2017年全国中考数学试题2017年四川省宜宾市中考数学试卷(含答案解析版)

2017年四川省宜宾市中考数学试卷

一、选择题（每题3分，总共24分）

1．（3分）9的算术平方根是（　　）

A．3 B．﹣3 C．±3 D．

2．（3分）据相关报道，开展精准扶贫工作五年以来，我国约有55000000人摆脱贫困，将55000000用科学记数法表示是（　　）

A．55×10⁶ B．0.55×10⁸ C．5.5×10⁶ D．5.5×10⁷

3．（3分）下面的几何体中，主视图为圆的是（　　）

A． B． C． D．

4．（3分）一元二次方程4x²﹣2x+ =0的根的情况是（　　）

A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根

C．没有实数根 D．无法判断

5．（3分）如图，BC∥DE，若∠A=35°，∠C=24°，则∠E等于（　　）

A．24° B．59° C．60° D．69°

6．（3分）某单位组织职工开展植树活动，植树量与人数之间关系如图，下列说法不正确的是（　　）

A．参加本次植树活动共有30人 B．每人植树量的众数是4棵

C．每人植树量的中位数是5棵 D．每人植树量的平均数是5棵

7．（3分）如图，在矩形ABCD中BC=8，CD=6，将△ABE沿BE折叠，使点A恰好落在对角线BD上F处，则DE的长是（　　）

A．3 B． C．5 D．

8．（3分）如图，抛物线y₁= （x+1）²+1与y₂=a（x﹣4）²﹣3交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于B、C两点，且D、E分别为顶点．则下列结论：

①a= ；②AC=AE；③△ABD是等腰直角三角形；④当x＞1时，y₁＞y₂

其中正确结论的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

 

二、填空题（每题3分，总共24分）

9．（3分）分解因式：xy²﹣4x=　 　．

10．（3分）在平面直角坐标系中，点M（3，﹣1）关于原点的对称点的坐标是　 　．

11．（3分）如图，在菱形ABCD中，若AC=6，BD=8，则菱形ABCD的面积是　 　．

12．（3分）如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△COD，若∠AOB=15°，则∠AOD的度数是　 　．

13．（3分）若关于x、y的二元一次方程组 的解满足x+y＞0，则m的取值范围是　 　．

14．（3分）经过两次连续降价，某药品销售单价由原来的50元降到32元，设该药品平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程是　 　．

15．（3分）如图，⊙O的内接正五边形ABCDE的对角线AD与BE相交于点G，AE=2，则EG的长是　 　．

16．（3分）规定：[x]表示不大于x的最大整数，（x）表示不小于x的最小整数，[x）表示最接近x的整数（x≠n+0.5，n为整数），例如：[2.3]=2，（2.3）=3，[2.3）=2．则下列说法正确的是　 　．（写出所有正确说法的序号）

①当x=1.7时，[x]+（x）+[x）=6；

②当x=﹣2.1时，[x]+（x）+[x）=﹣7；

③方程4[x]+3（x）+[x）=11的解为1＜x＜1.5；

④当﹣1＜x＜1时，函数y=[x]+（x）+x的图象与正比例函数y=4x的图象有两个交点．

 

三、解答题（本大题共8个题，共72分）

17．（10分）（1）计算（2017﹣π）⁰﹣（ ）^﹣1+|﹣2|

（2）化简（1﹣ ）÷（ ）．

18．（6分）如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，AB=DE，∠A=∠D，AC∥DF．求证：BE=CF．

19．（8分）端午节放假期间，小明和小华准备到宜宾的蜀南竹海（记为A）、兴文石海（记为B）、夕佳山民居（记为C）、李庄古镇（记为D）的一个景点去游玩，他们各自在这四个景点中任选一个，每个景点都被选中的可能性相同．

（1）小明选择去蜀南竹海旅游的概率为　 　．

（2）用树状图或列表的方法求小明和小华都选择去兴文石海旅游的概率．

20．（8分）用A、B两种机器人搬运大米，A型机器人比B型机器人每小时多搬运20袋大米，A型机器人搬运700袋大米与B型机器人搬运500袋大米所用时间相等．求A、B型机器人每小时分别搬运多少袋大米．

