上的截距取得最大值时，此时z取得最大值，

即当x＝1，y＝2时，z_max＝3×1+2×2＝7．

故答案为：7．

【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．

14．（5分）设双曲线C： ﹣ ＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为y＝ x，则C的离心率为　 　．

【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有

【专题】34：方程思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程；65：数学运算．

【分析】由双曲线的方程求出渐近线的方程，再由题意求出a，b的关系，再由离心率的公式及a，b，c之间的关系求出双曲线的离心率．

【解答】解：由双曲线的方程可得渐近线的方程为：y＝± x，

由题意可得 ＝ ，所以离心率e＝ ＝ ＝ ，

故答案为： ．

【点评】本题考查双曲线的性质，属于基础题．

15．（5分）设函数f（x）＝ ，若f′（1）＝ ，则a＝　1　．

【考点】63：导数的运算．菁优网版权所有

【专题】35：转化思想；49：综合法；51：函数的性质及应用；66：数据分析．

【分析】先求出函数的导数，再根据f′（1）＝ ，求得a的值．

【解答】解：∵函数f（x）＝ ，∴f′（x）＝ ，

若f′（1）＝ ＝ ，∴ ＝ ，则a＝1，

故答案为：1．

【点评】本题主要考查求函数的导数，属于基础题．

16．（5分）已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的表面积为　2π　．

【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；LR：球内接多面体．菁优网版权所有

【专题】31：数形结合；44：数形结合法；5U：球；65：数学运算．

【分析】由条件易知该圆锥内半径最大的球为该圆锥的内接球，作图，数形结合即可．

【解答】解：当球为该圆锥内切球时，半径最大，

如图：BS＝3，BC＝1，则圆锥高SC＝ ＝ ＝2 ，

设内切球与圆锥相切于点D，半径为r，则△SOD∽△SBC，

故有 ＝ ，即 ，解得r＝ ，

所以该球的表面积为4πr²＝2π．

故答案为：2π．

【点评】本题考查圆锥内切球半径求法，考查球的表面积公式，数形结合思想，属于中档题．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。

17．（12分）设等比数列{a_n}满足a₁+a₂＝4，a₃﹣a₁＝8．

（1）求{a_n}的通项公式；

（2）记S_n为数列{log₃a_n}的前n项和．若S_m+S_m+1═S_m+3，求m．

【考点】88：等比数列的通项公式；8H：数列递推式．菁优网版权所有

【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；54：等差数列与等比数列；65：数学运算．

【分析】（1）设其公比为q，则由已知可得 ，解得a₁＝1，q＝3，可求其通项公式．

（2）由（1）可得log₃a_n＝n﹣1，是一个以0为首项，1为公差的等差数列，可求S_n＝ ，由已知可得 + ＝ ，进而解得m的值．

【解答】解：（1）设公比为q，则由 ，

可得a₁＝1，q＝3，

所以a_n＝3^n﹣1．

（2）由（1）有log₃a_n＝n﹣1，是一个以0为首项，1为公差的等差数列，

所以S_n＝ ，

所以 + ＝ ，m²﹣5m﹣6＝0，

解得m＝6，或m＝﹣1（舍去），

所以m＝6．

【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式的求法，等差数列的求和，考查了转化思想和方程思想的应用，属于基础题．

18．（12分）某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：

锻炼人次 空气质量等级	[0，200]	（200，400]	（400，600]
1（优）	2	16	25
2（良）	5	10	12
3（轻度污染）	6	7	8
4（中度污染）	7	2	0

（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；

（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；

（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？

	人次≤400	人次＞400
空气质量好
空气质量不好

附：K²＝

P（K2≥k）	0.050	0.010	0.001
k	3.841	6.635	10.828

【考点】BL：独立性检验；CB：古典概型及其概率计算公式．菁优网版权所有

【专题】11：计算题；4O：定义法；5I：概率与统计；63：数学建模；65：数学运算．

【分析】（1）用频率估计概率，从而得到估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；

（2）采用频率分布直方图估计样本平均值的方法可得得答案；

（3）由公式 计算k的值，从而查表即可，

【解答】解：（1）该市一天的空气质量等级为1的概率为： ＝ ；

该市一天的空气质量等级为2的概率为： ＝ ；

该市一天的空气质量等级为3的概率为： ＝ ；

该市一天的空气质量等级为4的概率为： ＝ ；

（2）由题意可得：一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为： ＝100×0.20+300×0.35+500×0.45＝350；

（3）根据所给数据，可得下面的2×2列联表，

	人次≤400	人次＞400	总计
空气质量好	33	37	70
空气质量不好	22	8	30
总计	55	45	100

由表中数据可得：K²＝ ＝ ≈5.820＞3.841，

所以有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关．

【点评】本题考查了独立性检验与频率估计概率，估计平均值的求法，属于中档题．

19．（12分）如图，在长方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，点E，F分别在棱DD₁，BB₁上，且2DE＝ED₁，BF＝2FB₁．证明：

