考点13 定积分与微积分基本定理
（1）了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念.
（2）了解微积分基本定理的含义.
一、定积分
1．曲边梯形的面积
（1）曲边梯形：由直线x=a、x=b(a≠b)、y=0和曲线所围成的图形称为曲边梯形(如图①)．
（2）求曲边梯形面积的方法与步骤：
①分割：把区间[a，b]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形(如图②)；
②近似代替：对每个小曲边梯形“以值代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值(如图②)；
③求和：把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值求和；
④取极限：当小曲边梯形的个数趋向无穷时，各小曲边梯形的面积之和趋向一个定值，即为曲边梯形的面积．
2．求变速直线运动的路程
如果物体做变速直线运动，速度函数为v=v(t)，那么也可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法，求出它在a≤t≤b内所作的位移s.
3．定积分的定义和相关概念
（1）如果函数f (x)在区间[a,b]上连续，用分点a=x0<x1<…<xi−1<xi<…<xn=b将区间[a,b]等分成n个小区间，在每个小区间[xi−1,xi]上任取一点ξi (i=1,2, …,n)，作和式；当n→∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作，即=.
（2）在中，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a,b]叫做积分区间，函数叫做被积函数，x叫做积分变量，f (x)dx叫做被积式．
4．定积分的性质
（1）(k为常数)；
（2）；
（3）(其中a<c<b)．
【注】定积分的性质（3）称为定积分对积分区间的可加性，其几何意义是曲边梯形ABCD的面积等于曲边梯形AEFD与曲边梯形EBCF的面积的和．
5．定积分的几何意义
（1）当函数f (x)在区间[a,b]上恒为正时，定积分f (x)dx的几何意义是由直线x=a，x=b(a≠b)，y=0和曲线y=f (x)所围成的曲边梯形的面积(图①中阴影部分)．
（2）一般情况下，定积分f (x)dx的几何意义是介于x轴、曲线f (x)以及直线x=a，x=b之间的曲边梯形面积的代数和(图②中阴影部分所示)，其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数．
6．定积分与曲边梯形的面积的关系(常用结论)
定积分的概念是从曲边梯形面积引入的，但是定积分并不一定就是曲边梯形的面积．这要结合具体图形来确定：
设阴影部分面积为S,则
（1）； （2）；
（3）； （4）.
7．定积分的物理意义
（1）变速直线运动的路程
做变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v=v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a，b]上的定积分，即.
（2）变力做功
一物体在恒力F(单位：N)的作用下做直线运动，如果物体沿着与F相同的方向移动了s m，则力F所做的功为W=Fs.
如果物体在变力F(x)的作用下沿着与F(x)相同的方向从x=a移动到x=b，则变力F(x)做的功.
二、微积分基本定理
一般地，如果f (x)是区间[a,b]上的连续函数，且F′(x)=f (x)，那么=F(b)−F(a)．这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式，其中F(x)叫做f (x)的一个原函数．为了方便，我们常把F(b)−F(a)记作，即=F(b)−F(a)．
【注】常见的原函数与被积函数的关系
（1）为常数)；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）.
考向一 定积分的计算
1．求定积分的三种方法
（1）利用定义求定积分(定义法)，可操作性不强；
（2）利用微积分基本定理求定积分；
（3）利用定积分的几何意义求定积分．当曲边梯形面积易求时，可通过求曲边梯形的面积求定积分．例如，定积分的几何意义是求单位圆面积的，所以.
2．用牛顿—莱布尼茨公式求定积分的步骤
（1）把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差；
（2）把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分；
（3）分别用求导公式找到一个相应的原函数；
（4）利用牛顿—莱布尼茨公式求出各个定积分的值；
（5）计算原始定积分的值.
3．分段函数的定积分
分段函数求定积分，可先把每一段函数的定积分求出后再相加．
4．奇偶函数的定积分
（1）若奇函数y=f(x)的图象在[−a，a]上连续，则；
（2）若偶函数y=g(x)的图象在[−a，a]上连续，则.
典例1
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】.
故选A．
【解题技巧】求定积分的关键是找到被积函数的原函数，为避免出错，在求出原函数后可利用求导与积分互为逆运算的关系进行验证.
