2017年全国中考数学试题2017年四川省成都市中考数学试卷(含答案解析版)

2017年四川省成都市中考数学试卷

A卷(共100分)

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1．（3分）《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数，若气温为零上10℃记作+10℃，则﹣3℃表示气温为（　　）

A．零上3℃ B．零下3℃ C．零上7℃ D．零下7℃

2．（3分）如图所示的几何体是由4个大小相同的小立方体组成，其俯视图是（　　）

A． B． C． D．

3．（3分）总投资647亿元的西成高铁预计2017年11月竣工，届时成都到西安只需3小时，上午游武侯区，晚上看大雁塔将成为现实，用科学记数法表示647亿元为（　　）

A．647×10⁸ B．6.47×10⁹ C．6.47×10¹⁰ D．6.47×10¹¹

4．（3分）二次根式 中，x的取值范围是（　　）

A．x≥1 B．x＞1 C．x≤1 D．x＜1

5．（3分）下列图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

6．（3分）下列计算正确的是（　　）

A．a⁵+a⁵=a¹⁰ B．a⁷÷a=a6 C．a³•a²=a6 D．（﹣a³）²=﹣a⁶

7．（3分）学习全等三角形时，数学兴趣小组设计并组织了“生活中的全等”的比赛，全班同学的比赛结果统计如下表：

得分（分）	60	70	80	90	100
人数（人）	7	12	10	8	3

则得分的众数和中位数分别为（　　）

A．70分，70分 B．80分，80分 C．70分，80分 D．80分，70分

8．（3分）如图，四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA′=2：3，则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为（　　）

A．4：9 B．2：5 C．2：3 D． ：

9．（3分）已知x=3是分式方程 ﹣ =2的解，那么实数k的值为（　　）

A．﹣1 B．0 C．1 D．2

10．（3分）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax²+bx+c的图象如图所示，下列说法正确的是（　　）

A．abc＜0，b²﹣4ac＞0 B．abc＞0，b²﹣4ac＞0

C．abc＜0，b²﹣4ac＜0 D．abc＞0，b²﹣4ac＜0

 

二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）

11．（4分）（ ﹣1）⁰=　 　．

12．（4分）在△ABC中，∠A：∠B：∠C=2：3：4，则∠A的度数为　 　．

13．（4分）如图，正比例函数y₁=k₁x和一次函数y₂=k₂x+b的图象相交于点A（2，1），当x＜2时，y₁　 　y₂．（填“＞”或“＜”）．

14．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，按以下步骤作图：①以A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，AD于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于 MN的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作AP射线，交边CD于点Q，若DQ=2QC，BC=3，则平行四边形ABCD周长为　 　．

 

三、解答题（本大题共14小题，共104分）

15．（12分）（1）计算：| ﹣1|﹣ +2sin45°+（ ）^﹣2；

（2）解不等式组： ．

16．（6分）化简求值： ÷（1﹣ ），其中x= ﹣1．

17．（8分）随着经济的快速发展，环境问题越来越受到人们的关注，某校学生会为了解节能减排、垃圾分类知识的普及情况，随机调查了部分学生，调查结果分为“非常了解”“了解”“了解较少”“不了解”四类，并将调查结果绘制成下面两个统计图．

（1）本次调查的学生共有　 　人，估计该校1200名学生中“不了解”的人数是　 　人；

（2）“非常了解”的4人有A₁，A₂两名男生，B1，B2两名女生，若从中随机抽取两人向全校做环保交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率．

18．（8分）科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行，如图，小明一家自驾到古镇C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西60°方向行驶4千米至B地，再沿北偏东45°方向行驶一段距离到达古镇C，小明发现古镇C恰好在A地的正北方向，求B，C两地的距离．

19．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知正比例函数y= x的图象与反比例函数y= 的图象交于A（a，﹣2），B两点．

（1）求反比例函数的表达式和点B的坐标；

（2）P是第一象限内反比例函数图象上一点，过点P作y轴的平行线，交直线AB于点C，连接PO，若△POC的面积为3，求点P的坐标．

20．（12分）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作圆O，分别交BC于点D，交CA的延长线于点E，过点D作DH⊥AC于点H，连接DE交线段OA于点F．

（1）求证：DH是圆O的切线；

（2）若A为EH的中点，求 的值；

（3）若EA=EF=1，求圆O的半径．

B卷(共50分)

