2017年全国中考数学试题2017年浙江省宁波市中考数学试卷(含答案解析版)

2017年浙江省宁波市中考数学试卷

一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.21教育网

1．在，，0，﹣2这四个数中，为无理数的是（　　）

A． B． C．0 D．﹣2

2．下列计算正确的是（　　）

A．a²+a³=a⁵ B．（2a）²=4a C．a²•a³=a⁵ D．（a²）³=a⁵

3．2017年2月13日，宁波舟山港45万吨原油码头首次挂靠全球最大油轮﹣﹣“泰欧”轮，其中45万吨用科学记数法表示为（　　）www-2-1-cnjy-com

A．0.45×10⁶吨 B．4.5×10⁵吨 C．45×10⁴吨 D．4.5×10⁴吨

4．要使二次根式有意义，则x的取值范围是（　　）

A．x≠3 B．x＞3 C．x≤3 D．x≥3

5．如图所示的几何体的俯视图为（　　）

A． B． C． D．

6．一个不透明的布袋里装有5个红球，2个白球，3个黄球，它们除颜色外其余都相同，从袋中任意摸出1个球，是黄球的概率为（　　）

A． B． C． D．

7．已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图方式放置（∠ABC=30°），其中A，B两点分别落在直线m，n上，若∠1=20°，则∠2的度数为（　　）21世纪教育所有

A．20° B．30° C．45° D．50°

8．若一组数据2，3，x，5，7的众数为7，则这组数据的中位数为（　　）

A．2 B．3 C．5 D．7

9．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，BC=2，以BC的中点O为圆心分别与AB，AC相切于D，E两点，则 的长为（　　）【版权所有：21教育】

A． B． C． D．2

10．抛物线y=x²﹣2x+m²+2（m是常数）的顶点在（　　）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

11．如图，四边形ABCD是边长为6的正方形，点E在边AB上，BE=4，过点E作EF∥BC，分别交BD，CD于G，F两点．若M，N分别是DG，CE的中点，则MN的长为（　　）21教作

A．3 B． C． D．4

12．一个大矩形按如图方式分割成九个小矩形，且只有标号为①和②的两个小矩形为正方形，在满足条件的所有分割中．若知道九个小矩形中n个小矩形的周长，就一定能算出这个大矩形的面积，则n的最小值是（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6

 

二、填空题（每题4分，满分24分，将答案填在答题纸上）

13．实数﹣8的立方根是　 　．

14．分式方程的解是　 　．

15．如图，用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：则第⑦个图案有　 　个黑色棋子．

16．如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为34°的斜坡，从A滑行至B，已知AB=500米，则这名滑雪运动员的高度下降了　 　米．（参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67）【来源：21·世纪·教育·网】

17．已知△ABC的三个顶点为A（﹣1，1），B（﹣1，3），C（﹣3，﹣3），将△ABC向右平移m（m＞0）个单位后，△ABC某一边的中点恰好落在反比例函数y=的图象上，则m的值为　 　．

18．如图，在菱形纸片ABCD中，AB=2，∠A=60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F，G分别在边AB，AD上，则cos∠EFG的值为　 　．

 

三、解答题（本大题共8小题，共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

19．先化简，再求值：（2+x）（2﹣x）+（x﹣1）（x+5），其中x=．

20．在4×4的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上．

（1）在图1中画出与△ABC成轴对称且与△ABC有公共边的格点三角形（画出一个即可）；

（2）将图2中的△ABC绕着点C按顺时针方向旋转90°，画出经旋转后的三角形．

21．大黄鱼是中国特有的地方性鱼类，有“国鱼”之称，由于过去滥捕等多种因素，大黄鱼资源已基本枯竭，目前，我市已培育出十余种大黄鱼品种，某鱼苗人工养殖基地对其中的四个品种“宁港”、“御龙”、“甬岱”、“象山港”共300尾鱼苗进行成活实验，从中选出成活率最高的品种进行推广，通过实验得知“甬岱”品种鱼苗成活率为80%，并把实验数据绘制成下列两幅统计图（部分信息未给出）：

