2020年高考各科总复习考点一遍过讲义考点15 三角函数的图象与性质-备战2020年高考数学（理）考点一遍过

考点15 三角函数的图象与性质

（1）能画出y=sin x，y =cos x，y = tan x的图象，了解三角函数的周期性.

（2）理解正弦函数、余弦函数在区间上的性质（如单调性、 最大值和最小值以及与x轴的交点等），理解正切函数在区间内的单调性.

（3）了解函数的物理意义；能画出的图象，了解参数对函数图象变化的影响.

（4）了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题.

一、正弦函数,余弦函数,正切函数的图象与性质

函数
图象
定义域
值域
最值	当时，； 当时，．	当时，； 当时，．	既无最大值，也无最小值
周期性	最小正周期为	最小正周期为	最小正周期为
奇偶性	,奇函数	，偶函数	，奇函数
单调性	在上是增函数； 在上是减函数．	在上是增函数； 在上是减函数．	在上是增函数．
对称性	对称中心； 对称轴， 既是中心对称图形又是轴对称图形.	对称中心； 对称轴， 既是中心对称图形又是轴对称图形.	对称中心； 无对称轴， 是中心对称图形但不是轴对称图形.

二、函数的图象与性质

1．函数的图象的画法

（1）变换作图法

由函数的图象通过变换得到（A>0,ω>0）的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.如下图.

（2）五点作图法

找五个关键点，分别为使y取得最小值、最大值的点和曲线与x轴的交点.其步骤为：

①先确定最小正周期T=,在一个周期内作出图象；

②令,令X分别取0，,,,求出对应的x值，列表如下：

由此可得五个关键点；

③描点画图，再利用函数的周期性把所得简图向左右分别扩展，从而得到的简图.

2．函数（A>0,ω>0）的性质

（1）奇偶性：时，函数为奇函数；时，函数为偶函数.

（2）周期性：存在周期性，其最小正周期为T= .

（3）单调性：根据y=sint和t=的单调性来研究，由得单调增区间；由得单调减区间.

（4）对称性：利用y=sin x的对称中心为求解，令，求得x.

利用y=sin x的对称轴为求解，令，得其对称轴.

3．函数（A>0,ω>0）的物理意义

当函数（A>0,ω>0,）表示一个简谐振动量时，则A叫做振幅，T=叫做周期，f =叫做频率,叫做相位，x=0时的相位叫做初相.

三、三角函数的综合应用

（1）函数，的定义域均为；函数的定义域均为.

（2）函数，的最大值为，最小值为；函数的值域为.

（3）函数，的最小正周期为；函数的最小正周期为．

（4）对于，当且仅当时为奇函数，当且仅当时为偶函数；对于，当且仅当时为奇函数，当且仅当时为偶函数；对于，当且仅当时为奇函数．

（5）函数的单调递增区间由不等式

来确定，单调递减区间由不等式来确定；函数的单调递增区间由不等式来确定，单调递减区间由不等式来确定；函数的单调递增区间由不等式来确定．

【注】函数，，（有可能为负数）的单调区间：先利用诱导公式把化为正数后再求解．

（6）函数图象的对称轴为，对称中心为；函数图象的对称轴为，对称中心为；函数图象的对称中心为.

【注】函数，的图象与轴的交点都为对称中心，过最高点或最低点且垂直于轴的直线都为对称轴. 函数的图象与轴的交点和渐近线与轴的交点都为对称中心，无对称轴.

考向一 三角函数的图象变换

函数图象的平移变换解题策略

（1）对函数y=sin x，y=Asin(ωx＋φ)或y=Acos(ωx＋φ)的图象，无论是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移，只要平移|φ|个单位，都是相应的解析式中的x变为x±|φ|，而不是ωx变为ωx±|φ|.

（2）注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应用诱导公式化为同名函数再平移.

典例1 将函数图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位得到函数的图象，则在图象的所有对称轴中，离原点最近的对称轴为

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】将函数的图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，得到的图象，

再将所得图象向左平移个单位得到函数的图象，

即，

由，得，

则当时，离原点最近的对称轴方程为，故选A．

【名师点睛】（1）进行三角函数的图象变换时，要注意无论进行什么样的变换都是变换变量本身；要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；

（2）在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量而言的，如果的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向．

1．要得到函数y＝sin（2x+）的图象，只需将函数y＝cos（2x﹣）的图象上所有点

A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度

考向二 确定三角函数的解析式

结合图象及性质求解析式y=Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)的方法

（1）求A，B，已知函数的最大值M和最小值m，则.