一、填空题(本大题共5个小题，每小题4分，共20分)

21．（4分）如图，数轴上点A表示的实数是　 　．

22．（4分）已知x₁，x₂是关于x的一元二次方程x²﹣5x+a=0的两个实数根，且x₁²﹣x₂²=10，则a=　 　．

23．（4分）已知⊙O的两条直径AC，BD互相垂直，分别以AB，BC，CD，DA为直径向外作半圆得到如图所示的图形，现随机地向该图形内掷一枚小针，记针尖落在阴影区域内的概率为P1，针尖落在⊙O内的概率为P2，则 =　 　．

24．（4分）在平面直角坐标系xOy中，对于不在坐标轴上的任意一点P（x，y），我们把点P′（ ， ）称为点P的“倒影点”，直线y=﹣x+1上有两点A，B，它们的倒影点A′，B′均在反比例函数y= 的图象上．若AB=2 ，则k=　 　．

25．（4分）如图1，把一张正方形纸片对折得到长方形ABCD，再沿∠ADC的平分线DE折叠，如图2，点C落在点C′处，最后按图3所示方式折叠，使点A落在DE的中点A′处，折痕是FG，若原正方形纸片的边长为6cm，则FG=

cm．

二、解答题(本大题共3个小题，共30分)

26．（8分）随着地铁和共享单车的发展，“地铁+单车”已成为很多市民出行的选择，李华从文化宫站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的A，B，C，D，E中的某一站出地铁，再骑共享单车回家，设他出地铁的站点与文化宫距离为x（单位：千米），乘坐地铁的时间y1（单位：分钟）是关于x的一次函数，其关系如下表：

地铁站	A	B	C	D	E
x（千米）	8	9	10	11.5	13
y1（分钟）	18	20	22	25	28

（1）求y1关于x的函数表达式；

（2）李华骑单车的时间（单位：分钟）也受x的影响，其关系可以用y2= x2﹣11x+78来描述，请问：李华应选择在那一站出地铁，才能使他从文化宫回到家所需的时间最短？并求出最短时间．

27．（10分）问题背景：如图1，等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，作AD⊥BC于点D，则D为BC的中点，∠BAD= ∠BAC=60°，于是 = = ；

迁移应用：如图2，△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC=∠DAE=120°，D，E，C三点在同一条直线上，连接BD．

①求证：△ADB≌△AEC；

②请直接写出线段AD，BD，CD之间的等量关系式；

拓展延伸：如图3，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，在∠ABC内作射线BM，作点C关于BM的对称点E，连接AE并延长交BM于点F，连接CE，CF．

①证明△CEF是等边三角形；

②若AE=5，CE=2，求BF的长．

28．（10分）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y=ax²+bx+c与x轴相交于A，B两点，顶点为D（0，4），AB=4 ，设点F（m，0）是x轴的正半轴上一点，将抛物线C绕点F旋转180°，得到新的抛物线C′．

（1）求抛物线C的函数表达式；

（2）若抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，求m的取值范围．

（3）如图2，P是第一象限内抛物线C上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P在抛物线C′上的对应点P′，设M是C上的动点，N是C′上的动点，试探究四边形PMP′N能否成为正方形？若能，求出m的值；若不能，请说明理由．

 

2017年四川省成都市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1．（3分）《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数，若气温为零上10℃记作+10℃，则﹣3℃表示气温为（　　）

A．零上3℃ B．零下3℃ C．零上7℃ D．零下7℃

【解答】解：若气温为零上10℃记作+10℃，则﹣3℃表示气温为零下3℃．

故选：B．

 

2．（3分）如图所示的几何体是由4个大小相同的小立方体组成，其俯视图是（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：从上边看一层三个小正方形，

故选：C．

 

3．（3分）总投资647亿元的西成高铁预计2017年11月竣工，届时成都到西安只需3小时，上午游武侯区，晚上看大雁塔将成为现实，用科学记数法表示647亿元为（　　）

A．647×10⁸ B．6.47×10⁹ C．6.47×10¹⁰ D．6.47×10¹¹

【解答】解：647亿=647 0000 0000=6.47×10¹⁰，

故选：C．

 

4．（3分）二次根式 中，x的取值范围是（　　）

A．x≥1 B．x＞1 C．x≤1 D．x＜1

【解答】解：由题意可知：x﹣1≥0，

∴x≥1，

故选（A）

 

