2020年高考各科总复习考点一遍过讲义考点32 直线、平面垂直的判定及其性质-备战2020年高考数学（理）考点一遍过

考点32 直线、平面垂直的判定及其性质

（1）以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理.

理解以下判定定理：

·如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直.

·如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直.

理解以下性质定理，并能够证明：

·如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直.

（2）能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.

一、直线与平面垂直

1．定义

如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直.记作：l⊥α.图形表示如下：

【注意】定义中的“任意一条直线”这一词语与“所有直线”是同义语，与“无数条直线”不是同义语．

2．直线与平面垂直的判定定理

文字语言	一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直. 简记为：线线垂直⇒线面垂直
图形语言
符号语言	l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，⇒l⊥α
作用	判断直线与平面垂直

【注意】在应用该定理判断一条直线和一个平面垂直时，一定要注意是这条直线和平面内的两条相交直线垂直，而不是任意的两条直线.

3．直线与平面垂直的性质定理

文字语言	垂直于同一个平面的两条直线平行. 简记为：线面垂直⇒线线平行
图形语言
符号语言	⇒
作用	①证明两直线平行； ②构造平行线.

4．直线与平面所成的角

（1）定义：一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足．

过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影．

平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．

（2）规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角等于；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角等于.因此，直线与平面所成的角α的范围是.

5．常用结论（熟记）

（1）若两条平行线中一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．

（2）若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内任何一条直线．

（3）过空间任一点有且只有一条直线与已知平面垂直．

（4）过空间任一点有且只有一个平面与已知直线垂直．

二、平面与平面垂直

1．定义

两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．平面α与平面β垂直，记作.图形表示如下：

2．平面与平面垂直的判定定理

文字语言	一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直. 简记为：线面垂直⇒面面垂直
图形语言
符号语言	l⊥α，⇒α⊥β
作用	判断两平面垂直

3．平面与平面垂直的性质定理

文字语言	两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. 简记为：面面垂直⇒线面垂直
图形语言
符号语言
作用	证明直线与平面垂直

4．二面角

（1）二面角的定义：平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面．

从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．

这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.

（2）二面角的平面角的定义：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则这两条射线构成的角叫做这个二面角的平面角.

（3）二面角的范围：.

5．常用结论（熟记）

（1）两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直．

（2）两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．

（3）如果两个平面互相垂直，那么过第一个平面内的一点且垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．

三、垂直问题的转化关系

考向一 线面垂直的判定与性质

线面垂直问题的常见类型及解题策略：

(1)与命题真假判断有关的问题．

解决此类问题的方法是结合图形进行推理，或者依据条件举出反例否定．

(2)证明直线和平面垂直的常用方法：

①线面垂直的定义；

②判定定理；

③垂直于平面的传递性()；

④面面平行的性质()；

⑤面面垂直的性质．

(3)线面垂直的证明．

证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想．

(4)线面垂直的探索性问题．

①对命题条件的探索常采用以下三种方法：

a．先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；

b．先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明其充分性；

c．把几何问题转化为代数问题，探索命题成立的条件．

②对命题结论的探索常采用以下方法：

首先假设结论存在，然后在这个假设下进行推理论证，如果通过推理得到了合乎情理的结论就肯定假设，如果得到了矛盾的结果就否定假设.

典例1 如图所示，和都是以为直角顶点的等腰直角三角形，且，下列说法中错误的是

A．平面 B．平面

C．平面 D．平面

【答案】D

【解析】易知,所以平面,

又与均为以为直角顶点的等腰直角三角形,所以.

又,所以为等边三角形,

故,

所以,即.

所以平面,

同理平面.

故选D .