（2）求ω，已知函数的周期T，则.

（3）求φ，常用方法有：

①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时，A，ω，B已知)．

②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点作为突破口，具体如下：

“第一点”(即图象上升时与x轴的交点中距原点最近的交点)为ωx＋φ=0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ=；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ=π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ=；“第五点”为ωx＋φ=2π.

典例2已知函数的部分图象如图.

（1）求函数的解析式.

（2）求函数在区间上的最值，并求出相应的值.

【解析】（1）由图象可知，又，故.

周期，

又，∴.

∴

∵.

则函数的解析式为.

（2）∵，

∴.

当时，，；

当时，，.

所以，.

2．函数的部分图象如图所示，则将的图象向右平移个单位后，得到的图象对应的函数解析式为________.

考向三 三角函数的性质

1．三角函数定义域的求法

求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解.

2．求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目及求解方法

（1）形如y=asinx＋bcosx＋k的三角函数化为y=Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求最值(值域)；

（2）形如y=asin²x＋bsinx＋k的三角函数，可先设sinx=t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；

（3）形如y=asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c的三角函数，可先设t=sinx±cosx，化为关于t的二次函数求值域(最值)．

3．三角函数单调性问题的常见类型及解题策略

（1）已知三角函数解析式求单调区间．①求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；②求形如y=Asin（ωx＋φ）或y=Acos（ωx＋φ）（其中，ω>0）的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．

（2）已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．

（3）利用三角函数的单调性求值域（或最值）．形如y=Asin（ωx＋φ）＋b或可化为y=Asin（ωx＋φ）＋b的三角函数的值域（或最值）问题常利用三角函数的单调性解决.

4．三角函数的奇偶性、周期性、对称性的处理方法

（1）求三角函数的最小正周期，一般先通过恒等变形化为y=Asin(ωx＋φ)，y=Acos(ωx＋φ)，y=Atan(ωx＋φ)的形式，再分别应用公式T=，T=，T=求解．

（2）对于函数y=Asin（ωx＋φ），其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此在判断直线x=x₀或点（x₀，0）是否为函数的对称轴或对称中心时，可通过检验

f（x₀）的值进行判断．

（3）若f（x）=Asin（ωx＋φ）为偶函数，则φ=kπ＋（kZ），同时当x=0时，f（x）取得最大或最小值．若f（x）=Asin（ωx＋φ）为奇函数，则φ=kπ（k∈Z），同时当x=0时，f（x）=0.

典例3 已知函数.

（1）求的最小正周期；

（2）若在区间上的最大值与最小值的和为2，求的值.

【解析】（1） ，

则.

（2）因为，所以.

当，即时，单调递增；

当，即时，单调递减，

所以.

又因为，所以，

故，因此.

3．已知函数，，在曲线与直线的交点中，若相邻交点距离的最小值为，则的最小正周期为

A． B．

C． D．

典例4 已知函数.

（1）求函数图象的对称轴方程；

（2）将函数的图象向右平移个单位，所得图象对应的函数为.当时，求函数的值域.

【解析】（1）.

令，解得.

故函数图象的对称轴方程为.

（2）易知.

∵，∴，

∴，

∴，

即当时，函数的值域为.

4．已知函数的部分图象如图所示：

（1）求的解析式及对称中心坐标；

（2）将的图象向右平移个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，最后将图象向上平移1个单位，得到函数的图象，求函数在上的单调区间及最值．

考向四 函数的性质与其他知识的综合应用

与三角恒等变换、平面向量、解三角形相结合的问题

常先通过三角恒等变换、平面向量的有关知识化简函数解析式为y=Asin(ωx＋φ)＋B的形式，再结合正弦函数y=sinx的性质研究其相关性质，若涉及解三角形，则结合解三角形的相关知识求解．

典例5 已知向量，函数（）的最小正周期是.

（1）求的值及函数的单调递减区间；

（2）当时,求函数的值域.

【解析】（1） ，又的最小正周期为，∴.

∴.

令，得，

∴函数的单调递减区间为.

（2）∵，∴，∴,

故的值域为.

典例6 已知函数.