5．（3分）下列图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；

B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；

C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；

D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确．

故选D．

 

6．（3分）下列计算正确的是（　　）

A．a⁵+a⁵=a¹⁰ B．a⁷÷a=a⁶ C．a³•a²=a⁶ D．（﹣a³）²=﹣a⁶

【解答】解：A．a⁵+a⁵=2a⁵，所以此选项错误；

B．a⁷÷a=a⁶，所以此选项正确；

C．a³•a²=a⁵，所以此选项错误；

D．（﹣a³）²=a⁶，所以此选项错误；

故选B．

 

7．（3分）学习全等三角形时，数学兴趣小组设计并组织了“生活中的全等”的比赛，全班同学的比赛结果统计如下表：

得分（分）	60	70	80	90	100
人数（人）	7	12	10	8	3

则得分的众数和中位数分别为（　　）

A．70分，70分 B．80分，80分 C．70分，80分 D．80分，70分

【解答】解：70分的有12人，人数最多，故众数为70分；

处于中间位置的数为第20、21两个数，都为80分，中位数为80分．

故选：C．

 

8．（3分）如图，四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA′=2：3，则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为（　　）

A．4：9 B．2：5 C．2：3 D． ：

【解答】解：∵四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，OA：OA′=2：3，

∴DA：D′A′=OA：OA′=2：3，

∴四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为：（ ）²= ，

故选：A．

 

9．（3分）已知x=3是分式方程 ﹣ =2的解，那么实数k的值为（　　）

A．﹣1 B．0 C．1 D．2

【解答】解：将x=3代入 ﹣ =2，

∴

解得：k=2，

故选（D）

 

10．（3分）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax²+bx+c的图象如图所示，下列说法正确的是（　　）

A．abc＜0，b²﹣4ac＞0 B．abc＞0，b²﹣4ac＞0

C．abc＜0，b²﹣4ac＜0 D．abc＞0，b²﹣4ac＜0

【解答】解：根据二次函数的图象知：

抛物线开口向上，则a＞0；

抛物线的对称轴在y轴右侧，则x=﹣ ＞0，即b＜0；

抛物线交y轴于负半轴，则c＜0；

∴abc＞0，

∵抛物线与x轴有两个不同的交点，

∴△=b²﹣4ac＞0，

故选B．

 

二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）

11．（4分）（ ﹣1）⁰=　1　．

【解答】解：（ ﹣1）⁰=1．

故答案为：1．

 

12．（4分）在△ABC中，∠A：∠B：∠C=2：3：4，则∠A的度数为　40°　．

【解答】解：∵∠A：∠B：∠C=2：3：4，

∴设∠A=2x，∠B=3x，∠C=4x，

∵∠A+∠B+∠C=180°，

∴2x+3x+4x=180°，

解得：x=20°，

∴∠A的度数为：40°．

故答案为：40°．

 

13．（4分）如图，正比例函数y₁=k₁x和一次函数y₂=k₂x+b的图象相交于点A（2，1），当x＜2时，y₁　＜　y₂．（填“＞”或“＜”）．

【解答】解：由图象知，当x＜2时，y₂的图象在y₁上右，

∴y₁＜y₂．

故答案为：＜．

 

14．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，按以下步骤作图：①以A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，AD于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于 MN的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作AP射线，交边CD于点Q，若DQ=2QC，BC=3，则平行四边形ABCD周长为　15　．

【解答】解：∵由题意可知，AQ是∠DAB的平分线，

∴∠DAQ=∠BAQ．

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴CD∥AB，BC=AD=3，∠BAQ=∠DQA，

∴∠DAQ=∠DQA，

∴△AQD是等腰三角形，

∴DQ=AD=3．

∵DQ=2QC，

∴QC= DQ= ，

∴CD=DQ+CQ=3+ = ，

∴平行四边形ABCD周长=2（DC+AD）=2×（ +3）=15．

故答案为：15．

 

三、解答题（本大题共6小题，共54分）

15．（12分）（1）计算：| ﹣1|﹣ +2sin45°+（ ）^﹣2；

（2）解不等式组： ．

【解答】解：（1）原式= ﹣1﹣2 +2× +4

= ﹣1﹣2 + +4

=3；

（2） ，

①可化简为2x﹣7＜3x﹣3，

﹣x＜4，

x＞﹣4，

②可化简为2x≤1﹣3，则x≤﹣1．

不等式的解集是﹣4＜x≤﹣1．

 