1．在正方体中，点在侧面及其边界上运动，并且保持，则动点的轨迹为

A．线段

B．线段

C．的中点与的中点连成的线段

D．的中点与的中点连成的线段

典例2 如图，在三棱柱中，各个侧面均是边长为的正方形，为线段的中点．

（）求证：平面；

（）求证：直线平面；

（）设为线段上任意一点，在内的平面区域（包括边界）是否存在点，使?请说明理由．

【解析】（）∵三棱柱中，各个侧面均是边长为的正方形，

∴，，

∴平面，

又∵平面，

∴，

又底面为等边三角形，为线段的中点，

∴，

又，

∴平面．

（）如图，连接交于点，连接，

则为的中点，

∵是的中点，∴，

又平面，平面，

∴直线平面．

（）在内的平面区域（包括边界）存在点，使，此时在线段上，证明如下：

如图，过作，交线段于点，

由（）可知，平面，

又平面，∴，

由，，得平面，

∵平面，

∴．

2．如图，在正方体中，E为棱的中点，F为棱BC的中点．

（1）求证：AE⊥DA₁；

（2）在线段AA₁上求一点G，使得AE⊥平面DFG？并说明理由．

考向二 面面垂直的判定与性质

判定面面垂直的常见策略：

(1)利用定义(直二面角)．

(2)判定定理：可以通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直．

(3)在运用面面垂直的性质定理时，若没有与交线垂直的直线，则一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，这样就把面面垂直转化为线面垂直，进而转化为线线垂直．

典例3 已知在梯形中，，分别为底上的点，且，，，沿将平面折起至平面，如图.

（1）求证：平面平面；

（2）若，求多面体的体积．

【解析】（1）由平面平面，且知平面．

而平面，所以平面平面.

由，可知，即，

又平面,

所以平面．

又平面，所以平面平面．

（2）依题意知，多面体是三棱台，

易得高为，

两个底面面积分别是和，

故体积为．

典例4 如图,直三棱柱中,分别是的中点,.

（1）证明:平面;

（2）证明:平面平面.

【解析】（1）连接,交于点,连接,则是的中点,

因为是的中点,所以//．

因为平面平面，

所以//平面．

（2）取的中点,连接,

因为是的中点,

所以//且．

显然//,且,

所以//且，

则四边形是平行四边形.

所以//,

因为,所以.

又,

所以直线平面．

因为//,所以直线平面.

因为平面,

所以平面平面

3．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，点O是对角线AC与BD的交点，AB=2，∠BAD=60°，M是PD的中点．

（1）求证：OM∥平面PAB；

（2）求证：平面PBD⊥平面PAC；

（3）当三棱锥C﹣PBD的体积等于时，求PA的长．

4．如图，在三棱柱中，底面为正三角形，底面，，点在线段上，平面平面.

（1）请指出点的位置，并给出证明；

（2）若，求点到平面的距离.

考向三 线面角与二面角

求直线与平面所成的角的方法：

(1)求直线和平面所成角的步骤：

①寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；

②连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角；

③把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角．

(2)求线面角的技巧：

在上述步骤中，其中作角是关键，而确定斜线在平面内的射影是作角的关键，几何图形的特征是找射影的依据，射影一般都是一些特殊的点，比如中心、垂心、重心等．

求二面角大小的步骤：

简称为“一作二证三求”．作平面角时，一定要注意顶点的选择．

典例5 正三棱柱的所有棱长都相等，D是的中点，则直线AD与平面所成角的正弦值为

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】解法一：由正三棱柱的所有棱长都相等，依据题设条件，可知平面ACD，∴，

故为直角三角形．设棱长为1，则有，

∴.

设A到平面的距离为h，则有，

∴，

∴，∴.

设直线AD与平面所成的角为θ，则.

解法二：在正三棱柱中，由D为中点可证⊥平面，如图，作，∴.

又，∴AH⊥平面，∴∠为所求的线面角．

设棱长为2，在中由等面积法得，

∴.

故选B.

典例6 如图，直三棱柱的底面是边长为2的正三角形，分别是的中点.

（1）证明：平面⊥平面；

（2）若直线与平面所成的角为45°，求三棱锥的体积.

【解析】（1）因为三棱柱是直三棱柱，

所以，

又是正三角形的边的中点，

所以，因此平面，

而平面，

所以平面平面.

（2）如图，设的中点为，连接，

因为是正三角形，

所以，

又三棱柱是直三棱柱，

所以，因此平面，于是是直线与平面所成的角.

由题设知，所以，

在中，，

所以，

故三棱锥的体积.

5．已知三棱柱的侧棱与底面垂直，底面是边长为的正三角形，且该三棱柱外接球的表面积为，若为底面的中心，则与平面所成角的大小为

A． B．

C． D．

6．已知四棱锥中，底面，，，，.

（1）当变化时，点到平面的距离是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；

（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.

典例7 已知ABCD是正方形，E是AB的中点，将和分别沿DE、CE折起，使AE与BE重合，A、B两点重合后记为点P，那么二面角的大小为________．

【答案】

【解析】如图，取CD中点F，连接PF、EF.

