考点12 导数的应用
1．导数在研究函数中的应用
（1）了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）.
（2）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）.
2．生活中的优化问题
会利用导数解决某些实际问题.
一、导数与函数的单调性
一般地，在某个区间(a，b)内：
（1）如果，函数f (x)在这个区间内单调递增;
（2）如果，函数f (x)在这个区间内单调递减;
（3）如果，函数f (x)在这个区间内是常数函数．
注意：（1）利用导数研究函数的单调性，要在函数的定义域内讨论导数的符号；
（2）在某个区间内，()是函数f (x)在此区间内单调递增(减)的充分条件，而不是必要条件.例如，函数在定义域上是增函数，但.
（3）函数f (x)在(a，b)内单调递增(减)的充要条件是()在(a，b)内恒成立，且在(a，b)的任意子区间内都不恒等于0.这就是说，在区间内的个别点处有，不影响函数f (x)在区间内的单调性.
二、利用导数研究函数的极值和最值
1．函数的极值
一般地，对于函数y=f (x)，
（1）若在点x=a处有f ′(a)=0，且在点x=a附近的左侧，右侧，则称x=a为f (x)的极小值点，叫做函数f (x)的极小值.
（2）若在点x=b处有=0，且在点x=b附近的左侧，右侧，则称x=b为f (x)的极大值点，叫做函数f (x)的极大值．
（3）极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值通称极值.
2．函数的最值
函数的最值，即函数图象上最高点的纵坐标是最大值，图象上最低点的纵坐标是最小值，对于最值，我们有如下结论：一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值.
设函数在上连续，在内可导，求在上的最大值与最小值的步骤为：
（1）求在内的极值；
（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
3．函数的最值与极值的关系
（1）极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言；
（2）在函数的定义区间内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）；
（3）函数f (x)的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点；
（4）对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得.
三、生活中的优化问题
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题.导数是求函数最值问题的有力工具.
解决优化问题的基本思路是：
考向一 利用导数研究函数的单调性
1．利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性，实质上就是判断或证明不等式（）在给定区间上恒成立．一般步骤为：
（1）求f ′(x)；
（2）确认f ′(x)在(a，b)内的符号；
（3）作出结论，时为增函数，时为减函数．
注意：研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．
2．在利用导数求函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解题过程中，只能在定义域内讨论，定义域为实数集可以省略不写.在对函数划分单调区间时，除必须确定使导数等于零的点外，还要注意在定义域内的不连续点和不可导点.
3．由函数的单调性求参数的取值范围的方法
（1）可导函数在某一区间上单调，实际上就是在该区间上(或)(在该区间的任意子区间内都不恒等于0)恒成立，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值范围；
（2）可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上就是(或)在该区间上存在解集，这样就把函数的单调性问题转化成了不等式问题；
（3）若已知在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围.
4．利用导数解决函数的零点问题时，一般先由零点的存在性定理说明在所求区间内至少有一个零点，再利用导数判断在所给区间内的单调性，由此求解.
典例1 若，则
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】①令，则，∴在上单调递增，
∴当时，，即，故A正确，B错误.
②令，则，令，则，
当时，；当时，，∴在上单调递增，
在上单调递减，易知C，D不正确.
故选A．
【名师点睛】本题考查利用导数研究函数单调性，考查基本分析判断能力，属中档题.根据条件构造函数，再利用导数研究单调性，进而判断大小.
典例2 已知函数.
（1）当时，求函数的单调递增区间；
（2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围.
【解析】由题意得：的定义域为，
（1）当时，，则，
当时，；当时，，
的单调递增区间为：.
（2）.
①当时，在上恒成立，
在上单调递增，可知满足题意；
②当时，，
当时，；当时，，
在上单调递减；在上单调递增，不满足题意.
综上所述：.
【名师点睛】本题考查利用导数求解函数的单调区间、根据函数在区间内的单调性求解参数取值范围的问题，关键是能够明确导数和函数单调性之间的关系，根据导函数的符号来确定函数的单调性.
1．已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）设，证明：对任意，.