（1）当AB＝BC时，EF⊥AC；

（2）点C₁在平面AEF内．

【考点】LJ：平面的基本性质及推论；LW：直线与平面垂直．菁优网版权所有

【专题】31：数形结合；44：数形结合法；5F：空间位置关系与距离；61：数学抽象．

【分析】（1）因为ABCD﹣A₁B₁C₁D₁是长方体，且AB＝BC，可得AC⊥平面BB₁D₁D，因为EF⊂平面BB₁D₁D，所以EF⊥AC．

（2）取AA₁上靠近A₁的三等分点M，连接DM，C₁F，MF．根据已知条件可得四边形AED₁M为平行四边形，得D₁M∥AE，再推得四边形C₁D₁MF为平行四边形，所以D₁M∥C₁F，根据直线平行的性质可得AE∥C₁F，所以A，E，F，C₁四点共面，即点C₁在平面AEF内．

【解答】解：（1）因为ABCD﹣A₁B₁C₁D₁是长方体，所以BB₁⊥平面ABCD，而AC⊂平面ABCD，所以AC⊥BB₁，

因为ABCD﹣A₁B₁C₁D₁是长方体，且AB＝BC，所以ABCD是正方形，所以AC⊥BD，又BD∩BB₁＝B．

所以AC⊥平面BB₁D₁D，又因为点E，F分别在棱DD₁，BB₁上，所以EF⊂平面BB₁D₁D，

所以EF⊥AC．

（2）取AA₁上靠近A₁的三等分点M，连接D₁M，C₁F，MF．

因为点E在DD₁，且2DE＝ED₁，所以ED∥AM，且ED＝AM，

所以四边形AED₁M为平行四边形，所以D₁M∥AE，且D₁M＝AE，

又因为F在BB₁上，且BF＝2FB₁，所以 A₁M∥FB₁，且A₁M＝FB₁，

所以A₁B₁FM为平行四边形，

所以FM∥A₁B₁，FM＝A₁B₁，即FM∥C₁D₁，FM＝C₁D₁，

所以C₁D₁MF为平行四边形，

所以D₁M∥C₁F，

所以AE∥C₁F，所以A，E，F，C₁四点共面．

所以点C₁在平面AEF内．

【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，考查直线平行的性质应用，是中档题．

20．（12分）已知函数f（x）＝x³﹣kx+k²．

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）若f（x）有三个零点，求k的取值范围．

【考点】53：函数的零点与方程根的关系；6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．菁优网版权所有

【专题】33：函数思想；4R：转化法；53：导数的综合应用；62：逻辑推理．

【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论k的范围，求出函数的单调区间即可；

（2）根据函数的单调性，求出函数的极值，得到关于k的不等式组，解出即可．

【解答】解：（1）f（x）＝x³﹣kx+k²．f′（x）＝3x²﹣k，

k≤0时，f′（x）≥0，f（x）在R递增，

k＞0时，令f′（x）＞0，解得：x＞ 或x＜﹣ ，

令f′（x）＜0，解得：﹣ ＜x＜ ，

∴f（x）在（﹣∞，﹣ ）递增，在（﹣ ， ）递减，在（ ，+∞）递增，

综上，k≤0时，f（x）在R递增，

k＞0时，f（x）在（﹣∞，﹣ ）递增，在（﹣ ， ）递减，在（ ，+∞）递增；

（2）由（1）得：k＞0，f（x）_极小值＝f（ ），f（x）_极大值＝f（﹣ ），

若f（x）有三个零点，

只需 ，解得：0＜k＜ ，

故k∈（0， ）．

【点评】本题考查了函数的单调性，极值，零点问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道常规题．

21．（12分）已知椭圆C： + ＝1（0＜m＜5）的离心率为 ，A，B分别为C的左、右顶点．

（1）求C的方程；

（2）若点P在C上，点Q在直线x＝6上，且|BP|＝|BQ|，BP⊥BQ，求△APQ的面积．

【考点】K3：椭圆的标准方程；KL：直线与椭圆的综合．菁优网版权所有

【专题】34：方程思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程；62：逻辑推理．

【分析】（1）根据e＝ ，a²＝25，b²＝m²，代入计算m²的值，求出C的方程即可；

（2）法一：设出P，Q的坐标，得到关于s，t，n的方程组，求出AP（8，1），AQ（11，2），从而求出△APQ的面积．法二：画出椭圆的图象，求出P点坐标，结合图象求出△APQ的面积即可．