∵EP⊥PD，EP⊥PC，∴EP⊥平面PCD，∴EP⊥CD.

∵PC=PD，∴PF⊥CD，

又PF∩PE=P，∴CD⊥平面PEF，

又EF⊂平面PEF，∴CD⊥EF，

∴∠PFE为二面角的平面角．

设正方形ABCD的边长为2，

在中，PE=1，EF=2，∴∠PFE=30°.

【名师点睛】（1）二面角的平面角的顶点是二面角棱上任意一点.为了解题方便，可以把其放在某一特殊位置，这要具体问题具体分析.

（2）求二面角的关键是找出（或作出）平面角，再把平面角放到三角形中求解.一般采取垂线法来作平面角，即过二面角的一个半平面内且不在棱上的一点作另一个半平面的垂线，过垂足作棱的垂线，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角.

典例8 在中，，以的中线为折痕，将沿折起，如图所示，构成二面角,在平面内作，且．

（1）求证：∥平面；

（2）如果二面角的大小为，求二面角的余弦值．

【解析】（1）由得，

所以为等腰直角三角形，

由为的中点得，

以的中线为折痕翻折后仍有.

因为，所以∥，

又平面，平面，

所以∥平面．

（2）因为二面角的大小为，所以平面平面，

又平面平面,，

所以平面，因此，

又，，

所以平面，从而．

由题意，

所以在中，．

如图，设中点为，连接BF，

因为，所以，且，

如图，设的中点为，连接FG，BG，则∥，

由得，

所以为二面角的平面角，

如图，连接，在中，因为，所以．

在中，，

于是在中，．

在中，，

所以在中，．

因此二面角的余弦值为.

7．已知菱形的边长为1，，将这个菱形沿折成的二面角，则两点间的距离为

A． B．

C． D．

8．如图，多面体，平面平面，，，，是的中点，是上的点.

（1）若平面，证明：是的中点；

（2）若，，求二面角的平面角的余弦值.

1．下列说法错误的是

A．垂直于同一个平面的两条直线平行

B．若两个平面垂直，则其中一个平面内垂直于这两个平面交线的直线与另一个平面垂直

C．一个平面内的两条相交直线均与另一个平面平行，则这两个平面平行

D．一条直线与一个平面内的无数条直线垂直，则这条直线和这个平面垂直

2．设a，b，c表示三条直线，α，β表示两个平面，则下列命题中不正确的是

A． B．

C． D．

3．如图，三条相交于点P的线段PA，PB，PC两两垂直，P在平面ABC外，PH⊥平面ABC于H，则垂足H是△ABC的

A．外心 B．内心

C．垂心 D．重心

4．若是不同的直线，是不同的平面，则下列命题正确的是

A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若，则

5．如图,A,B,C,D为空间四点,在△ABC中,AB=2,AC=BC=,等边三角形ADB以AB为轴旋转,当平面ADB⊥平面ABC时,CD=

A． B．2

C． D．1

6．如图,在棱长为的正方体中,点、分别是棱、的中点，是底面上（含边界）一动点，且满足，则线段长度的取值范围是

A． B．

C． D．

7．《九章算术》卷五《商功》中有如下问题：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何？问题中“刍甍”指的是底面为矩形的屋脊状的几何体，如图1，该几何体可由图2中的八边形沿，向上折起，使得与重合而成，设网格纸上每个小正方形的边长为1，则此“刍甍”中与平面所成角的正弦值为

A． B．

C． D．

8．如图所示，在直角梯形中，，分别是上的点，，且（如图①）.将四边形沿折起，连接（如图②）.在折起的过程中，下列说法中错误的个数是

①平面；

②四点不可能共面；

③若，则平面平面；

④平面与平面可能垂直.

A．0 B．1

C．2 D．3

9．如图,在矩形ABCD中,AB=2,AD=3,点E为AD的中点,现分别沿BE,CE将△ABE,△DCE翻折,使得点A,D重合于点F,此时二面角E-BC-F的余弦值为

　　　　 （1） （2）

A． B．

C． D．

10．如图，在正方体中，是棱上的动点，下列说法正确的是

A．对任意动点在平面内不存在与平面平行的直线

B．对任意动点在平面内存在与平面垂直的直线

C．当点从运动到的过程中，二面角的大小不变

D．当点从运动到的过程中，点到平面的距离逐渐变大

11．如图,三棱锥,平面平面,若,则△的形状为__________.