21．（8分）如图，为了测量某条河的宽度，现在河边的一岸边任意取一点A，又在河的另一岸边去两点B、C测得∠α=30°，∠β=45°，量得BC长为100米．求河的宽度（结果保留根号）．

22．（10分）如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y= 的图象交于点A（﹣3，m+8），B（n，﹣6）两点．

（1）求一次函数与反比例函数的解析式；

（2）求△AOB的面积．

23．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AD平分∠CAE交⊙O于点D，且AE⊥CD，垂足为点E．

（1）求证：直线CE是⊙O的切线．

（2）若BC=3，CD=3 ，求弦AD的长．

24．（12分）如图，抛物线y=﹣x²+bx+c与x轴分别交于A（﹣1，0），B（5，0）两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在第二象限内取一点C，作CD垂直X轴于点D，链接AC，且AD=5，CD=8，将Rt△ACD沿x轴向右平移m个单位，当点C落在抛物线上时，求m的值；

（3）在（2）的条件下，当点C第一次落在抛物线上记为点E，点P是抛物线对称轴上一点．试探究：在抛物线上是否存在点Q，使以点B、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

 

2017年四川省宜宾市中考数学试卷

参考答案与试题解析

 

一、选择题（8题×3分=24分）

1．（3分）（2017•宜宾）9的算术平方根是（　　）

A．3 B．﹣3 C．±3 D．

【分析】根据算术平方根的定义解答．

【解答】解：∵3²=9，

∴9的算术平方根是3．

故选：A．

【点评】本题考查了算术平方根的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．

 

2．（3分）（2017•宜宾）据相关报道，开展精准扶贫工作五年以来，我国约有55000000人摆脱贫困，将55000000用科学记数法表示是（　　）

A．55×10⁶ B．0.55×10⁸ C．5.5×10⁶ D．5.5×10⁷

【分析】科学记数法的表示形式为a×10ⁿ的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【解答】解：55000000=5.5×10⁷，

故选：D．

【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10ⁿ的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

 

3．（3分）（2017•宜宾）下面的几何体中，主视图为圆的是（　　）

A． B． C． D．

【分析】根据常见几何体的主视图，可得答案．

【解答】解：A、的主视图是矩形，故A不符合题意；

B、的主视图是正方形，故B不符合题意；

C、的主视图是圆，故C符合题意；

D、的主视图是三角形，故D不符合题意；

故选：C．

【点评】本题考查了常见几何体的三视图，熟记常见几何体的三视图是解题关键．

 

4．（3分）（2017•宜宾）一元二次方程4x²﹣2x+ =0的根的情况是（　　）

A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根

C．没有实数根 D．无法判断

【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=0，由此即可得出原方程有两个相等的实数根．

【解答】解：在方程4x²﹣2x+ =0中，△=（﹣2）²﹣4×4×（ ）=0，

∴一元二次方程4x²﹣2x+ =0有两个相等的实数根．

故选B．

【点评】本题考查了根的判别式，熟练掌握“当△=0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．

 

5．（3分）（2017•宜宾）如图，BC∥DE，若∠A=35°，∠C=24°，则∠E等于（　　）

A．24° B．59° C．60° D．69°

【分析】先由三角形的外角性质求出∠CBE的度数，再根据平行线的性质得出∠E=∠CBE即可．

【解答】解：∵∠A=35°，∠C=24°，

∴∠CBE=∠A+∠C=59°，

∵BC∥DE，

∴∠E=∠CBE=59°；

故选：B．

【点评】本题考查的是平行线的性质，三角形是外角性质；熟练掌握平行线的性质，由三角形的外角性质求出∠CBE的度数是关键．

 

6．（3分）（2017•宜宾）某单位组织职工开展植树活动，植树量与人数之间关系如图，下列说法不正确的是（　　）

A．参加本次植树活动共有30人 B．每人植树量的众数是4棵

C．每人植树量的中位数是5棵 D．每人植树量的平均数是5棵

【分析】A、将人数进行相加，即可得出结论A正确；B、由种植4棵的人数最多，可得出结论B正确；C、由4+10=14，可得出每人植树量数列中第15、16个数为5，即结论C正确；D、利用加权平均数的计算公式，即可求出每人植树量的平均数约是4.73棵，结论D错误．此题得解．

