考点16 三角恒等变换
1．和与差的三角函数公式
（1）会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.
（2）能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.
（3）能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.
2．简单的三角恒等变换
能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）.
一、两角和与差的三角函数公式
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
（1）：
（2）：
（3）：
（4）：
（5）：
（6）：
2．二倍角公式
（1）：
（2）：
（3）：
3．公式的常用变形
（1）；
（2）降幂公式：；；
（3）升幂公式：；；；
（4）辅助角公式：，其中，
二、简单的三角恒等变换
1．半角公式
（1）
（2）
（3）
【注】此公式不用死记硬背，可由二倍角公式推导而来，如下图：
2．公式的常见变形（和差化积、积化和差公式）
（1）积化和差公式：
；
；
；
.
（2）和差化积公式：
；
；
；
.
考向一 三角函数式的化简
1．化简原则
（1）一看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使用公式；
（2）二看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化弦”；
（3）三看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”，“遇到根式一般要升幂”等．
2．化简要求
（1）使三角函数式的项数最少、次数最低、角与函数名称的种类最少；
（2）式子中的分母尽量不含根号.
3．化简方法
（1）切化弦；
（2）异名化同名；
（3）异角化同角；
（4）降幂或升幂．
典例1 化简：.
【解析】原式.
【方法技巧】（1）三角化简的常用方法：异名三角函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，切化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化．
（2）三角化简的标准：三角函数名称尽量少，次数尽量低，最好不含分母，能求值的尽量求值．
（3）在化简时要注意角的取值范围.
1．化简
A． B．
C． D．
考向二 三角函数的求值问题
1．给角求值
给角求值中一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察会发现非特殊角与特殊角之间总有一定的关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合公式将非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数，从而得解.
2．给值求值
已知三角函数值，求其他三角函数式的值的一般思路：
（1）先化简所求式子．
（2）观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)．
（3）将已知条件代入所求式子，化简求值．
3．给值求角
通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，有以下原则：
（1）已知正切函数值，则选正切函数．
（2）已知正、余弦函数值，则选正弦或余弦函数．若角的范围是，则选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，则选余弦较好；若角的范围为，则选正弦较好.
4．常见的角的变换
（1）已知角表示未知角
例如：，，
，，，.
（2）互余与互补关系
例如：，.
（3）非特殊角转化为特殊角
例如：15°=45°−30°，75°=45°＋30°.
典例2 求下列各式的值：
（1）cos+cos-2sincos;
（2）sin 138°-cos 12°+sin 54°.
【解析】（1）cos+cos-2sincos=coscos=2coscoscos=coscos=0.
（2）sin 138°-cos 12°+sin 54°=sin 42°-cos 12°+sin 54°=sin 42°-sin 78°+sin 54°=-2cos 60°sin 18°+sin 54°=
sin 54°-sin 18°=2cos 36°sin 18°=====.
【名师点睛】“给角求值”，一般给出的角都是非特殊角，观察发现题中的角与特殊角都有着一定的关系，如和或差为特殊角，必要时运用诱导公式.
2．
A．1 B．2
C．3 D．4
典例3 已知tan(α−β)=，tan β=，且α，β∈(0,π)，则2α−β=
A． B．
C． D．或
【答案】C
【解析】因为tan 2(α−β)=，
所以tan(2α−β)=tan[2(α−β)+β]==1.
又tan α=tan[(α−β)+β]=，
又α∈(0,π)，所以0<α<.
又<β<π，所以−π<2α−β<0，所以2α−β=.
故选C．
【名师点睛】在解决给值求角问题时，不仅要注意已经明确给出的有关角的范围，还要结合有关角的三角函数值尽可能地缩小角的范围.
3．已知，，，则
A． B．
C． D．
典例4 在平面直角坐标系中，以轴为始边作角，角的终边经过点.
（1）求的值；
（2）求的值.
【解析】（1）由于角的终边经过点，
所以，.
.
（2）.
则 ，
故.