（1）求实验中“宁港”品种鱼苗的数量；

（2）求实验中“甬岱”品种鱼苗的成活数，并补全条形统计图；

（3）你认为应选哪一品种进行推广？请说明理由．

22．如图，正比例函数y₁=﹣3x的图象与反比例函数y₂=的图象交于A、B两点．点C在x轴负半轴上，AC=AO，△ACO的面积为12．

（1）求k的值；

（2）根据图象，当y₁＞y₂时，写出x的取值范围．

23．2017年5月14日至15日，“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行，本届论坛期间，中国同30多个国家签署经贸合作协议，某厂准备生产甲、乙两种商品共8万件销往“一带一路”沿线国家和地区．已知2件甲种商品与3件乙种商品的销售收入相同，3件甲种商品比2件乙种商品的销售收入多1500元．

（1）甲种商品与乙种商品的销售单价各多少元？

（2）若甲、乙两种商品的销售总收入不低于5400万元，则至少销售甲种商品多少万件？

24．在一次课题学习中，老师让同学们合作编题，某学习小组受赵爽弦图的启发，编写了下面这道题，请你来解一解：

如图，将矩形ABCD的四边BA、CB、DC、AD分别延长至E、F、G、H，使得AE=CG，BF=DH，连接EF，FG，GH，HE．

（1）求证：四边形EFGH为平行四边形；

（2）若矩形ABCD是边长为1的正方形，且∠FEB=45°，tan∠AEH=2，求AE的长．

25．如图，抛物线y=x²+x+c与x轴的负半轴交于点A，与y轴交于点B，连结AB，点C（6，）在抛物线上，直线AC与y轴交于点D．

（1）求c的值及直线AC的函数表达式；

（2）点P在x轴正半轴上，点Q在y轴正半轴上，连结PQ与直线AC交于点M，连结MO并延长交AB于点N，若M为PQ的中点．

①求证：△APM∽△AON；

②设点M的横坐标为m，求AN的长（用含m的代数式表示）．

26．有两个内角分别是它们对角的一半的四边形叫做半对角四边形．

（1）如图1，在半对角四边形ABCD中，∠B=∠D，∠C=∠A，求∠B与∠C的度数之和；

（2）如图2，锐角△ABC内接于⊙O，若边AB上存在一点D，使得BD=BO，∠OBA的平分线交OA于点E，连结DE并延长交AC于点F，∠AFE=2∠EAF．求证：四边形DBCF是半对角四边形；

（3）如图3，在（2）的条件下，过点D作DG⊥OB于点H，交BC于点G，当DH=BG时，求△BGH与△ABC的面积之比．

 

2017年浙江省宁波市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．在 ， ，0，﹣2这四个数中，为无理数的是（　　）

A． B． C．0 D．﹣2

【考点】26：无理数．

【分析】分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．

【解答】解： ，0，﹣2是有理数，

是无理数，

故选：A．

 

2．下列计算正确的是（　　）

A．a²+a³=a⁵ B．（2a）²=4a C．a²•a³=a⁵ D．（a²）³=a⁵

【考点】47：幂的乘方与积的乘方；35：合并同类项；46：同底数幂的乘法．

【分析】根据积的乘方等于乘方的积，同底数幂的乘法底数不变指数相加，可得答案．

【解答】解：A、不是同底数幂的乘法指数不能相加，故A不符合题意；

B、积的乘方等于乘方的积，故B不符合题意；

C、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故C符合题意；

D、幂的乘方底数不变指数相乘，故D不符合题意；

故选：C．

 

3．2017年2月13日，宁波舟山港45万吨原油码头首次挂靠全球最大油轮﹣﹣“泰欧”轮，其中45万吨用科学记数法表示为（　　）

A．0.45×10⁶吨 B．4.5×10⁵吨 C．45×10⁴吨 D．4.5×10⁴吨

【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．

【分析】科学记数法的表示形式为a×10ⁿ的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【解答】解：将45万用科学记数法表示为：4.5×10⁵．

故选：B．

 

4．要使二次根式 有意义，则x的取值范围是（　　）

A．x≠3 B．x＞3 C．x≤3 D．x≥3

【考点】72：二次根式有意义的条件．

【分析】二次根式有意义时，被开方数是非负数．

【解答】解：依题意得：x﹣3≥0，

解得x≥3．

故选：D．

 

5．如图所示的几何体的俯视图为（　　）

A． B． C． D．

【考点】U1：简单几何体的三视图．

【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．

【解答】解：从上边看外边是正六边形，里面是圆，

故选：D．

 