【解答】解：A、∵4+10+8+6+2=30（人），

∴参加本次植树活动共有30人，结论A正确；

B、∵10＞8＞6＞4＞2，

∴每人植树量的众数是4棵，结论B正确；

C、∵共有30个数，第15、16个数为5，

∴每人植树量的中位数是5棵，结论C正确；

D、∵（3×4+4×10+5×8+6×6+7×2）÷30≈4.73（棵），

∴每人植树量的平均数约是4.73棵，结论D不正确．

故选D．

【点评】本题考查了条形统计图、中位数、众数以及加权平均数，逐一分析四个选项的正误是解题的关键．

 

7．（3分）（2017•宜宾）如图，在矩形ABCD中BC=8，CD=6，将△ABE沿BE折叠，使点A恰好落在对角线BD上F处，则DE的长是（　　）

A．3 B． C．5 D．

【分析】由ABCD为矩形，得到∠BAD为直角，且三角形BEF与三角形BAE全等，利用全等三角形对应角、对应边相等得到EF⊥BD，AE=EF，AB=BF，利用勾股定理求出BD的长，由BD﹣BF求出DF的长，在Rt△EDF中，设EF=x，表示出ED，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出DE的长．

【解答】解：∵矩形ABCD，

∴∠BAD=90°，

由折叠可得△BEF≌△BAE，

∴EF⊥BD，AE=EF，AB=BF，

在Rt△ABD中，AB=CD=6，BC=AD=8，

根据勾股定理得：BD=10，即FD=10﹣6=4，

设EF=AE=x，则有ED=8﹣x，

根据勾股定理得：x²+4²=（8﹣x）²，

解得：x=3（负值舍去），

则DE=8﹣3=5，

故选C

【点评】此题考查了翻折变换，矩形的性质，以及勾股定理，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．

 

8．（3分）（2017•宜宾）如图，抛物线y₁= （x+1）²+1与y₂=a（x﹣4）²﹣3交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于B、C两点，且D、E分别为顶点．则下列结论：

①a= ；②AC=AE；③△ABD是等腰直角三角形；④当x＞1时，y₁＞y₂

其中正确结论的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【分析】把点A坐标代入y₂，求出a的值，即可得到函数解析式；令y=3，求出A、B、C的横坐标，然后求出BD、AD的长，利用勾股定理的逆定理以及结合二次函数图象分析得出答案．

【解答】解：∵抛物线y₁= （x+1）²+1与y₂=a（x﹣4）²﹣3交于点A（1，3），

∴3=a（1﹣4）²﹣3，

解得：a= ，故①正确；

∵E是抛物线的顶点，

∴AE=EC，

∴无法得出AC=AE，故②错误；

当y=3时，3= （x+1）²+1，

解得：x₁=1，x₂=﹣3，

故B（﹣3，3），D（﹣1，1），

则AB=4，AD=BD=2 ，

∴AD²+BD²=AB²，

∴③△ABD是等腰直角三角形，正确；

∵ （x+1）²+1= （x﹣4）²﹣3时，

解得：x₁=1，x₂=37，

∴当37＞x＞1时，y₁＞y₂，故④错误．

故选：B．

【点评】本题考查了二次函数的性质，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，已知函数值求自变量的值．

 

二、填空题（8题×3分=24分）

9．（3分）（2017•宜宾）分解因式：xy²﹣4x=　x（y+2）（y﹣2）　．

【分析】原式提取x，再利用平方差公式分解即可．

【解答】解：原式=x（y²﹣4）=x（y+2）（y﹣2），

故答案为：x（y+2）（y﹣2）

【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

 

10．（3分）（2017•宜宾）在平面直角坐标系中，点M（3，﹣1）关于原点的对称点的坐标是　（﹣3，1）　．

【分析】根据两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数解答．

【解答】解：点M（3，﹣1）关于原点的对称点的坐标是（﹣3，1）．

故答案为：（﹣3，1）．

【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数．

 