12．在四面体中，平面，，，，，为棱上一点，且平面平面，则__________.

13．如图，在直三棱柱中，是的中点，，若是正三角形，则直线和平面所成的角的大小是__________.

14．如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°，F是AC的中点，E是PC上的点，且EF⊥BC，则________.

15．如图所示，在四棱锥中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当DM⊥________时，平面MBD⊥平面PCD.

16．如图所示，在多面体中，四边形是边长为2的菱形，且，平面平面，，，为的中点.

（1）求证：平面；

（2）若为等边三角形，为线段上的一点，求三棱锥的体积.

17．如图，已知四边形是正方形，平面，，，，，分别为，，的中点.

（1）求证：平面；

（2）求证：平面平面.

18．如图，在四棱锥中，，，Q是AD的中点，，，，.

（1）求证：平面平面；

（2）求直线与平面所成角的正切值.

19．如图所示，M，N，P分别是正方体的棱AB，BC，DD₁上的点.

（1）若，求证:无论点P在DD₁上如何移动，总有BP⊥MN;

（2）棱DD₁上是否存在这样的点P，使得平面⊥平面?证明你的结论.

20．在等腰梯形ABCD中，E、F分别是CD、AB的中点，CD＝2，AB＝4，AD＝BC＝.沿EF将梯形AFED折起，使得∠AFB＝60°，如图．

（1）若G为FB的中点，求证：AG⊥平面BCEF；

（2）求二面角C－AB－F的正切值．

21．如图，四边形为矩形，四边形为直角梯形，.

（1）求证:;

（2）求证:平面;

（3）若二面角的大小为,求直线与平面所成的角.

1．（2019年高考浙江卷）设三棱锥V–ABC的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是棱VA上的点（不含端点）．记直线PB与直线AC所成的角为α，直线PB与平面ABC所成的角为β，二面角P–AC–B的平面角为γ，则

A．β<γ，α<γ B．β<α，β<γ

C．β<α，γ<α D．α<β，γ<β

2．（2017浙江）如图，已知正四面体（所有棱长均相等的三棱锥），P，Q，R分别为AB，BC，CA上的点，AP=PB，，分别记二面角D–PR–Q，D–PQ–R，D–QR–P的平面角为，则

A． B．

C． D．

3．（2019年高考全国Ⅱ卷理节选）如图，长方体ABCD–A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是正方形，点E在棱AA₁上，BE⊥EC₁．

（1）证明：BE⊥平面EB₁C₁；

4．（2019年高考全国Ⅲ卷理节选）图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2.

（1）证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；

5．（2019年高考北京卷理节选）如图，在四棱锥P–ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，BC=3．E为PD的中点，点F在PC上，且．

（1）求证：CD⊥平面PAD；

6．（2019年高考江苏卷）如图，在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，D，E分别为BC，AC的中点，AB=BC．

求证：（1）A₁B₁∥平面DEC₁；

（2）BE⊥C₁E．

7．（2018江苏）在平行六面体中，．

求证：（1）平面；

（2）平面平面．

8．（2019年高考浙江卷）如图，已知三棱柱，平面平面,，分别是AC，A₁B₁的中点.

（1）证明：；

（2）求直线EF与平面A₁BC所成角的余弦值.

9．（2018浙江）如图，已知多面体ABCA₁B₁C₁，A₁A，B₁B，C₁C均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，A₁A=4，C₁C=1，AB=BC=B₁B=2．

（Ⅰ）证明：AB₁⊥平面A₁B₁C₁；

（Ⅱ）求直线AC₁与平面ABB₁所成的角的正弦值．

10．（2018新课标全国Ⅰ理科）如图，四边形为正方形，分别为的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且.

（1）证明：平面平面；

（2）求与平面所成角的正弦值.

11．（2017新课标全国Ⅲ理科节选）如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，

∠ABD=∠CBD，AB=BD．

（1）证明：平面ACD⊥平面ABC.

12．（2017江苏）如图，在三棱锥中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD．

求证：（1）EF∥平面ABC；

（2）AD⊥AC．

13．（2017山东理科）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形（及其内部）以边所在直线为旋转轴旋转得到的，是的中点.

（1）设是上的一点，且，求的大小；

（2）当，时，求二面角的大小.