6．一个不透明的布袋里装有5个红球，2个白球，3个黄球，它们除颜色外其余都相同，从袋中任意摸出1个球，是黄球的概率为（　　）

A． B． C． D．

【考点】X4：概率公式．

【分析】让黄球的个数除以球的总个数即为所求的概率．

【解答】解：因为一共10个球，其中3个黄球，所以从袋中任意摸出1个球是黄球的概率是 ．

故选：C．

 

7．已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图方式放置（∠ABC=30°），其中A，B两点分别落在直线m，n上，若∠1=20°，则∠2的度数为（　　）www.21-cn-jy.com

A．20° B．30° C．45° D．50°

【考点】JA：平行线的性质．

【分析】根据平行线的性质即可得到结论．

【解答】解：∵直线m∥n，

∴∠2=∠ABC+∠1=30°+20°=50°，

故选D．

 

8．若一组数据2，3，x，5，7的众数为7，则这组数据的中位数为（　　）

A．2 B．3 C．5 D．7

【考点】W5：众数；W4：中位数．

【分析】根据众数的定义可得x的值，再依据中位数的定义即可得答案．

【解答】解：∵数据2，3，x，5，7的众数为7，

∴x=7，

则这组数据为2、3、5、7、7，

∴中位数为5，

故选：C．

 

9．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，BC=2 ，以BC的中点O为圆心分别与AB，AC相切于D，E两点，则 的长为（　　）2-1-c-n-j-y

A． B． C．π D．2π

【考点】MC：切线的性质；MN：弧长的计算．

【分析】连接OE、OD，由切线的性质可知OE⊥AC，OD⊥AB，由于O是BC的中点，从而可知OD是中位线，所以可知∠B=45°，从而可知半径r的值，最后利用弧长公式即可求出答案．

【解答】解：连接OE、OD，

设半径为r，

∵⊙O分别与AB，AC相切于D，E两点，

∴OE⊥AC，OD⊥AB，

∵O是BC的中点，

∴OD是中位线，

∴OD=AE= AC，

∴AC=2r，

同理可知：AB=2r，

∴AB=AC，

∴∠B=45°，

∵BC=2

∴由勾股定理可知AB=2，

∴r=1，

∴ = =

故选（B）

 

10．抛物线y=x²﹣2x+m²+2（m是常数）的顶点在（　　）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【考点】H3：二次函数的性质．

【分析】先根据抛物线的顶点式求出抛物线y=x²﹣2x+m²+2（m是常数）的顶点坐标，再根据各象限内点的坐标特点进行解答．

【解答】解：∵y=x²﹣2x+m²+2=（x﹣1）²+（m²+1），

∴顶点坐标为：（1，m²+1），

∵1＞0，m²+1＞0，

∴顶点在第一象限．

故选A．

 

11．如图，四边形ABCD是边长为6的正方形，点E在边AB上，BE=4，过点E作EF∥BC，分别交BD，CD于G，F两点．若M，N分别是DG，CE的中点，则MN的长为（　　）

A．3 B． C． D．4

【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KW：等腰直角三角形；LE：正方形的性质．

【分析】作辅助线，构建全等三角形，证明△EMF≌△CMD，则EM=CM，利用勾股定理得：BD= =6 ，EC= =2 ，可得△EBG是等腰直角三角形，分别求EM=CM的长，利用勾股定理的逆定理可得△EMC是等腰直角三角形，根据直角三角形斜边中线的性质得MN的长．

【解答】解：连接FM、EM、CM，

∵四边形ABCD为正方形，

∴∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，BC=CD，

∵EF∥BC，

∴∠GFD=∠BCD=90°，EF=BC，

∴EF=BC=DC，

∵∠BDC= ∠ADC=45°，

∴△GFD是等腰直角三角形，

∵M是DG的中点，

∴FM=DM=MG，FM⊥DG，

∴∠GFM=∠CDM=45°，

∴△EMF≌△CMD，

∴EM=CM，

过M作MH⊥CD于H，

由勾股定理得：BD= =6 ，

EC= =2 ，

∵∠EBG=45°，

∴△EBG是等腰直角三角形，

∴EG=BE=4，

∴BG=4 ，

∴DM=

∴MH=DH=1，

∴CH=6﹣1=5，

∴CM=EM= = ，

∵CE²=EM²+CM²，

∴∠EMC=90°，

∵N是EC的中点，

∴MN= EC= ；

故选C．

 