11．（3分）（2017•宜宾）如图，在菱形ABCD中，若AC=6，BD=8，则菱形ABCD的面积是　24　．

【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解．

【解答】解：

∵菱形ABCD的对角线AC=6，BD=8，

∴菱形的面积S= AC•BD= ×8×6=24．

故答案为：24．

【点评】本题考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半是解题的关键．

 

12．（3分）（2017•宜宾）如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△COD，若∠AOB=15°，则∠AOD的度数是　60°　．

【分析】如图，首先运用旋转变换的性质求出∠AOC的度数，结合∠AOB=27°，即可解决问题．

【解答】解：如图，由题意及旋转变换的性质得：∠AOC=45°，

∵∠AOB=15°，

∴∠AOD=45°+15°=60°，

故答案为：60°．

【点评】该题主要考查了旋转变换的性质及其应用问题；牢固掌握旋转变换的性质是灵活运用、解题的关键．

 

13．（3分）（2017•宜宾）若关于x、y的二元一次方程组 的解满足x+y＞0，则m的取值范围是　m＞﹣2　．

【分析】首先解关于x和y的方程组，利用m表示出x和y，代入x+y＞0即可得到关于m的不等式，求得m的范围．

【解答】解： ，

①+②得2x+2y=2m+4，

则x+y=m+2，

根据题意得m+2＞0，

解得m＞﹣2．

故答案是：m＞﹣2．

【点评】本题考查的是解二元一次方程组和不等式，解答此题的关键是把m当作已知数表示出x、y的值，再得到关于m的不等式．

 

14．（3分）（2017•宜宾）经过两次连续降价，某药品销售单价由原来的50元降到32元，设该药品平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程是　50（1﹣x）²=32　．

【分析】根据某药品经过连续两次降价，销售单价由原来50元降到32元，平均每次降价的百分率为x，可以列出相应的方程即可．

【解答】解：由题意可得，

50（1﹣x）²=32，

故答案为：50（1﹣x）²=32．

【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程．

 

15．（3分）（2017•宜宾）如图，⊙O的内接正五边形ABCDE的对角线AD与BE相交于点G，AE=2，则EG的长是　 ﹣1　．

【分析】在⊙O的内接正五边形ABCDE中，设EG=x，易知：∠AEB=∠ABE=∠EAG=36°，∠BAG=∠AGB=72°，推出AB=BG=AE=2，由△AEG∽△BEA，可得AE²=EG•EB，可得2²=x（x+2），解方程即可．

【解答】解：在⊙O的内接正五边形ABCDE中，设EG=x，

易知：∠AEB=∠ABE=∠EAG=36°，

∠BAG=∠AGB=72°，

∴AB=BG=AE=2，

∵∠AEG=∠AEB，∠EAG=∠EBA，

∴△AEG∽△BEA，

∴AE²=EG•EB，

∴2²=x（x+2），

解得x=﹣1+ 或﹣1﹣ ，

∴EG= ﹣1，

故答案为 ﹣1．

【点评】本题考查正多边形与圆、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会构建方程解决问题，属于中考填空题中的压轴题．

 

16．（3分）（2017•宜宾）规定：[x]表示不大于x的最大整数，（x）表示不小于x的最小整数，[x）表示最接近x的整数（x≠n+0.5，n为整数），例如：[2.3]=2，（2.3）=3，[2.3）=2．则下列说法正确的是　②③　．（写出所有正确说法的序号）