1．已知，则常数的值为
A． B．
C． D．
考向二 利用定积分求平面图形的面积
利用定积分求平面图形面积问题的常见类型及解题策略
（1）利用定积分求平面图形面积的步骤
①根据题意画出图形；
②借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；
③把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和；
④计算定积分，写出答案．
（2）知图形的面积求参数
求解此类题的突破口：画图，一般是先画出它的草图；然后确定积分的上、下限，确定被积函数，由定积分求出其面积，再由已知条件可找到关于参数的方程，从而可求出参数的值．
（3）与概率相交汇问题
解决此类问题应先利用定积分求出相应平面图形的面积，再用相应概率公式进行计算.
典例2 设抛物线C：y=x2与直线l：y=1围成的封闭图形为P，则图形P的面积S等于
A．1 B．
C． D．
【答案】D
【解析】由，得.
如图，由对称性可知，.
故选D.
2．已知曲线和曲线围成一个叶形图，则其面积为
A．1 B．
C． D．
考向三 定积分的物理意义
利用定积分解决变速直线运动与变力做功问题
利用定积分解决变速直线运动问题和变力做功问题时，关键是求出物体做变速直线运动的速度函数和变力与位移之间的函数关系，确定好积分区间，得到积分表达式，再利用微积分基本定理计算即得所求.
典例3 一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是
A．1＋25ln 5 B．8＋25ln
C．4＋25ln 5 D．4＋50ln 2
【答案】C
【解析】令v(t)=0得，3t2−4t−32=0，解得t=4(舍去).
汽车的刹车距离是故选C.
3．一质点在直线上以速度运动，从时刻到时质点运动的路程为
A． B．
C． D．
1．定积分的值为
A． B．
C． D．
2．已知，若，则的值等于
A． B．
C． D．
3．射线与曲线所围成的图形的面积为
A．2 B．4
C．5 D．6
4．已知函数在上可导，且，则
A．1 B．
C． D．
5．汽车以作变速运动时，在第1s至2s之间的1s内经过的路程是
A． B．
C． D．
6．在如图算法框图中，若，程序运行的结果为二项式的展开式中的系数的3倍，那么判断框中应填入的关于的判断条件是
A． B．
C． D．
7．如图，在矩形内随机撒一颗黄豆，则它落在空白部分的概率为
A． B．
C． D．
8．曲线与轴所围成图形的面积被直线分成面积相等的两部分，则的值为
A． B．
C． D．
9．已知，则二项式的二项式系数之和与各项系数之和的积为
A．0 B．
C．1 D．以上都不对
10．已知定义在上的函数与，若函数为偶函数，函数为奇函数，且，则__________．
1．（高考湖南卷理科） ．
2．（高考天津卷理科）曲线与直线所围成的封闭图形的面积为 ．
3．（高考山东卷理科）执行如图所示的程序框图,输出的T的值为 ．
4．（高考福建卷理科）如图,点A的坐标为(1,0),点C的坐标为(2,4),函数f (x)=x2.若在矩形ABCD内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率等于 ．
5．（高考陕西卷理科）如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线表示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 ．
变式拓展
1．【答案】A
【解析】因为，所以，所以，
故选A．
【名师点睛】本题主要考查定积分的相关知识，相对简单.由可得，从而可得常数的值.
2．【答案】D
【解析】由题得函数的图象如图所示，
联立得交点为（1,1），
所以叶形图的面积为.
故选D.
【名师点睛】本题主要考查定积分的应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.求解时，先作出两个函数的图象，再利用定积分求面积得解.
3．【答案】B
【解析】该质点从时刻到时质点运动的路程：
，
故选B．
【名师点睛】本小题主要考查定积分的计算，考查定积分在物理上的应用，属于基础题.求解时，根据速度的积分为位移，对分段函数的两段解析式分别进行积分，再根据位移和路程的对应关系，求得质点运动的路程.
考点冲关
1．【答案】A
【解析】表示以为圆心，为半径的圆，
定积分等于该圆的面积的四分之一，定积分，
故选A．
2．【答案】B
【解析】（）,或（舍）．
则的值等于．
故选B．
【名师点睛】本小题主要考查定积分的计算，考查运算求解能力，属于基础题.求解时，根据定积分的计算公式化简定积分，解方程求得的值.