（1）求函数的单调递增区间；

（2）在中，内角，，所对的边分别为，，，且角满足，若，边上的中线长为，求的面积.

【解析】（1）

.

令，，得，，

所以函数的单调递增区间为，.

（2），，

因为，所以，，

所以，则，

又上的中线长为，所以，

所以，即，

所以，①

由余弦定理得，所以，②

由①②得：，

所以.

5．已知函数.

（1）求的最小正周期；

（2）设的内角，，的对边分别为，，，且，，若，求，的值.

1．函数的最小正周期为

A． B．

C． D．

2．函数f(x)=cos2x＋2sinx的最大值与最小值的和是

A．−2　　　 B．0

C．　　　 D．

3．函数的单调减区间为

A． B．

C． D．

4．设函数，，其中，．若，，且的最小正周期大于，则

A．， B．，

C．， D．，

5．设函数，则下列结论中错误的是

A．的一个周期为

B．的最大值为2

C．在区间上单调递减

D．的一个零点为

6．函数的图象过点（如图所示），若将的图象上所有点向右平移个单位长度，得到函数的图象，则图象的一条对称轴的方程为

A． B．

C． D．

7．已知函数的最小正周期为，且，则

A． B．

C． D．

8．已知，是奇函数，直线与函数的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为，则

A．在上单调递减 B．在上单调递减

C．在上单调递增 D．在上单调递增

9．已知实数，函数的定义域为，若该函数的最大值为1，则的值为__________．

10．已知函数，，直线与、的图象分别交于、 两点，则的最大值是________．

11．将函数的图象向左平移个单位长度，得到偶函数的图象，则的最大值是__________．

12．已知函数，若，则__________．

13．设函数.

（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；

（2）当时，求函数的最大值.

14．已知，设．

（1）求的解析式并求出它的最小正周期；

（2）在中，角所对的边分别为，且，求的面积．

15．已知函数f（x）=Asin（ωx+）（A＞0，ω＞0，||＜）的部分图象如图所示．

（1）求f（x）的解析式；

（2）若对于任意的x∈[0，m]，f（x）≥1恒成立，求m的最大值．

1．（2019年高考全国Ⅰ卷理数）函数f(x)=在的图像大致为

A． B．

C． D．

2．（2019年高考全国Ⅰ卷理数）关于函数有下述四个结论：

①f(x)是偶函数 ②f(x)在区间（，）单调递增

③f(x)在有4个零点 ④f(x)的最大值为2

其中所有正确结论的编号是

A．①②④ B．②④

C．①④ D．①③

3．（2019年高考全国Ⅱ卷理数）下列函数中，以为周期且在区间(，)单调递增的是

A．f(x)=|cos2x| B．f(x)=|sin2x|

C．f(x)=cos|x| D．f(x)=sin|x|

4．（2019年高考全国Ⅲ卷理数）设函数=sin（）(＞0)，已知在有且仅有5个零点，下述四个结论：

①在（）有且仅有3个极大值点

②在（）有且仅有2个极小值点

③在（）单调递增

④的取值范围是[)

其中所有正确结论的编号是

A．①④ B．②③

C．①②③ D．①③④

5．（2019年高考天津卷理数）已知函数是奇函数，将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为．若的最小正周期为，且，则

A． B．

C． D．

6．（2018年高考全国卷II理数）若在是减函数，则的最大值是

A． B．

C． D．

7．（2017年高考全国Ⅰ理数）已知曲线C₁：y=cos x，C₂：y=sin (2x+)，则下面结论正确的是

A．把C₁上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C₂

B．把C₁上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C₂

C．把C₁上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C₂

D．把C₁上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C₂

8．（2017年高考全国Ⅲ理数）设函数，则下列结论错误的是

A．的一个周期为

B．的图象关于直线对称

C．的一个零点为

D．在(，)单调递减

9．（2019年高考北京卷理数）函数f（x）=sin²2x的最小正周期是__________．

10．（2018年高考全国Ⅰ理数）已知函数，则的最小值是_____________．

11．（2018年高考全国Ⅲ理数）函数在的零点个数为________．

12．（2017年高考全国Ⅱ理数）函数()的最大值是 .

13．（2019年高考浙江卷）设函数.