①当x=1.7时，[x]+（x）+[x）=6；

②当x=﹣2.1时，[x]+（x）+[x）=﹣7；

③方程4[x]+3（x）+[x）=11的解为1＜x＜1.5；

④当﹣1＜x＜1时，函数y=[x]+（x）+x的图象与正比例函数y=4x的图象有两个交点．

【分析】根据题意可以分别判断各个小的结论是否正确，从而可以解答本题．

【解答】解：①当x=1.7时，

[x]+（x）+[x）

=[1.7]+（1.7）+[1.7）=1+2+2=5，故①错误；

②当x=﹣2.1时，

[x]+（x）+[x）

=[﹣2.1]+（﹣2.1）+[﹣2.1）

=（﹣3）+（﹣2）+（﹣2）=﹣7，故②正确；

③当1＜x＜1.5时，

4[x]+3（x）+[x）

=4×1+3×2+1

=4+6+1

=11，故③正确；

④∵﹣1＜x＜1时，

∴当﹣1＜x＜﹣0.5时，y=[x]+（x）+x=﹣1+0+x=x﹣1，

当﹣0.5＜x＜0时，y=[x]+（x）+x=﹣1+0+x=x﹣1，

当x=0时，y=[x]+（x）+x=0+0+0=0，

当0＜x＜0.5时，y=[x]+（x）+x=0+1+x=x+1，

当0.5＜x＜1时，y=[x]+（x）+x=0+1+x=x+1，

∵y=4x，则x﹣1=4x时，得x= ；x+1=4x时，得x= ；当x=0时，y=4x=0，

∴当﹣1＜x＜1时，函数y=[x]+（x）+x的图象与正比例函数y=4x的图象有三个交点，故④错误，

故答案为：②③．

【点评】本题考查新定义，解答本题的关键是明确题意，根据题目中的新定义解答相关问题．

 

三、解答题（本大题共8个题，共72分）

17．（10分）（2017•宜宾）（1）计算（2017﹣π）⁰﹣（ ）^﹣1+|﹣2|

（2）化简（1﹣ ）÷（ ）．

【分析】（1）根据零指数幂、负整数指数幂、绝对值分别求出每个部分的值，再代入求出即可；

（2）先算减法和分解因式，把除法变成乘法，最后根据分式的乘法法则进行计算即可．

【解答】解：（1）原式=1﹣4+2

=﹣1；

（2）原式= ÷

= •

= ．

【点评】本题考查了分式的混合运算和零指数幂、负整数指数幂、绝对值等知识点，能灵活运用知识点进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．

 

18．（6分）（2017•宜宾）如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，AB=DE，∠A=∠D，AC∥DF．求证：BE=CF．

【分析】欲证BE=CF，则证明两三角形全等，已经有两个条件，只要再有一个条件就可以了，而AC∥DF可以得出∠ACB=∠F，条件找到，全等可证．根据全等三角形对应边相等可得BC=EF，都减去一段EC即可得证．本题主要考查三角形全等的判定和全等三角形的对应边相等；要牢固掌握并灵活运用这些知识．

【解答】证明：∵AC∥DF，

∴∠ACB=∠F，

在△ABC和△DEF中， ，

∴△ABC≌△DEF（AAS）；

∴BC=EF，

∴BC﹣CE=EF﹣CE，

即BE=CF．

【点评】本题主要考查三角形全等的判定和全等三角形的对应边相等；要牢固掌握并灵活运用这些知识．

 

19．（8分）（2017•宜宾）端午节放假期间，小明和小华准备到宜宾的蜀南竹海（记为A）、兴文石海（记为B）、夕佳山民居（记为C）、李庄古镇（记为D）的一个景点去游玩，他们各自在这四个景点中任选一个，每个景点都被选中的可能性相同．

（1）小明选择去蜀南竹海旅游的概率为　 　．

（2）用树状图或列表的方法求小明和小华都选择去兴文石海旅游的概率．

【分析】（1）利用概率公式直接计算即可；

（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小明和小华都选择去兴文石海旅游的情况，再利用概率公式即可求得答案．

【解答】解：

（1）∵小明准备到宜宾的蜀南竹海（记为A）、兴文石海（记为B）、夕佳山民居（记为C）、李庄古镇（记为D）的一个景点去游玩，

∴小明选择去蜀南竹海旅游的概率= ，

故答案为： ；

（2）画树状图分析如下：

两人选择的方案共有16种等可能的结果，其中选择同种方案有1种，

所以小明和小华都选择去兴文石海旅游的概率= ．

【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

 