考向二 利用导数研究函数的极值和最值
1．函数极值问题的常见类型及解题策略
（1）函数极值的判断：先确定导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号．
（2）求函数极值的方法：
①确定函数的定义域．
②求导函数．
③求方程的根．
④检查在方程的根的左、右两侧的符号，确定极值点．如果左正右负，那么在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么在这个根处取得极小值；如果在这个根的左、右两侧符号不变，则在这个根处没有极值．
（3）利用极值求参数的取值范围：确定函数的定义域，求导数，求方程的根的情况，得关于参数的方程(或不等式)，进而确定参数的取值或范围.
2．求函数f (x)在[a，b]上最值的方法
（1）若函数f (x)在[a，b]上单调递增或递减，f (a)与f (b)一个为最大值，一个为最小值．
（2）若函数f (x)在区间(a，b)内有极值，先求出函数f (x)在区间(a，b)上的极值，与f (a)、f (b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
（3）函数f (x)在区间(a，b)上有唯一一个极值点时，这个极值点就是最大(或最小)值点．
注意：（1）若函数中含有参数时，要注意分类讨论思想的应用.
（2）极值是函数的“局部概念”，最值是函数的“整体概念”，函数的极值不一定是最值，函数的最值也不一定是极值.要注意利用函数的单调性及函数图象直观研究确定.
3．利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法：
（1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，恒成立，只需即可；恒成立，只需即可.
（2）函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解.
典例3 若函数有极大值和极小值，则的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】，则.
因为有极大值和极小值，所以有两个不等的实数根.
所以，即，解得或.
所以所求的取值范围是.
故选D.
【名师点睛】本题考查函数的极值与导数.三次多项式函数有极大值和极小值的充要条件是其导函数(二次函数)有两个不等的实数根.求解时，三次函数有极大值和极小值，则有两个不等的实数根，答案易求.
典例4 已知函数．
（1）当时，试判断函数的单调性；
（2）若，求证：函数在上的最小值小于．
【解析】（1）由题可得，
设，则，
所以当时，在上单调递增，
当时，在上单调递减，
所以，
因为，
所以，即，
所以函数在上单调递增．
（2）由（1）知在上单调递增，
因为，
所以，
所以存在，使得，即，即，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，
令，，则恒成立，
所以函数在上单调递减，
所以，
所以，即当时，
故函数在上的最小值小于．
2．已知函数，其中为实常数.
（1）若是的极大值点，求的极小值；
考向三 （导）函数图象与单调性、极值、最值的关系
1．导数与函数变化快慢的关系：如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时函数的图象就比较“陡峭”（向上或向下）；反之，函数的图象就“平缓”一些.
2．导函数为正的区间是函数的增区间，导函数为负的区间是函数的减区间，导函数图象与x轴的交点的横坐标为函数的极值点.
典例 5 设函数（，，），若函数在处取得极值，则下列图象不可能为的图象是
【答案】D
【解析】，因为函数在处取得极值，所以是的一个根，整理可得，所以，对称轴为.
对于A，由图可得，适合题意；
对于B，由图可得，适合题意；
对于C，由图可得，适合题意；
对于D，由图可得，不适合题意，
故选D.
3．设函数在上可导，其导函数为，若函数在处取得极大值，则函数的图象可能是
A． 
B． 
C． 
D． 
考向四 生活中的优化问题
1．实际生活中利润最大，容积、面积最大，流量、速度最大等问题都需要利用导数来求解相应函数的最大值.若在定义域内只有一个极值点，且在极值点附近左增右减，则此时唯一的极大值就是最大值.
2．实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等问题都需要利用导数求解相应函数的最小值.用料最省、费用最低问题出现的形式多与几何体有关，解题时根据题意明确哪一项指标最省(往往要从几何体的面积、体积入手)，将这一指标表示为自变量x的函数，利用导数或其他方法求出最值，但一定要注意自变量的取值范围．
典例6 如图，点为某沿海城市的高速公路出入口，直线为海岸线，，，是以为圆心，半径为的圆弧型小路.该市拟修建一条从通往海岸的观光专线，其中为上异于的一点，与平行，设.