【解答】解：（1）由e＝ 得e²＝1﹣ ，即 ＝1﹣ ，∴m²＝ ，

故C的方程是： + ＝1；

（2）代数方法：

由（1）A（﹣5，0），设P（s，t），点Q（6，n），

根据对称性，只需考虑n＞0的情况，

此时﹣5＜s＜5，0＜t≤ ，

∵|BP|＝|BQ|，∴有（s﹣5）²+t²＝n²+1①，

又∵BP⊥BQ，∴s﹣5+nt＝0②，

又 + ＝1③，

联立①②③得 或 ，

当 时，则P（3，1），Q（6，2），而A（﹣5，0），

则（法一） ＝（8，1）， ＝（11，2），

∴S_△APQ＝ ＝ |8×2﹣11×1|＝ ，

同理可得当 时，S_△APQ＝ ，

综上，△APQ的面积是 ．

法二：∵P（3，1），Q（6，2），

∴直线PQ的方程为：x﹣3y＝0，

∴点A到直线PQ：x﹣3y＝0的距离d＝ ，

而|PQ|＝ ，

∴S_△APQ＝ • • ＝ ．

数形结合方法：如图示：

①当P点在y轴左侧时，过P点作PM⊥AB，直线x＝6和x轴交于N（6，0）点，

易知△PMB≌△BQN，∴NQ＝PM＝1，

故y＝1时， + ＝1，解得：x＝±3，（x＝3舍），

故P（﹣3，1），易得BM＝8，BN＝8，

故S_△APQ＝S_△AQN﹣S_△APB﹣S_△PBQ﹣S_△BQN＝ （11×8﹣10×1﹣（1+65）﹣1×8）＝ ，

②当P点在y轴右侧时，同理可得x＝3，即P（3，1），BM＝2，NQ＝2，

故S_△APQ＝ ，

综上，△APQ的面积是 ．

【点评】本题考查求椭圆方程以及了直线和椭圆的关系，考查转化思想，是一道综合题．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 （t为参数且t≠1），C与坐标轴交于A，B两点．

（1）求|AB|；

（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程．

【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．菁优网版权所有

【专题】34：方程思想；49：综合法；5S：坐标系和参数方程；65：数学运算．

【分析】（1）可令x＝0，求得t，对应的y；再令y＝0，求得t，对应的x；再由两点的距离公式可得所求值；

（2）运用直线的截距式方程可得直线AB的方程，再由由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，可得所求极坐标方程．

【解答】解：（1）当x＝0时，可得t＝﹣2（1舍去），代入y＝2﹣3t+t²，可得y＝2+6+4＝12，

当y＝0时，可得t＝2（1舍去），代入x＝2﹣t﹣t²，可得x＝2﹣2﹣4＝﹣4，

所以曲线C与坐标轴的交点为（﹣4，0），（0，12），

则|AB|＝ ＝4 ；

（2）由（1）可得直线AB过点（0，12），（﹣4，0），

可得AB的方程为 ﹣ ＝1，

即为3x﹣y+12＝0，

由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，

可得直线AB的极坐标方程为3ρcosθ﹣ρsinθ+12＝0．

【点评】本题考查曲线的参数方程的运用，考查直线方程的求法和两点的距离公式的运用，考查极坐标方程和直角坐标方程的互化，属于基础题．

[选修4-5：不等式选讲]（10分）

23．设a，b，c∈R，a+b+c＝0，abc＝1．

（1）证明：ab+bc+ca＜0；

（2）用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，证明：max{a，b，c}≥ ．

【考点】R6：不等式的证明．菁优网版权所有

【专题】14：证明题；35：转化思想；49：综合法；4D：反证法；4R：转化法；59：不等式的解法及应用；62：逻辑推理；65：数学运算．

【分析】（1）将a+b+c＝0平方之后，化简得到2ab+2ac+2bc＝﹣（a²+b²+c²）＜0，即可得证；

（2）利用反证法，假设a≤b＜0＜c＜ ，结合条件推出矛盾．

【解答】证明：（1）∵a+b+c＝0，∴（a+b+c）²＝0，

∴a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc＝0，

∴2ab+2ac+2bc＝﹣（a²+b²+c²），

∵abc＝1，∴a，b，c均不为0，

∴2ab+2ac+2bc＝﹣（a²+b²+c²）＜0，

∴ab+ac+bc＜0；

（2）不妨设a≤b＜0＜c＜ ，则ab＝ ＞ ，

∵a+b+c＝0，∴﹣a﹣b＝c＜ ，

而﹣a﹣b≥2 ＞ ＝ ＝ ＝ ，与假设矛盾，

故max{a，b，c}≥ ．

【点评】本题考查基本不等式的应用和利用综合法与反正法证明不等式，考查了转化思想，属于中档题．

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日期：2020/8/6 16:38:26；用户：星光；邮箱：orFmNt9Sl5o9zVVGxqq8R8Yve1Uc@weixin.jyeoo.com；学号：24989655

 

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