（1）已知函数是偶函数，求的值；

（2）求函数的值域．

14．（2017年高考江苏卷）已知向量

（1）若a∥b，求的值；

（2）记，求的最大值和最小值以及对应的的值．

变式拓展

1．【答案】D

【解析】∵函数，

要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有点向右平移个单位长度.

故选D.

【名师点睛】本题考查函数的图象变化规律，关键在于能利用诱导公式将异名函数化为同名函数，再根据左右平移规律得出结论.求解时，先将函数转化为，再结合两函数解析式进行对比，得出结论.

2．【答案】

【解析】由图可得，，

又，，

又，，

可得的解析式为，

将的图象向右平移个单位后的解析式为.

故答案为.

【名师点睛】本题考查由的部分图象确定函数解析式，考查函数的图象变化，考查识图与运算能力，属于中档题.求解时，由图可得，可得的值，由，可得的值，从而可得的解析式，利用的图象变换可得答案.

3．【答案】A

【解析】函数f（x）sinωx+cosωx＝2（sinωxcosωx）＝2sin（ωx），

令2sin（ωx）＝1，化为sin（ωx），

解得ωx2kπ或ωx2kπ，k∈Z．

∵在曲线y＝f（x）与直线y＝1的交点中，相邻交点距离的最小值是，

∴2kπ＝ω（），令k＝0，

∴，解得ω＝2．

∴Tπ．

故选A．

【名师点睛】本题考查了和差公式、三角函数的图象与性质、三角函数的方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

4．【解析】（1）由图象可知：，可得：，

又由于，可得：，

所以，

由图象知，则，

又因为，

所以，即，

所以，

令()，得：()，

所以的对称中心的坐标为().

（2）由已知的图象变换过程可得：，

由的图象知函数在上的单调增区间为，单调减区间，

当时，取得最大值2；当时，取得最小值．

【名师点睛】本小题主要考查根据三角函数图象求三角函数解析式，考查三角函数对称中心的求法，考查三角函数图象变换，考查三角函数的单调性和最值的求法，属于中档题.

（1）先根据图象得到函数的最大值和最小值，由此列方程组求得的值，根据周期求得的值，根据图象上求得的值，由此求得的解析式，进而求得的对称中心.

（2）求得图象变换之后的解析式，通过求出的单调区间求得在区间上的最大值和最小值.

5．【解析】（1）

.

所以函数的最小正周期为.

（2）由，得，

因为，

所以，

所以，即，

又，

所以由正弦定理得. ①

由余弦定理，得，即. ②

由①②解得，.

【名师点睛】此题属于解三角形的题型，涉及的知识有:正弦、余弦定理，正弦函数的定义域与值域，二倍角的余弦函数公式，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键.

（1）将原解析式化为一个角的正弦函数，代入周期公式即可求出的最小正周期;

（2）由可得C的范围，从而可得C的值，由，由正弦定理得，由余弦定理可得，联立可得a、b的值.

考点冲关

1．【答案】A

【解析】由，可得：

，

，所以本题选A.

【名师点睛】本题考查了余弦的二倍角公式、辅助角公式、周期公式.求解时，把，化成或者形式，然后根据公式，可以直接求解.

2．【答案】C

【解析】f(x)=1−2sin²x＋2sinx=，所以当时，，当sinx=−1时，f(x)_min=−3，故选C.

3．【答案】B

【解析】由对数函数的定义域和复合函数的单调性可知，

，所以有，，

即，故选B.

4．【答案】A

【解析】由题意得，其中，所以，

又，所以，所以，

，由得，故选A．

5．【答案】D

【解析】，的最小正周期为A正确；

的最大值为2，B正确，

，在上单调递减，C正确；

时，，∴不是的零点，D不正确.

故选D.

【名师点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查两角和的正弦公式以及三角函数的单调性、三角函数的周期性、三角函数的最值与零点，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于中档题.求解时，先利用两角和的正弦公式化简函数，再由周期公式判断；由三角函数的有界性判断；利用正弦函数的单调性判断；将代入判断.

6．【答案】D

【解析】的图象过点，，，

或，

又，

向右平移个单位长度，得，

即，

令，，，

时，为的一条对称轴方程，故选D.

【名师点睛】本题考查了三角函数的图象与性质，重点考查学生对三角函数图象变换规律的理解与掌握，能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题，反映学生对所学知识理解的深度.求解时，利用图象求得函数的解析式，根据平移法则求得，由可得结果.