12．一个大矩形按如图方式分割成九个小矩形，且只有标号为①和②的两个小矩形为正方形，在满足条件的所有分割中．若知道九个小矩形中n个小矩形的周长，就一定能算出这个大矩形的面积，则n的最小值是（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6

【考点】O2：推理与论证．

【分析】根据题意结合正方形的性质得出只有表示出矩形的各边长才可以求出面积，进而得出符合题意的答案．

【解答】解：如图所示：设①的周长为：4x，③的周长为4y，④的周长为4b，即可得出①的边长以及③和④的邻边和，

设②的周长为：4a，则②的边长为a，可得③和④中都有一条边为a，

则③和④的另一条边长分别为：y﹣a，b﹣a，

故大矩形的边长分别为：b﹣a+x+a=b+x，y﹣a+x+a=y+x，

故大矩形的面积为：（b+x）（y+x），其中b，x，y都为已知数，

故n的最小值是3．

故选：A．

 

二、填空题（每题4分，满分24分，将答案填在答题纸上）

13．实数﹣8的立方根是　﹣2　．

【考点】24：立方根．

【分析】利用立方根的定义即可求解．

【解答】解：∵（﹣2）³=﹣8，

∴﹣8的立方根是﹣2．

故答案﹣2．

 

14．分式方程 = 的解是　x=1　．

【考点】B3：解分式方程．

【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．

【解答】解：去分母得：4x+2=9﹣3x，

解得：x=1，

经检验x=1是分式方程的解，

故答案为：x=1

 

15．如图，用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：则第⑦个图案有　19　个黑色棋子．

【考点】38：规律型：图形的变化类．

【分析】根据图中所给的黑色棋子的颗数，找出其中的规律，根据规律列出式子，即可求出答案．

【解答】解：第一个图需棋子1，

第二个图需棋子1+3，

第三个图需棋子1+3×2，

第四个图需棋子1+3×3，

…

第n个图需棋子1+3（n﹣1）=3n﹣2枚．

所以第⑦个图形有19颗黑色棋子．

故答案为：19；

 

16．如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为34°的斜坡，从A滑行至B，已知AB=500米，则这名滑雪运动员的高度下降了　280　米．（参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67）

【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．

【分析】如图在Rt△ABC中，AC=AB•sin34°=500×0.56≈280m，可知这名滑雪运动员的高度下降了280m．

【解答】解：如图在Rt△ABC中，

AC=AB•sin34°=500×0.56≈280m，

∴这名滑雪运动员的高度下降了280m．

故答案为280

 

17．已知△ABC的三个顶点为A（﹣1，1），B（﹣1，3），C（﹣3，﹣3），将△ABC向右平移m（m＞0）个单位后，△ABC某一边的中点恰好落在反比例函数y= 的图象上，则m的值为　2.5　．

【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征；Q3：坐标与图形变化﹣平移．

【分析】求得三角形三边中点的坐标，然后根据平移规律可得AB边的中点（﹣1，2），BC边的中点（﹣2，0），AC边的中点（﹣2，﹣1），然后分两种情况进行讨论：一是AB边的中点在反比例函数y= 的图象上，二是AC边的中点在反比例函数y= 的图象上，进而算出m的值．

【解答】解：∵△ABC的三个顶点为A（﹣1，1），B（﹣1，3），C（﹣3，﹣3），

∴AB边的中点（﹣1，2），BC边的中点（﹣2，0），AC边的中点（﹣2，﹣1），

∵将△ABC向右平移m（m＞0）个单位后，

∴AB边的中点平移后的坐标为（﹣1+m，2），AC边的中点平移后的坐标为（﹣2+m，﹣1）．

∵△ABC某一边的中点恰好落在反比例函数y= 的图象上，

∴2（﹣1+m）=3或﹣1×（﹣2+m）=3．

∴m=2.5或m=﹣1（舍去）．

故答案为2.5．

 

18．如图，在菱形纸片ABCD中，AB=2，∠A=60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F，G分别在边AB，AD上，则cos∠EFG的值为　 　．21*cnjy*com

【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；L8：菱形的性质；T7：解直角三角形．

【分析】作EH⊥AD于H，连接BE、BD，连接AE交FG于O，如图，利用菱形的性质得△BDC为等边三角形，∠ADC=120°，再在在Rt△BCE中计算出BE= CE= ，接着证明BE⊥AB，设AF=x，利用折叠的性质得到EF=AF，FG垂直平分AE，∠EFG=∠AFG，所以在Rt△BEF中利用勾股定理得（2﹣x）²+（ ）²=x²，解得x= ，接下来计算出AE，从而得到OA的长，然后在Rt△AOF中利用勾股定理计算出OF，再利用余弦的定义求解．