【名师点睛】解给值求值型问题的一般思路是：先看公式中的量,哪些是已知的,哪些是待求的,再利用已知条件结合同角三角函数的基本关系求出待求值,注意根据角的象限确定符号. 这类求值问题关键在于结合条件和结论中的角，合理拆、配角.
4．已知，且，则
A． B．
C． D．
考向三 三角恒等变换的综合应用
1．与三角函数的图象及性质相结合的综合问题
（1）利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式转化成y=Asin(ωx＋φ)＋t或y=Acos(ωx＋φ)＋t的形式．
（2）利用公式求周期．
（3）根据自变量的范围确定ωx＋φ的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值，另外求最值时，根据所给关系式的特点，也可换元转化为二次函数的最值．
（4）根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数y=Asin(ωx＋φ)＋t或y=Acos(ωx＋φ)＋t的单调区间．
2．与向量相结合的综合问题
三角恒等变换与向量的综合问题是高考经常出现的问题，一般以向量的坐标形式给出与三角函数有关的条件，并结合简单的向量运算，往往是两向量平行或垂直的计算，即令a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则a·b=x1x2＋y1y2，a∥b⇔x1y2=x2y1，a⊥b⇔x1x2＋y1y2=0，把向量形式化为坐标运算后，接下来的运算仍然是三角函数的恒等变换以及三角函数、解三角形等知识的运用.
3．与解三角形相结合的综合问题
（1）利用正弦定理把边的关系化成角，因为三个角之和等于π，可以根据此关系把未知量减少，再用三角恒等变换化简求解；
（2）利用正、余弦定理把边的关系化成角的关系再用三角恒等变换化简求解．
【注】此类题中的角是在三角形中，每个角范围限制在(0，π)内，如果是锐角三角形，则需要限制各个角均在内．角的范围在解题中至关重要，做题时要特别注意.
典例5 已知函数.
（1）求函数的对称中心及最小正周期；
（2）的外接圆直径为，角，，所对的边分别为，，.若，且，求的值.
【解析】（1）.
由，得最小正周期为.
令，得，
故对称中心为（）.
（2）∵，∴.
∵，，∴，
∵，∴ ，
又∵，∴，
即，即，
∵，∴，
∴，
∵，∴，∴.
∴.
5．已知，，均为锐角，且.
（1）求的值；
（2）若，求的值．
6．在中，内角的对边分别为，.
（1）求角的大小；
（2）若，求的值.
1．
A． B．
C． D．
2．化简的结果是
A． B．
C． D．
3．已知，则的值为
A． B．
C． D．
4．已知方程的两根分别为、，且、，则
A． B．或
C．或 D．
5．已知，则
A． B．
C． D．
6．已知，且，则下列结论正确的是
A． B．
C． D．
7．已知为锐角，为第二象限角，且，，则
A． B．
C． D．
8．函数图象的一条对称轴为
A． B．
C． D．
9．若角满足，则
A． B．
C．或 D．
10．已知平面直角坐标系下，角的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边经过点，则
A． B．
C．或 D．
11．设，，，则，，的大小关系是
A． B．
C． D．
12．已知，则__________.
13．已知，则__________．
14．在斜三角形中，，则_____________.
15．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为.若，则___________.
16．已知函数，若为函数的一个零点，则__________．
17．平面直角坐标系中，点是单位圆在第一象限内的点， ，若，则=__________．
18．已知．
（1）求的值；
（2）求的值．
19．在中，内角的对边分别为，已知.
（1）求的值；
（2）求的值.
20．在平面直角坐标系中，锐角的顶点为坐标原点,始边为轴的正半轴，终边与单位圆的交点分别为．已知点的横坐标为，点的纵坐标为．
（1）求的值；
（2）求的值.
21．设函数．
（1）若函数为奇函数，(0，)，求的值；
（2）若＝，＝，(0，)，求的值．
22．已知,(),函数,函数的最小正周期为．
(1)求函数的表达式;
(2)设,且,求的值．
23．已知函数.