变式拓展

1．【答案】A

【解析】如图，连接，，，在正方体中，有平面，

因为，所以平面，

又点在侧面及其边界上运动，

故点的轨迹为平面与平面的交线段．

故选A．

2．【解析】（1）如图，连接，由正方体的性质可知，，

又，

∴⊥平面，

又平面，

∴.

（2）所求G点即为A₁点，证明如下：

由（1）可知，取CD的中点H，连接AH，EH，如图，

由，可证DF⊥平面AHE，

∵AE⊂平面AHE，

∴DF⊥AE.

又，

∴AE⊥平面，即AE⊥平面DFG.

3．【解析】（1）在中，因为O，M分别是BD，PD的中点，

所以OM∥PB．

又OM⊄ 平面PAB, PB⊂平面PAB，

所以OM∥平面PAB．

（2）因为底面ABCD是菱形，所以BD⊥AC．

因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，

所以PA⊥BD．

又AC∩PA=A，

所以BD⊥平面PAC．

又BD⊂平面PBD，

所以平面PBD⊥平面PAC．

（3）因为底面ABCD是菱形，且AB=2，∠BAD=60°，

所以，

又，三棱锥的高为PA，

所以，解得．

4．【解析】（1）点为线段的中点.

证明如下：取中点为，的中点为，连接，，，

所以，，

所以四边形为平行四边形，

所以.

因为，，所以.

又因为平面，平面，

所以.

又，所以平面，

所以平面，

而平面，

所以平面平面.

（2）由，得.

由（1）可知，点到平面的距离为.

的面积，，

则等腰三角形底边上的高为.

记点到平面的距离为，

由，得，

解得，

故点到平面的距离为.

5．【答案】A

【解析】如图所示，为正三角形的中心，设为的中心，

由题意知：平面，

连结，则即为与平面所成的角.

由题易知线段的中点为外接球的球心，

设外接球的半径为，则，∴，

∴.

在正三角形中，，

∴，

∴.

∴，

∴.

故选A.

6．【解析】（1）由，，知，则，

由平面，平面，得，

由，，平面，

得平面，

则点到平面的距离为一个定值，且.

（2）设直线与平面所成的角为，

由，可知，

又平面，平面，

故，

又，

则平面，

则点到平面的距离为，

由知点与点到平面的距离相等，

则点到平面的距离为，

由知，

故.

7．【答案】B

【解析】菱形ABCD的边长为1，，将这个菱形沿AC折成的二面角，

取AC中点O，连结DO，BO，BD，

则，

，，

是将这个菱形沿AC折成的二面角的平面角，

，

则，

即，D两点间的距离为．

故选B．

8．【解析】（1）设平面平面，

因为平面PBC，平面ADP，所以，

又因为，所以平面PBC，

所以，

所以，

又因为M是AP的中点，所以N是DP的中点.

（2）在平面ABCD内作，垂足为G，

过G作于H，连接AH（如图），

因为平面平面PBC，，

所以平面PBC，则，，

又，所以平面PBC，则，

所以平面，则，

所以为二面角的平面角，

易知，，

又，则，

在中，易知，则，

所以.

即二面角的平面角的余弦值为.

考点冲关

1．【答案】D

【解析】由线面垂直的性质定理知，垂直于同一个平面的两条直线平行，A正确；

由面面垂直的性质定理知，若两个平面垂直，则其中一个平面内垂直于这两个平面交线的直线与另一个平面垂直，B正确；

由面面平行的判定定理知，一个平面内的两条相交直线均与另一个平面平行，则这两个平面平行，C正确；

当一条直线与平面内无数条相互平行的直线垂直时，该直线与平面不一定垂直，D错误，故选D．

2．【答案】D

【解析】对于选项D，可能还有b∥α，或者b在α内，所以D不正确．

3．【答案】C

【解析】连接并延长交于D，连接，， ∴平面，则，又平面，则，又，∴平面，则，同理，故垂足H是△ABC的垂心,选C．

4．【答案】C

【解析】A中，若，平面可能垂直也可能平行或斜交，不正确；

B中，若，平面可能平行也可能相交，不正确；

C中，若，则分别是平面的法线，又，必有，正确；

D中，若，平面可能平行也可能相交，不正确.