【解答】解：作EH⊥AD于H，连接BE、BD，连接AE交FG于O，如图，

∵四边形ABCD为菱形，∠A=60°，

∴△BDC为等边三角形，∠ADC=120°，

∵E点为CD的中点，

∴CE=DE=1，BE⊥CD，

在Rt△BCE中，BE= CE= ，

∵AB∥CD，

∴BE⊥AB，

设AF=x，

∵菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F，G分别在边AB，AD上，

∴EF=AF，FG垂直平分AE，∠EFG=∠AFG，

在Rt△BEF中，（2﹣x）²+（ ）²=x²，解得x= ，

在Rt△DEH中，DH= DE= ，HE= DH= ，

在Rt△AEH中，AE= = ，

∴AO= ，

在Rt△AOF中，OF= = ，

∴cos∠AFO= = ．

故答案为 ．

 

三、解答题（本大题共8小题，共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

19．先化简，再求值：（2+x）（2﹣x）+（x﹣1）（x+5），其中x= ．

【考点】4J：整式的混合运算—化简求值．

【分析】原式利用平方差公式，以及多项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．

【解答】解：原式=4﹣x²+x²+4x﹣5=4x﹣1，

当x= 时，原式=6﹣1=5．

 

20．在4×4的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上．

（1）在图1中画出与△ABC成轴对称且与△ABC有公共边的格点三角形（画出一个即可）；

（2）将图2中的△ABC绕着点C按顺时针方向旋转90°，画出经旋转后的三角形．

【考点】R8：作图﹣旋转变换；P7：作图﹣轴对称变换．

【分析】（1）根据成轴对称图形的概念，分别以边AC、BC所在的直线为对称轴作出图形即可；

（2）根据网格结构找出点A、B绕着点C按顺时针方向旋转90°后的对应点的位置，再与点C顺次连接即可．21·世纪*教育网

【解答】解：如图所示．

 

21．大黄鱼是中国特有的地方性鱼类，有“国鱼”之称，由于过去滥捕等多种因素，大黄鱼资源已基本枯竭，目前，我市已培育出十余种大黄鱼品种，某鱼苗人工养殖基地对其中的四个品种“宁港”、“御龙”、“甬岱”、“象山港”共300尾鱼苗进行成活实验，从中选出成活率最高的品种进行推广，通过实验得知“甬岱”品种鱼苗成活率为80%，并把实验数据绘制成下列两幅统计图（部分信息未给出）：

（1）求实验中“宁港”品种鱼苗的数量；

（2）求实验中“甬岱”品种鱼苗的成活数，并补全条形统计图；

（3）你认为应选哪一品种进行推广？请说明理由．

【考点】VC：条形统计图；VB：扇形统计图．

【分析】（1）求出“宁港”品种鱼苗的百分比，乘以300即可得到结果；

（2）求出“甬岱”品种鱼苗的成活数，补全条形统计图即可；

（3）求出三种鱼苗成活率，比较即可得到结果．

【解答】解：（1）根据题意得：300×（1﹣30%﹣25%﹣25%）=60（尾），

则实验中“宁港”品种鱼尾有60尾；

（2）根据题意得：300×30%×80%=72（尾），

则实验中“甬岱”品种鱼苗有72尾成活，补全条形统计图：

（3）“宁港”品种鱼苗的成活率为 ×100%=85%；

“御龙”品种鱼苗的成活率为 ×100%=74.6%；

“象山港”品种鱼苗的成活率为 ×100%=80%，

则“宁港”品种鱼苗的成活率最高，应选“宁港”品种进行推广．

 

22．如图，正比例函数y₁=﹣3x的图象与反比例函数y₂= 的图象交于A、B两点．点C在x轴负半轴上，AC=AO，△ACO的面积为12．

（1）求k的值；

（2）根据图象，当y₁＞y₂时，写出x的取值范围．

【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．

【分析】（1）过点A作AD垂直于OC，由AC=AD，得到CD=DO，确定出三角形ADO与三角形ACO面积，即可求出k的值；

（2）根据函数图象，找出满足题意x的范围即可．

【解答】解：（1）如图，过点A作AD⊥OC，

∵AC=AO，

∴CD=DO，

∴S_△ADO=S_△ACO=6，

∴k=12；

（2）根据图象得：当y₁＞y₂时，x的范围为x＜﹣2或0＜x＜2．

 