（1）求的单调递增区间；
（2）若，，求的值.
1．（2019年高考全国Ⅱ卷理数）已知α∈(0，)，2sin2α=cos2α+1，则sinα=
A． B．
C． D．
2．（2018年高考全国Ⅲ卷理数）若，则
A． B．
C． D．
3．（2017年高考江苏卷）若则 ▲ ．
4．（2017北京理科）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若
，则=___________.
5．（2018新课标全国Ⅱ理科）已知，，则__________．
6．（2019年高考江苏卷）已知，则的值是 ▲ .
7．（2019年高考浙江卷）设函数.
（1）已知函数是偶函数，求的值；
（2）求函数的值域．
8．（2018浙江）已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（）．
（Ⅰ）求sin（α+π）的值；
（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=，求cosβ的值．
9．（2018江苏）已知为锐角，，．
（1）求的值；
（2）求的值．
10．（2017天津理科）在中，内角所对的边分别为．已知，，．
（1）求和的值；
（2）求的值．
变式拓展
1．【答案】A
【解析】因为，，
所以原式.
故选A．
2．【答案】D
【解析】
.
故选D.
3．【答案】D
【解析】由于，所以，
所以，.
所以，
所以.
故选D．
4．【答案】A
【解析】因为，
所以则.
因为，且，
所以，
所以.
故选A.
5．【解析】（1）由题意得：，，
，
解得：.
（2），，
由，可得：，，
.
6．【解析】（1）由已知及正弦定理得，
∴，
∴，
∵，∴.
（2）∵，，
∴由余弦定理得，
∴.
由，
∵为锐角，∴，
则，，
故.
考点冲关
1．【答案】B
【解析】.
故选B.
2．【答案】B
【解析】由题得原式，
，，则.
故选B.
3．【答案】C
【解析】由题意得：，
.
故选C.
4．【答案】D
【解析】由根与系数的关系可知：，，
，
又，，
，，
，，
，.
故选D.
5．【答案】D
【解析】.
故选D．
6．【答案】A
【解析】由，得，即，即，
由于，所以.
故选A．
7．【答案】B
【解析】因为为锐角，为第二象限角，，，
所以为第二象限角，
因此sin，cos，
所以 ,
因为为锐角，所以 ，2)=cos.
故选B．
8．【答案】C
【解析】由题意得，
令，得，
当时，．
故是函数图象的一条对称轴．故选C．
9．【答案】D
【解析】，
.
故选D.
10．【答案】B
【解析】因为角的终边经过点，所以，
则，
故选B.
【名师点睛】本题主要考查了已知角的终边上一点的坐标求三角函数值，以及诱导公式、二倍角公式的应用，属于基础题.已知角终边上一点，则.
11．【答案】D
【解析】，
，
，
因为函数为单调递增函数，所以，
所以.
故选D．
12．【答案】
【解析】因为，所以，即，
所以，
故答案是.
13．【答案】
【解析】由题可得.
14．【答案】
【解析】在 中， ，则
，
.
故答案为.
15．【答案】
【解析】因为，，所以，
所以.
故答案为.
16．【答案】
【解析】由，化简可得
，由，得,
又，，所以，
故，
此时：.
17．【答案】
【解析】由题意知：，，
由，得，
则
，
，
则，
故答案为.
18．【解析】（1）.
（2）
.
19．【解析】（1），，
，.
由正弦定理，得.
（2），.
，
.
20．【解析】（1）因为点P的横坐标为，P在单位圆上，α为锐角，所以cosα＝，
所以cos2α＝2cos2α－1＝．
（2）因为点Q的纵坐标为，所以sinβ＝．
又因为β为锐角，所以cosβ＝．
因为cosα＝，且α为锐角，所以sinα＝，
因此sin2α＝2sinαcosα＝，
所以sin(2α－β) ＝ ．
因为α为锐角，所以0＜2α＜π．
又cos2α＞0，所以0＜2α＜，
又β为锐角，所以－＜2α－β＜，
所以2α－β＝．
21．【解析】（1）为奇函数，，
又，，
当时，是奇函数，满足题意，
∴.