故选C．

5．【答案】B

【解析】取AB的中点E,连接DE,CE,因为△ADB是等边三角形,所以DE⊥AB．当平面ADB⊥平面ABC时，因为平面ADB ∩平面ABC=AB，所以DE⊥平面ABC，可知DE⊥CE.由已知可得DE=,EC=1，在Rt△DEC中,CD==2.

6．【答案】D

【解析】因为平面，平面，所以，

又因为所以可得平面，

当点在线段上时，总有，

所以的最大值为，最小值为，

则线段长度的取值范围是，故选D．

7．【答案】A

【解析】如图，取中点，连接，过点作平面，连接，，则为直线与平面所成的角，易知，，，所以，，则.

8．【答案】B

【解析】①连接，取的中点，的中点，连接，易证明四边形是平行四边形，即，所以平面，所以①正确；

②若四点共面，因为，所以平面，可推出，所以，这与已知相矛盾，故四点不可能共面，所以②正确；

③连接，在梯形中，易得，又，所以平面，即，所以平面，则平面平面，所以③正确；

④延长至，使得，连接，易得平面平面，过作于，则平面，若平面平面，则过作直线与平面垂直，其垂足在上，前后矛盾，故④错误.

综上所述，错误的个数是1.故选B．

9．【答案】B

【解析】如图所示,取BC的中点P,连接EP,FP,由题意得BF=CF=2,所以PF⊥BC．

又，

所以EP⊥BC,

所以∠EPF为二面角E-BC-F的平面角,

而，

在△EPF中，,

所以二面角E-BC-F的余弦值为.

10．【答案】C

【解析】因为在平面内，且平行于平面，故A错误；

平面即平面，又平面与平面斜相交，

所以在平面内不存在与平面垂直的直线，故B错误；

平面即平面，平面与平面是确定的平面，

所以二面角的大小不改变，故C正确；

平面即平面，点到平面的距离为定值，故D错误.故选C．

11．【答案】直角三角形

【解析】平面平面，平面平面平面，

平面，，

∴△为直角三角形，故答案为直角三角形.

12．【答案】

【解析】过A作,因为平面平面，且平面平面,

平面，,

又,平面 ,

.

13．【答案】30°.

【解析】如图所示，连接AD，由题意可知即为直线和平面所成的角.

不妨设，则，

则，

即直线和平面所成的角的大小是.

14．【答案】1

【解析】在三棱锥P－ABC中，因为PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°，所以AB⊥平面APC.

因为EF⊂平面PAC，所以EF⊥AB，

因为EF⊥BC，BC∩AB＝B，

所以EF⊥底面ABC，所以PA∥EF，

因为F是AC的中点，E是PC上的点，

所以E是PC的中点，所以.

15．【答案】PC

【解析】由相关定理可知，BD⊥PC.当DM⊥PC时，则有PC⊥平面MBD.

而PC⊂平面PCD，所以平面MBD⊥平面PCD.所以应填PC.

16．【解析】（1）因为，为的中点，所以，

因为平面平面，平面平面，

所以平面.

（2）因为为等边三角形，，所以，

因为，平面，平面，

所以平面.

因为点在线段上，所以点到平面的距离等于点到平面的距离，

因为四边形为菱形，，，

所以，

所以.

17．【解析】（1）如图，分别取的中点，的中点.连接，，，

因为，分别为，的中点，所以，，

因为与平行且相等，所以平行且等于，

故四边形是平行四边形.所以.

又因为平面，平面，

所以平面.

（2）因为平面，平面，所以.

因为，，所以平面.

因为，分别为、的中点，所以.

所以平面.

因为平面，所以平面平面.

18．【解析】（1）如图，连接，

，，是的中点，，

则四边形是平行四边形，.

又，，

，，

，

，，

又平面，平面，

平面，

平面，

平面平面.

（2）由（1）知平面平面，

又平面平面，

，平面，

平面，

则为直线与平面所成的角，

在中，.

故直线与平面所成角的正切值为.

19．【解析】（1）连接BD，则BD⊥AC.

∵ ，

∴MN∥AC，

∴BD⊥MN，

∵DD₁⊥平面ABCD，MN⊂平面ABCD，

∴DD₁⊥MN，

∴MN⊥平面BDD₁ B₁.

∵无论P在DD₁上如何移动，总有BP⊂平面BDD₁ B₁，

∴总有MN⊥BP.

（2）存在点P，且P为DD₁的中点，使得平面APC₁⊥平面A₁ACC₁.

