考点19 平面向量的基本定理及坐标表示
（1）了解平面向量的基本定理及其意义.
（2）掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.
（3）会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.
（4）理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
一、平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.
二、平面向量的坐标表示
在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得a=xi＋yj，这样，平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定，我们把（x，y）叫做向量a的坐标，记作a=（x，y），其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标.
三、平面向量的坐标运算
1．向量坐标的求法
（1）若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则=（x2－x1，y2－y1）.
2．向量加法、减法、数乘向量及向量的模
设a=（x1，y1），b=（x2，y2），则a＋b=（x2+x1，y2+y1），a－b=（x1－x2，y1－y2），λa=（λx1，λy1），
|a|=，|a＋b|=.
3．平面向量共线的坐标表示
设a=（x1，y1），b=（x2，y2），则a∥b⇔x1y2－x2y1=0.
4．向量的夹角
已知两个非零向量a和b，作=a，=b，则∠AOB=θ（0°≤θ≤180°）叫做向量a与b的夹角.如果向量a与b的夹角是90°，我们说a与b垂直，记作a⊥b.
考向一 平面向量基本定理的应用
1．应用平面向量基本定理表示向量的实质
应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算，共线向量定理的应用起着至关重要的作用．当基底确定后，任一向量的表示都是唯一的．
2．应用平面向量基本定理的关键点
（1）平面向量基本定理中的基底必须是两个不共线的向量．
（2）选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示出来．
（3）强调几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似等．
3．用平面向量基本定理解决问题的一般思路
（1）先选择一组基底，并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成该基底的线性组合，再进行向量的运算．
（2）在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便，另外，要熟练运用线段中点的向量表达式.
典例1 如图所示，在中，，，与相交于点，设，.
（1）试用向量，表示；
（2）过点作直线，分别交线段，于点，.记，，求证：为定值.
【解析】（1）由，，三点共线，可设，
由，，三点共线，可设，
∴，解得，，
∴.
（2）由，，三点共线，设，
由（1）知，，
∴，，
∴，为定值.
【名师点睛】本题主要考查了平面向量基本定理的应用，以及平面向量的线性运算，其中根据三点共线，合理设出向量，列出方程组求解是解答本题的关键，同时要熟记向量的基本概念和基本的运算公式是解答向量问题的基础，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．
1．如图，在中，，分别为边，上的点，且，，，相交于点，若，，则
A． B．
C． D．
考向二 平面向量的坐标运算
1．向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．
2．解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解，并注意方程思想的应用.
牢记：向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系．两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的．
典例2 已知，，为坐标原点，点C在∠AOB内，且，设，则的值为
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】∵，∴设，则，
又，，根据向量的坐标运算知，
所以.
故选C.
典例3 已知，，，设，，.
（1）求；
（2）求满足的实数，.
【解析】（1）由已知得，，，
则.
（2）∵，
∴.
2．把点按向量移到点，若（为坐标原点），则点的坐标为
A． B．
C． D．
考向三 向量共线（平行）的坐标表示
1．利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地，在求与一个已知向量共线的向量时，可设所求向量为 ()，然后结合其他条件列出关于的方程，求出的值后代入即可得到所求的向量．
2．利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，则利用“若，，则的充要条件是”解题比较方便．
3．三点共线问题．A，B，C三点共线等价于与共线．
4．利用向量共线的坐标运算求三角函数值：利用向量共线的坐标运算转化为三角方程，再利用三角恒等变换求解.
典例4 已知e1,e2是平面内两个不共线的非零向量，=2e1+e2，=−e1+λe2，=−2e1+e2，且A,E,C三点共线.
（1）求实数λ的值;
（2）若e1=(2,1),e2=(2,−2),求的坐标;
（3）已知点D(3,5)，在（2）的条件下，若A,B,C,D四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标.
【解析】（1）=+=(2e1+e2)+(−e1+λe2)=e1+(1+λ)e2.
∵A,E,C三点共线,
∴存在实数k,使得=k，
即e1+(1+λ)e2=k(−2e1+e2)，
即(1+2k)e1+(1+λ−k)e2=0.
∵e1,e2是平面内两个不共线的非零向量,
∴1+2k=0且1+λ−k=0,
解得k=−,λ=−.
故实数λ的值为−.
（2）由（1）知,=−e1−e2,
则=+=−3e1−e2=−3(2,1)−(2,−2)=(−6,−3)−(1,−1)=(−7,−2).
故的坐标为(−7,−2).
（3）∵A,B,C,D四点按逆时针顺序构成平行四边形,∴=.
设A(x,y)，则=(3−x,5−y).
由（2）知,=(−7,−2),
∴,解得,
∴点A的坐标为(10,7).
3．已知，若，则
A． B．
C． D．
1．在如图所示的平面直角坐标系中，向量的坐标是
A． B．
C． D．
2．下列各组向量中，能作为平面上一组基底的是
A．， B．，
C．， D．，
3．已知，，若，则点的坐标为
A． B．
C． D．
4．已知向量，，若向量与向量平行，则实数
A．−4 B．−2
C．4 D．2
5．在中，点在边上，且，设，则
A． B．
C． D．
6．已知向量，，平面上任意向量都可以唯一地表示为，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
7．已知在中，两直角边，，是内一点，且，设，则
A． B．
C．3 D．
8．在平面直角坐标系中，已知点，若点满足,则＝_________.
9．已知向量，，若，则_________．
10．已知向量，，若，则的值为_________．
11．如图，在中，，是上一点，若则实数的值为________．
12．已知点，设向量.