16．（6分）化简求值： ÷（1﹣ ），其中x= ﹣1．

【解答】解： ÷（1﹣ ）= • = ，

∵x= ﹣1，

∴原式= = ．

 

17．（8分）随着经济的快速发展，环境问题越来越受到人们的关注，某校学生会为了解节能减排、垃圾分类知识的普及情况，随机调查了部分学生，调查结果分为“非常了解”“了解”“了解较少”“不了解”四类，并将调查结果绘制成下面两个统计图．

（1）本次调查的学生共有　50　人，估计该校1200名学生中“不了解”的人数是　360　人；

（2）“非常了解”的4人有A1，A2两名男生，B1，B2两名女生，若从中随机抽取两人向全校做环保交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率．

【解答】解：（1）4÷8%=50（人），

1200×（1﹣40%﹣22%﹣8%）=360（人）；

故答案为：50，360；

（2）画树状图，共有12根可能的结果，恰好抽到一男一女的结果有8个，

∴P（恰好抽到一男一女的）= = ．

 

18．（8分）科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行，如图，小明一家自驾到古镇C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西60°方向行驶4千米至B地，再沿北偏东45°方向行驶一段距离到达古镇C，小明发现古镇C恰好在A地的正北方向，求B，C两地的距离．

【解答】解：过B作BD⊥AC于点D．

在Rt△ABD中，AD=AB•cos∠BAD=4cos60°=4× =2（千米），

BD=AB•sin∠BAD=4× =2 （千米），

∵△BCD中，∠CBD=45°，

∴△BCD是等腰直角三角形，

∴CD=BD=2 （千米），

∴BC= BD=2 （千米）．

答：B，C两地的距离是2 千米．

 

19．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知正比例函数y= x的图象与反比例函数y= 的图象交于A（a，﹣2），B两点．

（1）求反比例函数的表达式和点B的坐标；

（2）P是第一象限内反比例函数图象上一点，过点P作y轴的平行线，交直线AB于点C，连接PO，若△POC的面积为3，求点P的坐标．

【解答】解：（1）把A（a，﹣2）代入y= x，可得a=﹣4，

∴A（﹣4，﹣2），

把A（﹣4，﹣2）代入y= ，可得k=8，

∴反比例函数的表达式为y= ，

∵点B与点A关于原点对称，

∴B（4，2）；

（2）如图所示，过P作PE⊥x轴于E，交AB于C，

设P（m， ），则C（m， m），

∵△POC的面积为3，

∴ m×| m﹣ |=3，

解得m=2 或2，

∴P（2 ， ）或（2，4）．

 

20．（12分）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作圆O，分别交BC于点D，交CA的延长线于点E，过点D作DH⊥AC于点H，连接DE交线段OA于点F．