（1）证明：观光专线的总长度随的增大而减小；
（2）已知新建道路的单位成本是翻新道路的单位成本的2倍.当取何值时，观光专线的修建总成本最低？请说明理由.
【解析】（1）由题意，，所以，
又，
所以观光专线的总长度为 ，，
因为当时，，
所以在上单调递减，
即观光专线的总长度随的增大而减小.
（2）设翻新道路的单位成本为，
则总成本 ，，
，
令，得，
因为，所以，
当时，；当时，.
所以，当时，最小.
答：当时，观光专线的修建总成本最低.
4．在四面体ABCD中，若，则四面体ABCD体积的最大值是
A． B．
C． D．
1．已知函数，则的单调递减区间为
A． B．
C．和 D．和
2．设函数，则
A．为的极大值点 B．为的极小值点
C．为的极大值点 D．为的极小值点
3．已知函数与其导函数的图象如图，则满足的x的取值范围为
A． B．
C． D．
4．设定义在上的函数的导函数满足，则
A． B．
C． D．
5．若函数在上有最小值，则的取值范围为
A． B．
C． D．
6．已知函数，对任意，，都有，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
7．已知函数，函数有两个零点，则实数的取值范围为
A． B．
C． D．
8．已知函数，若方程恰有两个不同的实数根，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
9．已知函数．若函数在定义域内不是单调函数，则实数的取值范围是__________．
10．已知定义在上的函数的导函数为，满足，且为偶函数，，则不等式的解集为______.
11．底面为正多边形，顶点在底面的射影为底面多边形中心的棱锥为正棱锥，则半径为2的球的内接正四棱锥体积的最大值为__________．
12．已知函数在点处的切线方程为.
（1）求的值；
（2）设，求函数在上的最大值．
13．设函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，且在区间上恒成立，求的取值范围.
14．设.
（1）在上单调，求的取值范围；
（2）已知在处取得极小值，求的取值范围.
15．已知函数.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）证明：当时，.
1．（2017年高考全国Ⅱ卷理数）若是函数的极值点，则的极小值为
A． B．
C． D．1
2．（2018年高考全国Ⅱ卷理数）函数的图像大致为
3．（2018年高考全国Ⅲ卷理数）函数的图像大致为
4．（2019年高考天津理数）已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为
A． B．
C． D．
5．（2019年高考浙江）已知，函数．若函数恰有3个零点，则
A．a<–1，b<0 B．a<–1，b>0
C．a>–1，b<0 D．a>–1，b>0
6．（2017年高考全国Ⅲ卷理数）已知函数有唯一零点，则a=
A． B．
C． D．1
7．（2018年高考全国Ⅰ卷理数）已知函数，则的最小值是_____________．
8．（2019年高考北京理数）设函数（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a=________；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是___________．
9．（2018年高考江苏）若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为________．
10．（2019年高考全国Ⅰ卷理数）已知函数，为的导数．证明：
（1）在区间存在唯一极大值点；
（2）有且仅有2个零点．
11．（2019年高考全国Ⅱ卷理数）已知函数.
（1）讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点；
（2）设x0是f(x)的一个零点，证明曲线y=lnx在点A(x0，lnx0)处的切线也是曲线的切线.
12．（2019年高考全国Ⅲ卷理数）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）是否存在，使得在区间的最小值为且最大值为1？若存在，求出的所有值；若不存在，说明理由.
13．（2018年高考全国Ⅰ卷理数）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若存在两个极值点，证明：．
变式拓展
1．【解析】（1）的定义域为，.
当时，，故在上单调递增；
当时，，故在上单调递减；
当时，令，解得.
由于在上单调递减，则当时，，故在上单调递增；当时，，故在上单调递减.
（2）不妨假设．
由于，故在上单调递减.
∴等价于，即.
令，则.
于是.
从而在上单调递减，
故 
，即，
故对任意.