20．（8分）（2017•宜宾）用A、B两种机器人搬运大米，A型机器人比B型机器人每小时多搬运20袋大米，A型机器人搬运700袋大米与B型机器人搬运500袋大米所用时间相等．求A、B型机器人每小时分别搬运多少袋大米．

【分析】工作效率：设A型机器人每小时搬大米x袋，则B型机器人每小时搬运（x﹣20）袋；工作量：A型机器人搬运700袋大米，B型机器人搬运500袋大米；工作时间就可以表示为：A型机器人所用时间= ，B型机器人所用时间= ，由所用时间相等，建立等量关系．

【解答】解：设A型机器人每小时搬大米x袋，则B型机器人每小时搬运（x﹣20）袋，

依题意得： = ，

解这个方程得：x=70

经检验x=70是方程的解，所以x﹣20=50．

答：A型机器人每小时搬大米70袋，则B型机器人每小时搬运50袋．

【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．

 

21．（8分）（2017•宜宾）如图，为了测量某条河的宽度，现在河边的一岸边任意取一点A，又在河的另一岸边去两点B、C测得∠α=30°，∠β=45°，量得BC长为100米．求河的宽度（结果保留根号）．

【分析】直接过点A作AD⊥BC于点D，利用tan30°= = ，进而得出答案．

【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，

∵∠β=45°，∠ADC=90°，

∴AD=DC，

设AD=DC=xm，

则tan30°= = ，

解得：x=50（ +1），

答：河的宽度为50（ +1）m．

【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出AD=CD是解题关键．

 

22．（10分）（2017•宜宾）如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y= 的图象交于点A（﹣3，m+8），B（n，﹣6）两点．

（1）求一次函数与反比例函数的解析式；

（2）求△AOB的面积．

【分析】（1）将点A坐标代入反比例函数求出m的值，从而得到点A的坐标以及反比例函数解析式，再将点B坐标代入反比例函数求出n的值，从而得到点B的坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式求解；

（2）设AB与x轴相交于点C，根据一次函数解析式求出点C的坐标，从而得到点OC的长度，再根据S_△AOB=S_△AOC+S_△BOC列式计算即可得解．

【解答】解：（1）将A（﹣3，m+8）代入反比例函数y= 得，

=m+8，

解得m=﹣6，

m+8=﹣6+8=2，

所以，点A的坐标为（﹣3，2），

反比例函数解析式为y=﹣ ，

将点B（n，﹣6）代入y=﹣ 得，﹣ =﹣6，

解得n=1，

所以，点B的坐标为（1，﹣6），

将点A（﹣3，2），B（1，﹣6）代入y=kx+b得，

，

解得 ，

所以，一次函数解析式为y=﹣2x﹣4；

（2）设AB与x轴相交于点C，

令﹣2x﹣4=0解得x=﹣2，

所以，点C的坐标为（﹣2，0），

所以，OC=2，

S_△AOB=S_△AOC+S_△BOC，

= ×2×3+ ×2×1，

=3+1，

=4．

【点评】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，主要利用了待定系数法求一次函数解析式和待定系数法求反比例函数解析式，三角形的面积的求解，关键在于先求出点A的坐标．

 

23．（10分）（2017•宜宾）如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AD平分∠CAE交⊙O于点D，且AE⊥CD，垂足为点E．

（1）求证：直线CE是⊙O的切线．

（2）若BC=3，CD=3 ，求弦AD的长．

【分析】（1）连结OC，如图，由AD平分∠EAC得到∠1=∠3，加上∠1=∠2，则∠3=∠2，于是可判断OD∥AE，根据平行线的性质得OD⊥CE，然后根据切线的判定定理得到结论；

（2）由△CDB∽△CAD，可得 = = ，推出CD²=CB•CA，可得（3 ）²=3CA，推出CA=6，推出AB=CA﹣BC=3， = = ，设BD= K，AD=2K，在Rt△ADB中，可得2k²+4k²=5，求出k即可解决问题．