3．【答案】B
【解析】将射线方程与曲线方程联立，解得：，，
即射线与曲线有两个公共点，
所围成的图形的面积为.
本题正确选项为B.
【名师点睛】本题考查曲边梯形面积的求解问题，关键是能够求得交点坐标后，利用定积分的知识来求解.解题时，射线与曲线方程联立可求得交点坐标，利用积分的知识可求得结果.
4．【答案】C
【解析】由题意得,故，，得到，
所以，所以.
故选C.
5．【答案】D
【解析】由题意可得在第1s至2s之间的1s内经过的路程
,故选D．
6．【答案】C
【解析】，
二项式的展开式中的系数为，即，
根据程序框图，可知
，，，S不满足条件；
，，S不满足条件；
，，则满足条件．
输出，
故选C．
【名师点睛】本题主要考查程序框图的识别和判断，求出，的值，利用模拟运行算法是解决本题的关键．求解时，根据积分和二项式定理的内容求出，，结合程序框图进行模拟运算即可．
7．【答案】B
【解析】由题意，阴影部分的面积为，
又矩形的面积为，
所以在矩形内随机撒一颗黄豆，则它落在空白部分的概率为
.
故选B.
【名师点睛】本题主要考查与面积有关的几何概型，以及定积分的应用，熟记微积分基本定理以及几何概型的概率计算公式即可，属于常考题型.求解时，根据定积分的应用，得到阴影部分的面积为，再由题意得到矩形的面积，最后由与面积有关的几何概型的概率公式，即可求出结果.
8．【答案】D
【解析】如图所示，曲线与轴的交点为和，曲线与直线的交点为和．
由题意和定积分的几何意义得：，
化简得：，即，解得：．
故选D．
【名师点睛】1．由函数图象或曲线围成的曲边图形面积的计算及应用，一般转化为定积分的计算及应用， 但一定要找准积分上限、下限及被积函数，且当图形的边界不同时，要讨论解决．具体步骤如下：
(1)画出图形，确定图形范围；
(2)解方程组求出图形交点坐标，确定积分上、下限；
(3)确定被积函数，注意分清函数图形的上、下位置；
(4)计算定积分，求出平面图形的面积．
2．由函数求其定积分，能用公式的利用公式计算，有些特殊函数可根据其几何意义，求出其围成的几何图形的面积，即其定积分．
9．【答案】B
【解析】由定积分的运算性质，可得，
又由表示圆的上半圆的面积，即，
所以，
又由，所以，
所以二项式为的二项式系数之和为 ，
令，可得展开式的各项之和为，
所以二项式系数之和与各项系数之和的积为.
故选B.
【名师点睛】本题主要考查了定积分的性质及运算，以及二项式系数之和与项的系数之和的求解及应用，其中解答中熟练应用定积分的性质求得的值，以及合理求解二项式系数与项的系数之和是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.求解时，由定积分的运算性质和定积分的几何意义，求得，进而得二项式系数之和，再令，可得展开式的各项之和为，即可求解，得到答案.
10．【答案】12
【解析】∵函数为偶函数，函数为奇函数，
∴函数的图象关于y轴对称，函数的图象关于原点对称．
∴，，
∴．
【名师点睛】根据定积分的几何意义和函数的奇偶性求解．定积分的几何意义是表示曲线以下、x轴以上和直线之间的曲边梯形的面积，解题时要注意面积非负，而定积分的结果可以为负．
直通高考
1．【答案】0
【解析】.
2．【答案】
【解析】由题意可得封闭图形的面积为.
3．【答案】
【解析】开始n=1,T=1,
因为1<3,所以,n=1+1=2;
因为2<3,所以,n=2+1=3.
因为3<3不成立,所以输出T,即输出的T的值为.
4．【答案】
【解析】依题意知点D的坐标为(1,4),所以矩形ABCD的面积S=1×4=4,
阴影部分的面积S阴影=,
根据几何概型的概率计算公式得,所求的概率P=.
5．【答案】
【解析】建立空间直角坐标系，如图所示：
原始的最大流量是，设抛物线的方程为()，因为该抛物线过点，所以，解得，所以，即，所以当前最大流量是，故原始的最大流量与当前最大流量的比值是，所以答案为．
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