证明如下：

由题意可得BD⊥CC₁，

又BD⊥AC，AC∩CC₁=C，

∴BD⊥平面A₁ACC₁.

连接，与的交点为E，连接PE，则PE∥BD，

∴PE⊥平面A₁ACC₁.

又PE⊂平面APC₁，

∴平面APC₁⊥平面A₁ACC₁.

20．【解析】（1）因为AF＝BF，∠AFB＝60°，

所以为等边三角形．

又G为FB的中点，

所以AG⊥FB．

在等腰梯形ABCD中，E、F分别是CD、AB的中点，

所以EF⊥AB．

于是EF⊥AF，EF⊥BF，

又，

所以EF⊥平面ABF，

因为平面ABF，

所以AG⊥EF.

又，

所以AG⊥平面BCEF.

（2）如图，连接CG，

因为在等腰梯形ABCD中，CD＝2，AB＝4，E、F分别是CD、AB中点，G为FB的中点，

所以EC＝FG＝BG＝1，则四边形CGFE是平行四边形，

从而CG∥EF.

因为EF⊥平面ABF，

所以CG⊥平面ABF.

过点G作GH⊥AB于H，连接CH，

则CH⊥AB，

所以∠CHG为二面角C－AB－F的平面角.

在中，BG＝1，∠GBH＝60°，

所以GH＝.

在中，CG⊥BG，BG＝1，BC＝，

所以CG＝1.

在中，可得，

所以二面角C－AB－F的正切值为.

21．【解析】（1）∵四边形为矩形,∴,

又∵是平面内的两条相交直线,

∴平面,

∵平面,∴.

（2）在上取一点,使,连接,

∵,∴,

∴四边形为平行四边形,

∴,∴,

∴四边形为平行四边形,

∴,

∵平面平面,

∴平面.

（3）∵,∴就是二面角的平面角,

∴,

∵,∴,

∴在直角中,,

过作与的延长线垂直,是垂足,连接ND，

∴在中,,

∵平面平面,∴平面平面,

∴平面,

∴是直线与平面所成的角,

在中,,

∴.

则直线与平面所成的角为.

直通高考

1．【答案】B

【解析】如图，为中点，连接VG，在底面的投影为，则在底面的投影在线段上，过作垂直于于E，连接PE，BD，易得，过作交于，连接BF，过作，交于，则，结合△PFB，△BDH，△PDB均为直角三角形，可得，即；

在Rt△PED中，，即，

综上所述，答案为B.

【名师点睛】本题以三棱锥为载体，综合考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的概念，以及各种角的计算.解答的基本方法是通过明确各种角，应用三角函数知识求解，而后比较大小.而充分利用图形特征，则可事倍功半.常规解法下易出现的错误有，不能正确作图得出各种角，未能想到利用“特殊位置法”，寻求简便解法.

2．【答案】B

【解析】设O为三角形ABC中心，则O到PQ距离最小，O到PR距离最大，O到RQ距离居中，而三棱锥的高相等，因此，所以选B．

3．【解析】（1）由已知得，平面，平面，

故．

又，所以平面．

4．【解析】（1）由已知得ADBE，CGBE，所以ADCG，

故AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面．

由已知得ABBE，ABBC，故AB平面BCGE．

又因为AB平面ABC，所以平面ABC平面BCGE．

5．【解析】（1）因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD．

又因为AD⊥CD，所以CD⊥平面PAD．

6．【解析】（1）因为D，E分别为BC，AC的中点，

所以ED∥AB.

在直三棱柱ABC−A₁B₁C₁中，AB∥A₁B₁，

所以A₁B₁∥ED.

又因为ED⊂平面DEC₁，A₁B₁平面DEC₁，

所以A₁B₁∥平面DEC₁.

（2）因为AB=BC，E为AC的中点，所以BE⊥AC.

因为三棱柱ABC−A₁B₁C₁是直棱柱，所以CC₁⊥平面ABC.

又因为BE⊂平面ABC，所以CC₁⊥BE.

因为C₁C⊂平面A₁ACC₁，AC⊂平面A₁ACC₁，C₁C∩AC=C，

所以BE⊥平面A₁ACC₁.

因为C₁E⊂平面A₁ACC₁，所以BE⊥C₁E.

【名师点睛】本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.