【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值、最值问题的重要而有效的工具.本题就是以含参数 
的函数解析式为背景，考查的是导数知识在研究函数单调性和极值等方面的综合运用和分析问题、解决问题的能力.本题的第一问求解时借助导数与函数单调性的关系，运用分类整合的数学思想分别求出其单调区间和单调性；第二问的求解中则先构造函数，然后再对函数求导，运用导数的知识研究函数的单调性，然后运用函数的单调性，从而使得问题简捷巧妙得证.
2．【解析】（1），.
由，得，所以，
此时.
则，
所以在上为减函数，在上为增函数.
所以为极小值点，极小值为.
（2）不等式即为，
所以.
①若，则，.
当，时取等号；
②若，则，.
由（1）可知在上为减函数.
所以当时，.
因为，所以.
于是.
3．【答案】B
【解析】由函数在上可导，其导函数为，若函数在处取得极大值，
所以当时，；时，；时，；
所以当时，，当时，，
当或时，，当时，，
可得选项B符合题意，故选B．
【名师点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的极值的应用，其中解答中认真审题，导数的性质和函数的极值之间的关系合理运用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
4．【答案】A
【解析】如图，取AB中点E，连接CE，DE，设，则，
当平面平面ABD时，四面体体积最大，
四面体的体积，则，
当时，，V为增函数，当时，，V为减函数，
则当时，V有最大值．
故选A．
【名师点睛】本题考查四面体的体积的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．求解时，由题意画出图形，取AB中点E，连接CE，DE，设，则，可知当平面平面ABD时，四面体体积最大，写出体积公式，利用导数求得体积最值．
考点冲关
1．【答案】C
【解析】由题得，解不等式得x＜e.
∵x＞0，x≠1，∴0＜x＜1和1＜x＜e.∴函数的单调递减区间为和.
故选C.
2．【答案】D
【解析】因为，所以，
由得，
所以，当时，，故单调递增；
当时，，故单调递减，
所以函数在处取得极小值，无极大值.
故选D.
【名师点睛】本题主要考查导数的极值点，通常需要对函数求导，用导数的方法研究函数的单调性，进而可得极值点，属于常考题型.求解时，先对函数求导，用导数方法研究其单调性，进而可得出其极值与极值点.
3．【答案】D
【解析】观察图象可得，导函数的图象过点（0，0），（，0），
原函数的图象过点（0，0），（2，0），
观察图象可得满足的x取值范围为，
故选D.
【名师点睛】本题主要考查导数与函数的图象的判定与应用，考查的核心素养是数学抽象、逻辑推理、数学运算.求解时，观察图象可得的图象与原函数的图象，结合图象可得满足的x的取值范围.
4．【答案】A
【解析】由定义在上的函数的导函数满足，则，即，
设，则，所以函数在上为单调递增函数，
则，即，所以，故选A．
5．【答案】A
【解析】∵函数，∴，
当时，，即函数在上为减函数；
当时，，即函数在上为增函数.
∴.
∵函数在上有最小值，∴.故选A．
6．【答案】D
【解析】由题意可知函数f（x）是（﹣∞，0）上的单调递减函数，且当x＜0时，，
由，可得：2axex+1≥0，即 恒成立，
令g（x）＝xex（x＜0），则g’（x）＝ex（x+1），据此可得函数g（x）在区间（﹣∞，﹣1）上单调递减，
在区间（﹣1，0）上单调递增，函数g（x）的最小值为，则 ，
可得：实数的取值范围是．
故选D．
【名师点睛】本题主要考查利用导函数研究函数的单调性，导函数研究函数的最值，恒成立问题的处理方法等知识，属于中档题．求解时，由题意将原问题转化为函数单调性的问题，利用导函数的符号结合题意确定实数的取值范围即可．
7．【答案】C
【解析】当时，设，则，
易知当时，，即是减函数，∴时，，
又时，且，而时，是增函数，．
有两个零点，即的图象与直线有两个交点，所以.
故选C．
8．【答案】A
【解析】∵，则=，令，则，
∴当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
∴当x=时，取得最大值，最大值为，
∴f（x）的大致图象如图：
要使方程恰有两个不同的实数根，即直线y=a与函数y=的图象有两个不同的交点，
∴.