【解答】（1）证明：连结OC，如图，

∵AD平分∠EAC，

∴∠1=∠3，

∵OA=OD，

∴∠1=∠2，

∴∠3=∠2，

∴OD∥AE，

∵AE⊥DC，

∴OD⊥CE，

∴CE是⊙O的切线；

（2）∵∠CDO=∠ADB=90°，

∴∠2=∠CDB=∠1，∵∠C=∠C，

∴△CDB∽△CAD，

∴ = = ，

∴CD²=CB•CA，

∴（3 ）²=3CA，

∴CA=6，

∴AB=CA﹣BC=3， = = ，设BD= K，AD=2K，

在Rt△ADB中，2k²+4k²=5，

∴k= ，

∴AD= ．

【点评】本题考查切线的判定和性质、平行线的性质、切线的判定、勾股定理等知识，解题的关键是学会填空常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

 

24．（12分）（2017•宜宾）如图，抛物线y=﹣x²+bx+c与x轴分别交于A（﹣1，0），B（5，0）两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在第二象限内取一点C，作CD垂直X轴于点D，链接AC，且AD=5，CD=8，将Rt△ACD沿x轴向右平移m个单位，当点C落在抛物线上时，求m的值；

（3）在（2）的条件下，当点C第一次落在抛物线上记为点E，点P是抛物线对称轴上一点．试探究：在抛物线上是否存在点Q，使以点B、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）由A、B的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；

（2）由题意可求得C点坐标，设平移后的点C的对应点为C′，则C′点的纵坐标为8，代入抛物线解析式可求得C′点的坐标，则可求得平移的单位，可求得m的值；

（3）由（2）可求得E点坐标，连接BE交对称轴于点M，过E作EF⊥x轴于点F，当BE为平行四边形的边时，过Q作对称轴的垂线，垂足为N，则可证得△PQN≌△EFB，可求得QN，即可求得Q到对称轴的距离，则可求得Q点的横坐标，代入抛物线解析式可求得Q点坐标；当BE为对角线时，由B、E的坐标可求得线段BE的中点坐标，设Q（x，y），由P点的横坐标则可求得Q点的横坐标，代入抛物线解析式可求得Q点的坐标．

【解答】解：

（1）∵抛物线y=﹣x²+bx+c与x轴分别交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，

∴ ，解得 ，

∴抛物线解析式为y=﹣x²+4x+5；

（2）∵AD=5，且OA=1，

∴OD=6，且CD=8，

∴C（﹣6，8），

设平移后的点C的对应点为C′，则C′点的纵坐标为8，

代入抛物线解析式可得8=﹣x²+4x+5，解得x=1或x=3，

∴C′点的坐标为（1，8）或（3，8），

∵C（﹣6，8），

∴当点C落在抛物线上时，向右平移了7或9个单位，

∴m的值为7或9；

（3）∵y=﹣x²+4x+5=﹣（x﹣2）²+9，

∴抛物线对称轴为x=2，

∴可设P（2，t），

由（2）可知E点坐标为（1，8），

①当BE为平行四边形的边时，连接BE交对称轴于点M，过E作EF⊥x轴于点F，当BE为平行四边形的边时，过Q作对称轴的垂线，垂足为N，如图，

则∠BEF=∠BMP=∠QPN，

在△PQN和△EFB中

∴△PQN≌△EFB（AAS），

∴NQ=BF=OB﹣OF=5﹣1=4，

设Q（x，y），则QN=|x﹣2|，

∴|x﹣2|=4，解得x=﹣2或x=6，

当x=﹣2或x=6时，代入抛物线解析式可求得y=﹣7，

∴Q点坐标为（﹣2，﹣7）或（6，﹣7）；

②当BE为对角线时，

∵B（5，0），E（1，8），

∴线段BE的中点坐标为（3，4），则线段PQ的中点坐标为（3，4），

设Q（x，y），且P（2，t），

∴x+2=3×2，解得x=4，把x=4代入抛物线解析式可求得y=5，

∴Q（4，5）；

综上可知Q点的坐标为（﹣2，﹣7）或（6，﹣7）或（4，5）．

【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、平移的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）注意待定系数法的应用，在（2）中求得平移后C点的对应点的坐标是解题的关键，在（3）中确定出Q点的位置是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．

 

 

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