（1）若，求实数的值；
（2）若，求向量的坐标.
13．如图，在平行四边形中，，是上一点，且.
（1）求实数的值；
（2）记，，试用表示向量，，.
14．已知向量，.
（1）若，求的值；
（2）若，，求的值.
1．（2016新课标全国Ⅱ理科）已知向量，且，则m=
A．−8 B．−6
C．6 D．8
2．（2017新课标全国Ⅲ理科）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若，则的最大值为
A．3 B．2
C． D．2
3．（2018新课标全国Ⅲ理科）已知向量，，．若，则________．
4．（2017江苏）如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为，且=7，与的夹角为45°．若，则 ．
变式拓展
1．【答案】C
【解析】设，
则，，
因为，，三点共线，所以，
同理由，，三点共线，得.
所以，.
故选C．
【名师点睛】（1）应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．
（2）用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．
2．【答案】C
【解析】因为点按向量移动后得到点，
所以，
设，则,，
又，所以，解得，
所以.
故选C.
【名师点睛】本题主要考查向量的坐标表示和运算，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.
3．【答案】B
【解析】∵，∴=（1，2）+（0，2）=（1，4），
∵，∴k=−8．
故选B．
【名师点睛】本题考查用向量坐标来表示两个向量平行的关系.解本题时，先求出，再由，能求出k=−8．
考点冲关
1．【答案】D
【解析】因为A(2，2)，B(1，1)，所以
故选D．
2．【答案】D
【解析】对于A，，向量共线，不能作为基底；
对于B，零向量不能作为基底；
对于C，，向量共线，不能作为基底；
对于D，向量不共线，可作为基底.
故选D．
【名师点睛】本题考查了向量共线的判定、基底的定义，属于基础题，熟练掌握平面向量的基本定理是解题的关键.注意只有两向量不共线才可以作为基底，判定各组向量是否共线即可.
3．【答案】D
【解析】设，则，，
根据得，
即，解得，
故选D．
4．【答案】D
【解析】由向量，，得，
则，
向量与向量平行，∴，得，
故选D．
【名师点睛】利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：
（1）两向量平行，利用解答；
（2）两向量垂直，利用解答.
5．【答案】A
【解析】在中，，
因为，所以，
又因为,
所以，
故选A．
6．【答案】C
【解析】根据平面向量基本定理可知，若平面上任意向量都可以唯一地表示为，
则向量，不共线，由，得，解得，即实数的取值范围是．故选．
7．【答案】A
【解析】如图，以A为原点，以AB所在的直线为x轴，以AC所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，
则B点坐标为（1，0），C点坐标为（0，2），因为∠DAB=60°，所以可设D点坐标为（m，），
则=λ（1，0）+μ（0，2）=（λ，2μ）⇒λ=m，μ=，
所以．
故选A．
【名师点睛】本题主要考查平面向量的坐标表示，根据条件建立平面直角坐标系，分别写出B、C点坐标，由于∠DAB=60°，可设D点坐标为（m，），再由平面向量坐标表示，即可求出λ和μ．
8．【答案】
【解析】因为，所以为的重心，
故的坐标为，即，故.
9．【答案】
【解析】向量，，且，，解得，∴，
，则，
故答案为.
【名师点睛】本题考查两个向量共线的性质，两个向量的线性运算以及向量模的计算，属于基础题.
10．【答案】2
【解析】因为，，所以.
因为，所以.
11．【答案】
【解析】由题意知，，
又，所以，∴（1﹣m），
又t，所以，解得m，t，
故答案为．
12．【解析】（1）由题得，
又不共线，，
所以由平面向量的基本定理得.
（2）由题得，
所以.
【名师点睛】本题考查了平面向量的线性运算与坐标运算的问题，也考查了向量的相等问题以及解方程组的应用问题，是基础题．
13．【解析】（1）因为，
所以，
所以，
因为三点共线，
所以，
所以.
（2），
，
.
14．【解析】（1）因为，所以，于是，
当时，，与矛盾，所以，
故，
所以.
（2）由知， ，
即，
从而，即，
于是，
又由知，，
所以或，
因此或.
直通高考
1．【答案】D
【解析】，由得，解得，故选D.
【名师点睛】已知非零向量，：
| 几何表示 | 坐标表示 | |
| 模 | |a|＝ | |
| 夹角 | ||
| a⊥b的充要条件 | x1x2＋y1y2＝0 |
2．【答案】A
【解析】如图所示，建立平面直角坐标系.
设,
易得圆的半径，即圆C的方程是，
，若满足，
则 ，，所以，
设，即，点在圆上，
所以圆心到直线的距离，即，解得，
所以的最大值是3，即的最大值是3，故选A.
【名师点睛】（1）应用平面向量基本定理表示向量是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.
（2）用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.
3．【答案】
【解析】由题可得，，，，即，
故答案为.
【名师点睛】本题主要考查向量的坐标运算，以及两向量共线的坐标关系，属于基础题.解题时，由两向量共线的坐标关系计算即可.
4．【答案】3
【解析】由可得，，根据向量的分解，
易得，即，即，即得，
所以．
【名师点睛】（1）向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数、方程、不等式的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数、方程、不等式问题．
（2）以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题．通过向量的坐标运算，可将原问题转化为解不等式或求函数值域的问题，是此类问题的一般方法．
（3）向量的两个作用：①载体作用，关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用，利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题．
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