故选A.
【名师点睛】本题考查了利用导数研究方程的根的问题，考查了函数的图象与性质的应用问题，解题时应结合图象，考查了函数与方程的转化，属于中档题．解答本题时，由方程恰有两个不同实数根，等价于y＝f（x）与y＝a有2个交点，数形结合求出a的取值范围即可．
9．【答案】
【解析】由于函数不单调，则函数在定义域内有极值点，，，令函数，，所以函数g(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减，时，，，所以 .
10．【答案】
【解析】∵为偶函数，∴的图象关于对称，
∴的图象关于对称，∴.
又，∴.
设，则.
又∵，∴，∴，∴在上单调递减.
∵，∴，即.
又∵，∴，∴.
【名师点睛】本小题主要考查函数图象的对称性，考查函数图象变换，考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数解不等式，综合性较强，属于中档题.求解本题时，根据为偶函数可得的图象关于对称，由此求得，构造函数，利用导数研究的单调性，将原不等式转化为，由此求得的取值范围.
11．【答案】
【解析】因为正四棱锥内接于球内，且欲使正四棱锥的体积最大，
故球的球心在正四棱锥的高上，如图所示，其中球的球心为点，
设，则，
在中，有，故，
正四棱锥的高为，
正四棱锥的体积为，
令，，
故，即，
对求导得，，
令，即，解得，或（舍），
当，，单调递增，
当，，单调递减，
故当时，.
【名师点睛】本题考查了四棱锥与外接球的位置关系问题，解题的关键是找准外接球的球心，建立出四棱锥的体积函数，通过导数进行求解体积的最值.设出底面正方形的边长，根据内接关系，得出正四棱锥的高，进而得出正四棱锥的体积的函数式，求导得出最值.
12．【解析】（1）由题意，函数，则，
，
而，代入切线方程：，
解得.
（2）由（1）得，知，
令，解得；令，解得，
∴在上单调递增，在上单调递减，
∴，
根据图象的变换可得，当时，函数，
再设，，
则，，
令，解得；令，解得，
∴在上单调递增，在上单调递减，
∴，
∵的定义域为，
∴在上的最大值为.
【名师点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：
(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；
(2)利用导数求函数的单调区间，以及函数单调性，求解参数；
(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用．
13．【解析】（1）函数的定义域为，，
当时，，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减；
当时，，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减；
当时，， 函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增；
当时，，函数在上单调递增；
当时，，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增.
（2）若，且在区间上恒成立，等价于在区间上.由（1）中的讨论，知
当时，，函数在区间上单调递减，，
即，从而得；
当时，，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，，
即只需，即，
由于，从而得.
综上，的取值范围为.
14．【解析】（1），则，，，
①在上单调递增，∴对恒成立，即对恒成立，得；
②在上单调递减，∴对恒成立，即对恒成立，得，
由①②可得的取值范围为.
（2）由（1）知，
①，在上单调递增，∴时，，单调递减，时，，单调递增，∴在处取得极小值，符合题意；
②时，，又在上单调递增，∴时，，∴时，，∴在上单调递减，在上单调递增，则在处取得极小值，符合题意；
③时，，在上单调递增，∴在上单调递减，又，
∴时，，单调递减，不合题意；
④时，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，∴在处取得极大值，不符合题意.
综上所述，可得.
15．【解析】（1）当时，，
所以，
讨论：①当时，，有；
②当时，由函数为增函数，得，有；
③当时，由函数为增函数，得，有.
综上，函数的增区间为，，减区间为.
（2）当时，有，所以，
所以.
令，则.
令，有.
令，得.
分析知，函数的增区间为，减区间为.
所以.
所以分析知，函数的增区间为，减区间为，
所以，
故当时，.
【名师点睛】本题主要考查利用导数求解函数的单调区间和利用导数证明不等式，侧重考查逻辑推理和数学运算的核心素养.求解本题时，（1）先求导数，由可得减区间，由可得增区间；（2）不等式的证明转化为最值的求解即可.
直通高考
1．【答案】A
【解析】由题可得，
因为，所以，，故，
令，解得或，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以的极小值为.