（1）求证：DH是圆O的切线；

（2）若A为EH的中点，求 的值；

（3）若EA=EF=1，求圆O的半径．

【解答】证明：（1）连接OD，如图1，

∵OB=OD，

∴△ODB是等腰三角形，

∠OBD=∠ODB①，

在△ABC中，∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB②，

由①②得：∠ODB=∠OBD=∠ACB，

∴OD∥AC，

∵DH⊥AC，

∴DH⊥OD，

∴DH是圆O的切线；

（2）如图2，在⊙O中，∵∠E=∠B，

∴由（1）可知：∠E=∠B=∠C，

∴△EDC是等腰三角形，

∵DH⊥AC，且点A是EH中点，

设AE=x，EC=4x，则AC=3x，

连接AD，则在⊙O中，∠ADB=90°，AD⊥BD，

∵AB=AC，

∴D是BC的中点，

∴OD是△ABC的中位线，

∴OD∥AC，OD= AC= ×3x= ，

∵OD∥AC，

∴∠E=∠ODF，

在△AEF和△ODF中，

∵∠E=∠ODF，∠OFD=∠AFE，

∴△AEF∽△ODF，

∴ ，

∴ = = ，

∴ = ；

（3）如图2，设⊙O的半径为r，即OD=OB=r，

∵EF=EA，

∴∠EFA=∠EAF，

∵OD∥EC，

∴∠FOD=∠EAF，

则∠FOD=∠EAF=∠EFA=∠OFD，

∴DF=OD=r，

∴DE=DF+EF=r+1，

∴BD=CD=DE=r+1，

在⊙O中，∵∠BDE=∠EAB，

∴∠BFD=∠EFA=∠EAB=∠BDE，

∴BF=BD，△BDF是等腰三角形，

∴BF=BD=r+1，

∴AF=AB﹣BF=2OB﹣BF=2r﹣（1+r）=r﹣1，

在△BFD和△EFA中，

∵ ，

∴△BFD∽△EFA，

∴ ，

∴ = ，

解得：r1= ，r2= （舍），

综上所述，⊙O的半径为 ．

21．（4分）如图，数轴上点A表示的实数是　 ﹣1　．

【解答】解：由图形可得：﹣1到A的距离为 = ，

则数轴上点A表示的实数是： ﹣1．

故答案为： ﹣1．

 

22．（4分）已知x₁，x₂是关于x的一元二次方程x²﹣5x+a=0的两个实数根，且x₁²﹣x₂²=10，则a=　 　．

【解答】解：由两根关系，得根x₁+x₂=5，x₁•x₂=a，

由x₁²﹣x₂²=10得（x₁+x₂）（x₁﹣x₂）=10，

若x₁+x₂=5，即x₁﹣x₂=2，

∴（x₁﹣x₂）²=（x₁+x₂）²﹣4x₁•x₂=25﹣4a=4，

∴a= ，

故答案为： ．

 

23．（4分）已知⊙O的两条直径AC，BD互相垂直，分别以AB，BC，CD，DA为直径向外作半圆得到如图所示的图形，现随机地向该图形内掷一枚小针，记针尖落在阴影区域内的概率为P1，针尖落在⊙O内的概率为P2，则 =　 　．

【解答】解：设⊙O的半径为1，则AD= ，

故S圆O=π，

阴影部分面积为：π ×2+ × ﹣π=2，

则P1= ，P2= ，

故 = ．

故答案为： ．

 

24．（4分）在平面直角坐标系xOy中，对于不在坐标轴上的任意一点P（x，y），我们把点P′（ ， ）称为点P的“倒影点”，直线y=﹣x+1上有两点A，B，它们的倒影点A′，B′均在反比例函数y= 的图象上．若AB=2 ，则k=　﹣ 　．

【解答】解：设点A（a，﹣a+1），B（b，﹣b+1）（a＜b），则A′（ ， ），B′（ ， ），

∵AB= = = （b﹣a）=2 ，

∴b﹣a=2，即b=a+2．

∵点A′，B′均在反比例函数y= 的图象上，

∴ ，

解得：k=﹣ ．

故答案为：﹣ ．

 

25．（4分）如图1，把一张正方形纸片对折得到长方形ABCD，再沿∠ADC的平分线DE折叠，如图2，点C落在点C′处，最后按图3所示方式折叠，使点A落在DE的中点A′处，折痕是FG，若原正方形纸片的边长为6cm，则FG=　 　cm．

【解答】解：作GM⊥AC′于M，A′N⊥AD于N，AA′交EC′于K．易知MG=AB=AC′，

∵GF⊥AA′，

∴∠AFG+∠FAK=90°，∠MGF+∠MFG=90°，

∴∠MGF=∠KAC′，

∴△AKC′≌△GFM，

∴GF=AK，

∵AN=4.5cm，A′N=1.5cm，C′K∥A′N，

∴ = ，

∴ = ，

∴C′K=1cm，

在Rt△AC′K中，AK= = cm，

∴FG=AK= cm，

故答案为 ．

 

26．（8分）随着地铁和共享单车的发展，“地铁+单车”已成为很多市民出行的选择，李华从文化宫站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的A，B，C，D，E中的某一站出地铁，再骑共享单车回家，设他出地铁的站点与文化宫距离为x（单位：千米），乘坐地铁的时间y₁（单位：分钟）是关于x的一次函数，其关系如下表：

地铁站	A	B	C	D	E
x（千米）	8	9	10	11.5	13
y1（分钟）	18	20	22	25	28

（1）求y₁关于x的函数表达式；

（2）李华骑单车的时间（单位：分钟）也受x的影响，其关系可以用y₂= x²﹣11x+78来描述，请问：李华应选择在那一站出地铁，才能使他从文化宫回到家所需的时间最短？并求出最短时间．