7．【答案】B

【解析】函数

，其中，

所以的最小正周期为，解得，

所以，

又，即，即，

所以，故选B．

8．【答案】A

【解析】化简函数的解析式可得：，

函数为奇函数，则当时，.

令可得.

结合最小正周期公式可得：，解得：.

故函数的解析式为：.

当时，，函数在所给区间内单调递减；

当时，，函数在所给区间内不具有单调性.

据此可知，只有选项A的说法正确.

故选A.

【名师点睛】本题主要考查三角函数的性质，三角函数解析式的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.求解时，首先整理函数的解析式为，由函数为奇函数可得，由最小正周期公式可得，结合三角函数的性质考查函数在给定区间的单调性即可.

9．【答案】

【解析】因为，，

由，得，则，，

所以函数的最大值为，即，

故答案为：.

【名师点睛】本题考查了辅助角公式，正弦型三角函数的最值，属于基础题.求解时，先用辅助角公式，再结合函数定义域求出函数的最大值列出方程求解即可.

10．【答案】

【解析】 ，的最大值是.

【名师点睛】三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．

11．【答案】

【解析】函数的图象向左平移个单位长度，得到，即的图象，

又为偶函数，所以，即，

又因为，所以的最大值为.

12．【答案】

【解析】因为周期，所以.

因为，，

所以为相邻的对称中心，所以，

所以，所以.

因为，所以，

所以.

因为，所以，所以，

所以.

13．【解析】（1）.

则函数的最小正周期为.

令，

，

函数的单调递增区间为.

（2），

，

，

故的最大值是3.

14．【解析】（1）由，

则＝，

即函数的周期，

故的最小正周期为．

（2）因为，

所以，

所以，

又，

所以，

所以，

又，

由余弦定理得：，

所以，

所以，

所以.

【名师点睛】本题主要考查三角函数的性质和利用余弦定理求解三角形，侧重考查数学运算的核心素养.

（1）先根据向量的运算规则求解，然后化简可求；

（2）先求角，结合余弦定理求出，可得面积.

15．【解析】（1）由图象可知，A＝2．

因为，

所以T＝π．

所以，解得ω＝2．

又因为函数f（x）的图象经过点，

所以，解得．

又因为，

所以．

所以．

（2）因为 x∈[0，m]，

所以，

当时，即时，f（x）单调递增，

所以f（x）≥f（0）＝1，符合题意；

当时，即时，f（x）单调递减，

所以，符合题意；

当时，即时，f（x）单调递减，

所以，不符合题意.

综上，若对于任意的x∈[0，m]，有f（x）≥1恒成立，则必有，

所以m的最大值是．

【名师点睛】本题主要考查了由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，三角函数周期公式，正弦函数的图象和性质的综合应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于中档题．确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的步骤和方法：

(1)求A，b，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，b＝；

(2)求ω，确定函数的最小正周期T，则可得ω＝；

(3)求φ，常用的方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②特殊点法：确定φ值时，往往以寻找“最值点”为突破口．具体如下：“最大值点”(即图象的“峰点”)时ωx＋φ＝；“最小值点”(即图象的“谷点”)时ωx＋φ＝.

直通高考

1．【答案】D

【解析】由，得是奇函数，其图象关于原点对称，排除A．又，排除B，C.

故选D．

【名师点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养，采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题．解答本题时，先判断函数的奇偶性，得是奇函数，排除A，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案．

2．【答案】C

【解析】为偶函数，故①正确．

当时，，它在区间单调递减，故②错误．

当时，，它有两个零点：；当时，

，它有一个零点：，故在有个零点：，故③错误．

当时，；当时，，又为偶函数，的最大值为，故④正确．

综上所述，①④正确，故选C．

【名师点睛】本题也可画出函数的图象（如下图），由图象可得①④正确．

3．【答案】A

【解析】作出因为的图象如下图1，知其不是周期函数，排除D；

因为，周期为，排除C；

作出图象如图2，由图象知，其周期为，在区间(，)单调递增，A正确；

作出的图象如图3，由图象知，其周期为，在区间(，)单调递减，排除B，

故选A．

图1

图2

图3

【名师点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，渗透直观想象、逻辑推理等数学素养，画出各函数图象，即可作出选择．本题也可利用二级结论：①函数的周期是函数周期的一半；②不是周期函数.