故选A．
【名师点睛】（1）可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f ′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f ′(x)的符号不同；（2）若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．
2．【答案】B
【解析】为奇函数，舍去A；
，∴舍去D；
时，，单调递增，舍去C.
因此选B.
【名师点睛】有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的周期性.
3．【答案】D
【解析】函数图象过定点，排除A，B；
令，则，
由得，得或，此时函数单调递增，
由得，得或，此时函数单调递减，排除C.
故选D.
【名师点睛】本题主要考查函数的图象的识别和判断，利用函数图象过的定点及由导数判断函数的单调性是解决本题的关键.
4．【答案】C
【解析】当时，恒成立；
当时，恒成立，
令，
则
，
当，即时取等号，
∴，则.
当时，，即恒成立，
令，则，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
则时，取得最小值，
∴，
综上可知，的取值范围是.
故选C.
【名师点睛】本题考查分段函数的最值问题，分别利用基本不等式和求导的方法研究函数的最值，然后解决恒成立问题.
5．【答案】C
【解析】当x＜0时，y＝f（x）﹣ax﹣b＝x﹣ax﹣b＝（1﹣a）x﹣b＝0，得x，
则y＝f（x）﹣ax﹣b最多有一个零点；
当x≥0时，y＝f（x）﹣ax﹣bx3（a+1）x2+ax﹣ax﹣bx3（a+1）x2﹣b，
，
当a+1≤0，即a≤﹣1时，y′≥0，y＝f（x）﹣ax﹣b在[0，+∞）上单调递增，
则y＝f（x）﹣ax﹣b最多有一个零点，不合题意；
当a+1＞0，即a>﹣1时，令y′＞0得x∈(a+1，+∞），此时函数单调递增，
令y′＜0得x∈[0，a+1），此时函数单调递减，则函数最多有2个零点.
根据题意，函数y＝f（x）﹣ax﹣b恰有3个零点⇔函数y＝f（x）﹣ax﹣b在（﹣∞，0）上有一个零点，在[0，+∞）上有2个零点，
如图：
∴0且，
解得b＜0，1﹣a＞0，b（a+1）3，
则a>–1，b<0.
故选C．
【名师点睛】本题考查函数与方程，导数的应用.当x＜0时，y＝f（x）﹣ax﹣b＝x﹣ax﹣b＝（1﹣a）x﹣b最多有一个零点；当x≥0时，y＝f（x）﹣ax﹣bx3（a+1）x2﹣b，利用导数研究函数的单调性，根据单调性画出函数的草图，从而结合题意可列不等式组求解．
6．【答案】C
【解析】函数的零点满足，
设，则，
当时，；当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，
当时，函数取得最小值，为.
设，当时，函数取得最小值，为，
若，函数与函数没有交点；
若，当时，函数和有一个交点，
即，解得.故选C.
【名师点睛】函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用.
7．【答案】
【解析】，
所以当时函数单调递减，当时函数单调递增，
从而得到函数的递减区间为，
函数的递增区间为，
所以当时，函数取得最小值，
此时，
所以，
故答案是.
【名师点睛】该题考查的是有关应用导数研究函数的最小值问题，在求解的过程中，需要明确相关的函数的求导公式，需要明白导数的符号与函数的单调性的关系，确定出函数的单调增区间和单调减区间，进而求得函数的最小值点，从而求得相应的三角函数值，代入求得函数的最小值.
8．【答案】
【解析】首先由奇函数的定义得到关于的恒等式，据此可得的值，然后利用可得a的取值范围.
若函数为奇函数，则即，
即对任意的恒成立，
则，得.
若函数是R上的增函数，则在R上恒成立，
即在R上恒成立，
又，则，
即实数的取值范围是.
【名师点睛】本题考查函数的奇偶性､单调性､利用单调性确定参数的范围.解答过程中，需利用转化与化归思想，转化成恒成立问题.注重重点知识､基础知识､基本运算能力的考查.
9．【答案】–3
【解析】由得或，
因为函数在上有且仅有一个零点且，所以，
因此解得.