（2），，，
又，，，
，
，
.
22．【解析】(1)=,
因为函数的最小正周期为,所以,解得,
所以．
(2)由,得,
因为,所以,
所以,
所以====．
23．【解析】（1）
，
令，即，
则，
所以的单调递增区间为，.
（2）∵，∴，
∵，∴，∴，
故
.
直通高考
1．【答案】B
【解析】，，，
又，，
又，，
故选B．
【名师点睛】本题是对三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦的正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负很关键，切记不能凭感觉．解答本题时，先利用二倍角公式得到正余弦关系，再利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案．
2．【答案】B
【解析】.
故选B.
【名师点睛】本题主要考查三角函数的求值，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算.
3．【答案】
【解析】．
故答案为．
【名师点睛】三角函数求值的三种类型
（1）给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数．
（2）给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异．一般有如下两种思路：
①适当变换已知式，进而求得待求式的值；
②变换待求式，便于将已知式的值代入，从而达到解题的目的．
（3）给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，进而确定角．
4．【答案】
【解析】因为和关于轴对称，所以，那么，（或），
所以.
【名师点睛】本题考查了角的对称关系，以及诱导公式，常用的一些对称关系包含：若与的终边关于轴对称，则 ，若与的终边关于轴对称，则，若与的终边关于原点对称，则.
5．【答案】
【解析】因为，，所以
所以，
因此
【名师点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查考生分析问题、解决问题的能力，考查的核心素养是数学运算.
6．【答案】
【解析】由，得，
解得，或.
，
当时，上式
当时，上式=
综上，
【名师点睛】本题考查三角函数的化简求值，渗透了逻辑推理和数学运算素养.采取转化法，利用分类讨论和转化与化归思想解题.由题意首先求得的值，然后利用两角和的正弦公式和二倍角公式将原问题转化为齐次式求值的问题，最后切化弦求得三角函数式的值即可.
7．【解析】（1）因为是偶函数，所以，对任意实数x都有，
即，
故，
所以．
又，
因此或．
（2）
．
因此，函数的值域是．
【名师点睛】本题主要考查三角函数及其恒等变换等基础知识，同时考查运算求解能力.
8．【解析】（Ⅰ）由角的终边过点得，
所以.
（Ⅱ）由角的终边过点得，
由得.
由得，
所以或.
【名师点睛】本题主要考查三角函数的定义、诱导公式、两角差的余弦公式，考查考生分析问题、解决问题的能力，运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算.
求解三角函数的求值问题时，需综合应用三角函数的定义、诱导公式及三角恒等变换.
（1）首先利用三角函数的定义求得，然后利用诱导公式，计算sin（α+π）的值;
（2）根据sin（α+β）的值，结合同角三角函数的基本关系，计算的值，要注意该值的正负，然后根据，利用两角差的余弦公式，通过分类讨论，求得cosβ的值.
9．【解析】（1）因为，，
所以．
因为，
所以，
因此，．
（2）因为为锐角，所以．
又因为，
所以，
因此．
因为，所以，
因此，．
【名师点睛】本小题主要考查同角三角函数关系、两角和（差）及二倍角的三角函数，考查运算求解能力．
10．【解析】（1）在中，因为，故由，可得．
由已知及余弦定理，有，
所以．
由正弦定理，得．
所以，的值为，的值为．
（2）由（1）及，得，
所以，．
故．
【名师点睛】（1）利用正弦定理进行“边转角”可寻求角的关系，利用“角转边”可寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系可求角，利用两角和差的三角公式及二倍角公式可求三角函数值．（2）利用正、余弦定理解三角形是高考的高频考点，常与三角形内角和定理、三角形面积公式等相结合，利用正、余弦定理进行解题．
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