4．【答案】D

【解析】①若在上有5个零点，可画出大致图象，

由图1可知，在有且仅有3个极大值点.故①正确；

②由图1、2可知，在有且仅有2个或3个极小值点.故②错误；

④当=sin（）=0时，=kπ（k∈Z），所以，

因为在上有5个零点，

所以当k=5时，，当k=6时，，解得，

故④正确.

③函数=sin（）的增区间为：，.

取k=0，

当时，单调递增区间为，

当时，单调递增区间为，

综上可得，在单调递增.故③正确.

所以结论正确的有①③④.故本题正确答案为D.

【名师点睛】本题为三角函数与零点结合问题，难度大，可数形结合，分析得出答案，要求高，理解深度高，考查数形结合思想．注意本题中极小值点个数是动态的，易错，正确性考查需认真计算，易出错．

5．【答案】C

【解析】∵为奇函数，∴；

又∴，

又，∴，

∴，故选C.

【名师点睛】本题主要考查函数的性质和函数的求值问题，解题关键是求出函数，再根据函数性质逐步得出的值即可.

6．【答案】A

【解析】因为，

所以由得，

因此，从而的最大值为，

故选A.

【名师点睛】解答本题时，先确定三角函数单调减区间，再根据集合包含关系确定的最大值.函数的性质：

(1).

(2)周期

(3)由 求对称轴.

(4)由求增区间；由求减区间.

7．【答案】D

【解析】因为函数名不同，所以先将利用诱导公式转化成与相同的函数名，则，则由上各点的横坐标缩短到原来的倍变为，再将曲线向左平移个单位长度得到，故选D.

【名师点睛】对于三角函数图象变换问题，首先要将不同名函数转换成同名函数，利用诱导公式，需要重点记住；另外，在进行图象变换时，提倡先平移后伸缩，而先伸缩后平移在考试中也经常出现，无论哪种变换，记住每一个变换总是对变量而言.

8．【答案】D

【解析】函数的最小正周期为，则函数的周期为，取，可得函数的一个周期为，选项A正确；

函数图象的对称轴为，即，取，可得y=f(x)的图象关于直线对称，选项B正确；

，函数的零点满足，即，取，可得的一个零点为，选项C正确；

当时，，函数在该区间内不单调，选项D错误.

故选D.

【名师点睛】（1）求最小正周期时可先把所给三角函数式化为或的形式，则最小正周期为；奇偶性的判断关键是解析式是否为或的形式.

（2）求的对称轴，只需令，求x；求f(x)的对称中心的横坐标，只需令即可.

9．【答案】

【解析】函数，周期为.

【名师点睛】本题主要考查二倍角的三角函数公式､三角函数的最小正周期公式，属于基础题.将所给的函数利用降幂公式进行恒等变形，然后求解其最小正周期即可.

10．【答案】

【解析】，

所以当时函数单调递减，当时函数单调递增，从而得到函数的递减区间为，函数的递增区间为，

所以当时，函数取得最小值，此时，

所以，故答案是.

【名师点睛】该题考查的是有关应用导数研究函数的最小值问题，在求解的过程中，需要明确相关的函数的求导公式，需要明白导数的符号与函数的单调性的关系，确定出函数的单调增区间和单调减区间，进而求得函数的最小值点，从而求得相应的三角函数值，代入求得函数的最小值.

11．【答案】

【解析】，，由题可知，或，解得，或，故有3个零点.

【名师点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，考查数形结合思想和考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算.

12．【答案】1

【解析】化简三角函数的解析式：

，

由自变量的范围：可得：，

当时，函数取得最大值1.

【名师点睛】本题经三角函数式的化简将三角函数的问题转化为二次函数的问题，二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法.一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析.

13．【答案】（1）或；（2）．

【解析】（1）因为是偶函数，所以，对任意实数x都有，

即，

故，

所以．

又，

因此或．

（2）

．

因此，函数的值域是．

【名师点睛】本题主要考查三角函数及其恒等变换等基础知识，同时考查运算求解能力.

14．【答案】（1）；（2）时，取到最大值3；时，取到最小值．

【解析】（1）因为，，a∥b，

所以．

若，则，与矛盾，故．

于是．

又，所以．

（2）．

因为，所以，

从而．

于是，当，即时，取到最大值3；

当，即时，取到最小值．

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