从而函数在上单调递增，在上单调递减，所以 ，
则
故答案为.
【名师点睛】对于函数零点的个数问题，可利用函数的单调性、草图确定其中参数的取值条件．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．
10．【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【解析】（1）设，则，.
当时，单调递减，而，可得在有唯一零点，
设为.
则当时，；当时，.
所以在单调递增，在单调递减，故在存在唯一极大值点，即在存在唯一极大值点.
（2）的定义域为.
（i）当时，由（1）知，在单调递增，而，所以当时，，故在单调递减，又，从而是在的唯一零点.
（ii）当时，由（1）知，在单调递增，在单调递减，而，，所以存在，使得，且当时，；当时，.故在单调递增，在单调递减.
又，，所以当时，.从而，在没有零点.
（iii）当时，，所以在单调递减.而，，所以在有唯一零点.
（iv）当时，，所以<0，从而在没有零点.
综上，有且仅有2个零点.
【名师点睛】本题考查导数与函数极值之间的关系、利用导数解决函数零点个数的问题.解决零点问题的关键一方面是利用零点存在性定理或最值点来说明存在零点，另一方面是利用函数的单调性说明在区间内零点的唯一性，二者缺一不可.
11．【答案】（1）函数在和上是单调增函数，证明见解析；（2）见解析.
【解析】（1）f（x）的定义域为（0，1）（1，+∞）．
因为，所以在（0，1），（1，+∞）单调递增．
因为f（e）=，，所以f（x）在（1，+∞）有唯一零点x1，即f（x1）=0．又，，故f（x）在（0，1）有唯一零点．
综上，f（x）有且仅有两个零点．
（2）因为，故点B（–lnx0，）在曲线y=ex上．
由题设知，即，故直线AB的斜率．
曲线y=ex在点处切线的斜率是，曲线在点处切线的斜率也是，
所以曲线在点处的切线也是曲线y=ex的切线．
【名师点睛】本题考查了利用导数求已知函数的单调性、考查了曲线的切线方程，考查了数学运算能力.
12．【答案】（1）见解析；（2）或.
【解析】（1）．
令，得x=0或.
若a>0，则当时，；当时，．故在单调递增，在单调递减；
若a=0，在单调递增；
若a<0，则当时，；当时，．故在单调递增，在单调递减.
（2）满足题设条件的a，b存在.
（i）当a≤0时，由（1）知，在[0，1]单调递增，所以在区间[0，l]的最小值为，最大值为.此时a，b满足题设条件当且仅当，，即a=0，．
（ii）当a≥3时，由（1）知，在[0，1]单调递减，所以在区间[0，1]的最大值为，最小值为．此时a，b满足题设条件当且仅当，b=1，即a=4，b=1．
（iii）当0<a<3时，由（1）知，在[0，1]的最小值为，最大值为b或．
若，b=1，则，与0<a<3矛盾.
若，，则或或a=0，与0<a<3矛盾．
综上，当且仅当a=0，或a=4，b=1时，在[0，1]的最小值为-1，最大值为1．
【名师点睛】这是一道常规的函数导数和不等式的综合题，题目难度比往年降低了不少，考查函数的单调性、最大值、最小值这种基本量的计算.
13．【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【解析】（1）的定义域为，.
（i）若，则，当且仅当，时，所以在单调递减.
（ii）若，令得，或.
当时，；
当时，.
所以在单调递减，在单调递增.
（2）由（1）知，存在两个极值点当且仅当.
由于的两个极值点满足，所以，不妨设，则.
由于，
所以等价于.
设函数，由（1）知，在单调递减，又，从而当时，.
所以，即.
【名师点睛】该题考查的是应用导数研究函数的问题，涉及的知识点有应用导数研究函数的单调性、应用导数研究函数的极值以及极值所满足的条件，在解题的过程中，需要明确导数的符号对单调性的决定性作用，再者就是要先确定函数的定义域，要对参数进行讨论，还有就是在做题的时候，要时刻关注第一问对第二问的影响，通过构造新函数来解决问题的思路要明确.
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