23．2017年5月14日至15日，“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行，本届论坛期间，中国同30多个国家签署经贸合作协议，某厂准备生产甲、乙两种商品共8万件销往“一带一路”沿线国家和地区．已知2件甲种商品与3件乙种商品的销售收入相同，3件甲种商品比2件乙种商品的销售收入多1500元．

（1）甲种商品与乙种商品的销售单价各多少元？

（2）若甲、乙两种商品的销售总收入不低于5400万元，则至少销售甲种商品多少万件？

【考点】C9：一元一次不等式的应用；9A：二元一次方程组的应用．

【分析】（1）可设甲种商品的销售单价x元，乙种商品的销售单价y元，根据等量关系：①2件甲种商品与3件乙种商品的销售收入相同，②3件甲种商品比2件乙种商品的销售收入多1500元，列出方程组求解即可；

（2）可设销售甲种商品x万件，根据甲、乙两种商品的销售总收入不低于5400万元，列出不等式求解即可．21cnjy.com

【解答】解：（1）设甲种商品的销售单价x元，乙种商品的销售单价y元，依题意有

，

解得 ．

答：甲种商品的销售单价900元，乙种商品的销售单价600元；

（2）设销售甲种商品x万件，依题意有

900a+600（8﹣a）≥5400，

解得a≥2．

答：至少销售甲种商品2万件．

 

24．在一次课题学习中，老师让同学们合作编题，某学习小组受赵爽弦图的启发，编写了下面这道题，请你来解一解：21·cn·jy·com

如图，将矩形ABCD的四边BA、CB、DC、AD分别延长至E、F、G、H，使得AE=CG，BF=DH，连接EF，FG，GH，HE．【来源：21cnj*y.co*m】

（1）求证：四边形EFGH为平行四边形；

（2）若矩形ABCD是边长为1的正方形，且∠FEB=45°，tan∠AEH=2，求AE的长．

【考点】LB：矩形的性质；KR：勾股定理的证明；L7：平行四边形的判定与性质；T7：解直角三角形．

【分析】（1）由矩形的性质得出AD=BC，∠BAD=∠BCD=90°，证出AH=CF，在Rt△AEH和Rt△CFG中，由勾股定理求出EH=FG，同理：EF=HG，即可得出四边形EFGH为平行四边形；2·1·c·n·j·y

（2）在正方形ABCD中，AB=AD=1，设AE=x，则BE=x+1，在Rt△BEF中，∠BEF=45°，得出BE=BF，求出DH=BE=x+1，得出AH=AD+DH=x+2，在Rtt△AEH中，由三角函数得出方程，解方程即可．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴AD=BC，∠BAD=∠BCD=90°，

∵BF=DH，

∴AH=CF，

在Rt△AEH中，EH= ，

在Rt△CFG中，FG= ，

∵AE=CG，

∴EH=FG，

同理：EF=HG，

∴四边形EFGH为平行四边形；

（2）解：在正方形ABCD中，AB=AD=1，

设AE=x，则BE=x+1，

在Rt△BEF中，∠BEF=45°，

∴BE=BF，

∵BF=DH，

∴DH=BE=x+1，

∴AH=AD+DH=x+2，

在Rtt△AEH中，

tan∠AEH=2，

∴AH=2AE，

∴2+x=2x，

解得：x=2，

∴AE=2．

 

25．如图，抛物线y= x²+ x+c与x轴的负半轴交于点A，与y轴交于点B，连结AB，点C（6， ）在抛物线上，直线AC与y轴交于点D．

（1）求c的值及直线AC的函数表达式；

（2）点P在x轴正半轴上，点Q在y轴正半轴上，连结PQ与直线AC交于点M，连结MO并延长交AB于点N，若M为PQ的中点．

①求证：△APM∽△AON；

②设点M的横坐标为m，求AN的长（用含m的代数式表示）．

【考点】HF：二次函数综合题．

【分析】（1）把C点坐标代入抛物线解析式可求得c的值，令y=0可求得A点坐标，利用待定系数法可求得直线AC的函数表达式；

（2）①在Rt△AOB和Rt△AOD中可求得∠OAB=∠OAD，在Rt△OPQ中可求得MP=MO，可求得∠MPO=∠MOP=∠AON，则可证得△APM∽△AON；