7．【解析】（1）在平行六面体ABCD–A₁B₁C₁D₁中，AB∥A₁B₁．

因为AB平面A₁B₁C，A₁B₁平面A₁B₁C，

所以AB∥平面A₁B₁C．

（2）在平行六面体ABCD–A₁B₁C₁D₁中，四边形ABB₁A₁为平行四边形．

又因为AA₁=AB，所以四边形ABB₁A₁为菱形，

因此AB₁⊥A₁B．

又因为AB₁⊥B₁C₁，BC∥B₁C₁，

所以AB₁⊥BC．

又因为A₁B∩BC=B，A₁B平面A₁BC，BC平面A₁BC，

所以AB₁⊥平面A₁BC．

因为AB₁平面ABB₁A₁，

所以平面ABB₁A₁⊥平面A₁BC．

8．【解析】（1）连接A₁E，因为A₁A=A₁C，E是AC的中点，所以A₁E⊥AC．

又平面A₁ACC₁⊥平面ABC，A₁E平面A₁ACC₁，

平面A₁ACC₁∩平面ABC=AC，

所以，A₁E⊥平面ABC，则A₁E⊥BC．

又因为A₁F∥AB，∠ABC=90°，故BC⊥A₁F．

所以BC⊥平面A₁EF．

因此EF⊥BC．

（2）取BC中点G，连接EG，GF，则EGFA₁是平行四边形．

由于A₁E⊥平面ABC，故A₁E⊥EG，所以平行四边形EGFA₁为矩形．

由（1）得BC⊥平面EGFA₁，则平面A₁BC⊥平面EGFA₁，

所以EF在平面A₁BC上的射影在直线A₁G上．

连接A₁G交EF于O，则∠EOG是直线EF与平面A₁BC所成的角（或其补角）．

不妨设AC=4，则在Rt△A₁EG中，A₁E=2，EG=.

由于O为A₁G的中点，故，

所以．

因此，直线EF与平面A₁BC所成角的余弦值是．

9．【解析】（Ⅰ）由得，

所以.

故.

由，得，

由得，

由，得，

所以，故.

因此平面.

（Ⅱ）如图，过点作，交直线于点，连结.

由平面得平面平面，

由得平面，

所以是与平面所成的角.

由得，

所以，

故.

因此，直线与平面所成的角的正弦值是.

10．【解析】（1）由已知可得，BF⊥PF，BF⊥EF，所以BF⊥平面PEF.

又平面ABFD，所以平面PEF⊥平面ABFD.

（2）在平面DEF中，过P作PH⊥EF于点H，连接DH，如图，

由于EF为平面ABCD和平面PEF的交线，PH⊥EF，

则PH⊥平面ABFD，故PH⊥DH.

则与平面所成的角为.

在三棱锥P–DEF中，可以利用等体积法求PH.

因为DE∥BF且PF⊥BF，所以PF⊥DE，

又△PDF≌△CDF，所以∠FPD=∠FCD=90°，

所以PF⊥PD，

由于DE∩PD=D，则PF⊥平面PDE，

故，

因为BF∥DA且BF⊥平面PEF，

所以DA⊥平面PEF，

所以DE⊥EP.

设正方形的边长为2a，则PD=2a，DE=a，

在△PDE中，，

所以，

故，

又，

所以，

所以在△PHD中，，

故与平面所成角的正弦值为.

11．【解析】（1）由题设可得，，从而.

又是直角三角形，

所以.

取AC的中点O，连接DO，BO，则DO⊥AC，DO=AO.

又由于是正三角形，故.

所以为二面角的平面角.

在中，.

又，

所以，

故.

所以平面ACD⊥平面ABC.

12．【解析】（1）在平面内，因为AB⊥AD，，所以．

又因为平面ABC，平面ABC，

所以EF∥平面ABC．

（2）因为平面ABD⊥平面BCD，平面平面BCD=BD，平面BCD，，

所以平面．

因为平面，

所以．

又AB⊥AD，，平面ABC，平面ABC，

所以AD⊥平面ABC，

又因为AC平面ABC，

所以AD⊥AC．

【名师点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：

（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；

（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；

（3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直．

13．【解析】（1）因为，，，平面，，

所以平面，

又平面，

所以，

又，

因此

（2）取的中点，连接，，.

因为，

所以四边形为菱形，

所以.

取中点，连接，，.

则，，

所以为所求二面角的平面角.

又，所以.

在中，由于，

由余弦定理得，

所以，因此为等边三角形，

故所求的角为.

 

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