【解答】解：（1）设y₁=kx+b，将（8，18），（9，20），代入得：

，

解得： ，

故y1关于x的函数表达式为：y₁=2x+2；

（2）设李华从文化宫回到家所需的时间为y，则

y=y₁+y₂=2x+2+ x2﹣11x+78= x2﹣9x+80，

∴当x=9时，y有最小值，ymin= =39.5，

答：李华应选择在B站出地铁，才能使他从文化宫回到家所需的时间最短，最短时间为39.5分钟．

 

27．（10分）问题背景：如图1，等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，作AD⊥BC于点D，则D为BC的中点，∠BAD= ∠BAC=60°，于是 = = ；

迁移应用：如图2，△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC=∠DAE=120°，D，E，C三点在同一条直线上，连接BD．

①求证：△ADB≌△AEC；

②请直接写出线段AD，BD，CD之间的等量关系式；

拓展延伸：如图3，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，在∠ABC内作射线BM，作点C关于BM的对称点E，连接AE并延长交BM于点F，连接CE，CF．

①证明△CEF是等边三角形；

②若AE=5，CE=2，求BF的长．

【解答】迁移应用：①证明：如图②

∵∠BAC=∠DAE=120°，

∴∠DAB=∠CAE，

在△DAE和△EAC中，

，

∴△DAB≌△EAC，

②解：结论：CD= AD+BD．

理由：如图2﹣1中，作AH⊥CD于H．

∵△DAB≌△EAC，

∴BD=CE，

在Rt△ADH中，DH=AD•cos30°= AD，

∵AD=AE，AH⊥DE，

∴DH=HE，

∵CD=DE+EC=2DH+BD= AD+BD．

拓展延伸：①证明：如图3中，作BH⊥AE于H，连接BE．

∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°，

∴△ABD，△BDC是等边三角形，

∴BA=BD=BC，

∵E、C关于BM对称，

∴BC=BE=BD=BA，FE=FC，

∴A、D、E、C四点共圆，

∴∠ADC=∠AEC=120°，

∴∠FEC=60°，

∴△EFC是等边三角形，

②解：∵AE=5，EC=EF=2，

∴AH=HE=2.5，FH=4.5，

在Rt△BHF中，∵∠BFH=30°，

∴ =cos30°，

∴BF= =3 ．

 

28．（10分）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y=ax²+bx+c与x轴相交于A，B两点，顶点为D（0，4），AB=4 ，设点F（m，0）是x轴的正半轴上一点，将抛物线C绕点F旋转180°，得到新的抛物线C′．

（1）求抛物线C的函数表达式；

（2）若抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，求m的取值范围．

（3）如图2，P是第一象限内抛物线C上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P在抛物线C′上的对应点P′，设M是C上的动点，N是C′上的动点，试探究四边形PMP′N能否成为正方形？若能，求出m的值；若不能，请说明理由．

【解答】解：（1）由题意抛物线的顶点C（0，4），A（﹣2 ，0），设抛物线的解析式为y=ax²+4，

把A（﹣2 ，0）代入可得a=﹣ ，

∴抛物线C的函数表达式为y=﹣ x²+4．

（2）由题意抛物线C′的顶点坐标为（2m，﹣4），设抛物线C′的解析式为y= （x﹣2m）²﹣4，

由 ，消去y得到x²﹣2mx+2m²﹣8=0，

由题意，抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，

则有 ，解得2＜m＜2 ，

∴满足条件的m的取值范围为2＜m＜2 ．

（3）结论：四边形PMP′N能成为正方形．

理由：1情形1，如图，作PE⊥x轴于E，MH⊥x轴于H．

由题意易知P（2，2），当△PFM是等腰直角三角形时，四边形PMP′N是正方形，

∴PF=FM，∠PFM=90°，

易证△PFE≌△FMH，可得PE=FH=2，EF=HM=2﹣m，

∴M（m+2，m﹣2），

∵点M在y=﹣ x²+4上，

∴m﹣2=﹣ （m+2）²+4，解得m= ﹣3或﹣ ﹣3（舍弃），

∴m= ﹣3时，四边形PMP′N是正方形．

情形2，如图，四边形PMP′N是正方形，同法可得M（m﹣2，2﹣m），

把M（m﹣2，2﹣m）代入y=﹣ x²+4中，2﹣m=﹣ （m﹣2）²+4，解得m=6或0（舍弃），

∴m=6时，四边形PMP′N是正方形．

综上，四边形PMP′N能成为正方形，m= ﹣3或6．

 

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