②过M作ME⊥x轴于点E，用m可表示出AE和AP，进一步可表示出AM，利用△APM∽△AON可表示出AN．

【解答】解：

（1）把C点坐标代入抛物线解析式可得 =9+ +c，解得c=﹣3，

∴抛物线解析式为y= x²+ x﹣3，

令y=0可得 x²+ x﹣3=0，解得x=﹣4或x=3，

∴A（﹣4，0），

设直线AC的函数表达式为y=kx+b（k≠0），

把A、C坐标代入可得 ，解得 ，

∴直线AC的函数表达式为y= x+3；

（2）①∵在Rt△AOB中，tan∠OAB= = ，在RtAOD中，tan∠OAD= = ，

∴∠OAB=∠OAD，

∵在Rt△POQ中，M为PQ的中点，

∴OM=MP，

∴∠MOP=∠MPO，且∠MOP=∠AON，

∴∠APM=∠AON，

∴△APM∽△AON；

②如图，过点M作ME⊥x轴于点E，则OE=EP，

∵点M的横坐标为m，

∴AE=m+4，AP=2m+4，

∵tan∠OAD= ，

∴cos∠EAM=cos∠OAD= ，

∴ = ，

∴AM= AE= ，

∵△APM∽△AON，

∴ = ，即 = ，

∴AN= ．

 

26．有两个内角分别是它们对角的一半的四边形叫做半对角四边形．

（1）如图1，在半对角四边形ABCD中，∠B= ∠D，∠C= ∠A，求∠B与∠C的度数之和；

（2）如图2，锐角△ABC内接于⊙O，若边AB上存在一点D，使得BD=BO，∠OBA的平分线交OA于点E，连结DE并延长交AC于点F，∠AFE=2∠EAF．求证：四边形DBCF是半对角四边形；

（3）如图3，在（2）的条件下，过点D作DG⊥OB于点H，交BC于点G，当DH=BG时，求△BGH与△ABC的面积之比．

【考点】MR：圆的综合题．

【分析】（1）根据题意得出∠B= ∠D，∠C= ∠A，代入∠A+∠B+∠C+∠D=360°求出即可；21*cnjy*com

（2）求出△BED≌△BEO，根据全等得出∠BDE=∠BOE，连接OC，设∠EAF=α，则∠AFE=2∠EAF=2α，求出∠EFC=180°﹣2α，∠AOC=180°﹣2α，即可得出等答案；【出处：21教育名师】

（3）过点O作OM⊥BC于M，求出∠ABC+∠ACB=120°，求出∠OBC=∠OCB=30°，根据直角三角形的性质得出BC=2BM= BO= BD，求出△DBG∽△CBA，根据相似三角形的性质得出即可．

【解答】解：（1）在半对角四边形ABCD中，∠B= ∠D，∠C= ∠A，

∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，

∴3∠B+3∠C=360°，

∴∠B+∠C=120°，

即∠B与∠C的度数和为120°；

（2）证明：∵在△BED和△BEO中

∴△BED≌△BEO，

∴∠BDE=∠BOE，

∵∠BCF= ∠BOE，

∴∠BCF= ∠BDE，

连接OC，

设∠EAF=α，则∠AFE=2∠EAF=2α，

∴∠EFC=180°﹣∠AFE=180°﹣2α，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA=α，

∴∠AOC=180°﹣∠OAC﹣∠OCA=180°﹣2α，

∴∠ABC= ∠AOC= ∠EFC，

∴四边形DBCF是半对角四边形；

（3）解：过点O作OM⊥BC于M，

∵四边形DBCF是半对角四边形，

∴∠ABC+∠ACB=120°，

∴∠BAC=60°，

∴∠BCO=2∠BAC=120°，

∵OB=OC，

∴∠OBC=∠OCB=30°，

∴BC=2BM= BO= BD，

∵DG⊥OB，

∴∠HGB=∠BAC=60°，

∵∠DBG=∠CBA，

∴△DBG∽△CBA，

∴ =（ ）²= ，

∵DH=BG，BG=2HG，

∴DG=3HG，

∴ = ，

∴ = ．

 

2017年7月12日

 

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