2020年高考各科总复习考点一遍过讲义考点35 直线的位置关系-备战2020年高考数学（理）考点一遍过

考点35 直线的位置关系

（1）能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.

（2）能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.

（3）掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.

一、两条直线的位置关系

	斜截式	一般式
与相交
与垂直
与平行	且	或
与重合	且

注意：（1）当两条直线平行时，不要忘记它们的斜率不存在时的情况；（2）当两条直线垂直时，不要忘记一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为零的情况．

二、两条直线的交点

对于直线l₁：A₁x＋B₁y＋C₁＝0，l₂：A₂x＋B₂y＋C₂＝0，

与的交点坐标就是方程组的解．

（1）方程组有唯一解与相交，交点坐标就是方程组的解；

（2）方程组无解；

（3）方程组有无数解与重合．

三、距离问题

（1）平面上任意两点P₁(x₁，y₁)，P₂(x₂，y₂)间的距离|P₁P₂|＝．

（2）点P₀(x₀，y₀)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝．

（3）两条平行线Ax＋By＋C₁＝0与Ax＋By＋C₂＝0(C₁≠C₂)间的距离d＝．

四、对称问题

（1）中心对称：点为点与的中点，中点坐标公式为．

（2）轴对称：若点关于直线l的对称点为，则．

考向一 两直线平行与垂直的判断及应用

由两直线平行或垂直求参数的值：在解这类问题时，一定要“前思后想”.“前思”就是在解题前考虑斜率不存在的可能性，是否需要分情况讨论；“后想”就是在解题后，检验答案的正确性，看是否出现增解或漏解.

典例1 已知直线经过，两点，直线的倾斜角为，那么与

A．垂直 B．平行

C．重合 D．相交但不垂直

【答案】A

【解析】直线经过，两点，

直线的斜率：，

直线的倾斜角为，直线的斜率，

，.

故选A.

典例2 若直线与直线互相平行，则的值为

A．4 B．

C．5 D．

【答案】C

【解析】直线的斜率为，在纵轴上的截距为，

因此若直线与直线互相平行，则一定有直线的斜率为，在纵轴上的截距不等于，

于是有且，解得，

故选C．

【名师点睛】本题主要考查两直线平行的充要条件，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于简单题.直接根据两直线平行的充要条件，列出关于的方程求解即可.

1．“”是“直线和直线垂直”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

2．已知直线，．

（1）若，求实数的值；

（2）当时，求过直线与的交点，且与原点的距离为1的直线的方程.

考向二 两直线的相交问题

1．两直线交点的求法

求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程组成的方程组，以方程组的解为点的坐标，即交点的坐标.

2．求过两直线交点的直线方程的方法

求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.也可借助直线系方程，利用待定系数法求出直线方程，这样能简化解题过程.

典例3 已知直线l经过直线2x-y-3=0和4x-3y-5=0的交点P，且垂直于直线2x+3y+5=0，求直线l的方程.

【解析】方法一：由,解得,即点P的坐标为(2,1),

因为直线l与直线2x+3y+5=0垂直,所以直线l的斜率为,

由点斜式得直线l的方程为3x-2y-4=0.

方法二：由,解得,即点P的坐标为(2,1)，

因为直线l与直线2x+3y+5=0垂直，所以可设直线l的方程为3x-2y+c=0，把点P的坐标代入得3×2–2×1+c=0，解得c=–4.

故直线l的方程为3x-2y-4=0.

方法三：直线l的方程可设为2x-y-3+λ(4x-3y-5)=0(其中λ为常数),即(2+4λ)x-(1+3λ)y-5λ-3=0,

因为直线l与直线2x+3y+5=0垂直,所以·(–)=–1,解得λ=1.

故直线l的方程为3x-2y-4=0.

3．当为何值时，直线与直线的交点在第一象限？

考向三 距离问题

1.求两点间的距离，关键是确定两点的坐标，然后代入公式即可，一般用来判断三角形的形状等.

2.解决点到直线的距离有关的问题，应熟记点到直线的距离公式，若已知点到直线的距离求直线方程，一般考虑待定斜率法，此时必须讨论斜率是否存在.

3.求两条平行线间的距离，要先将直线方程中x，y的对应项系数转化成相等的形式，再利用距离公式求解.也可以转化成点到直线的距离问题.

典例4 （1）若点A(2，3)，B(－4，5)到直线l的距离相等，且直线l过点P(－1,2)，则直线l的方程为_________；

（2）若直线m被两直线l₁：x－y＋1＝0与l₂：x－y＋3＝0所截得的线段的长为，则直线m的倾斜角θ(θ 为锐角)为_________．

【答案】（1）x＋3y－5＝0或x＝－1；（2）15°或75°

【解析】（1）方法一：当直线l的斜率不存在时，直线l：x＝－1，点A，B到直线l的距离相等，符合题意．

当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0．

由题意知，即|3k－1|＝|－3k－3|，解得k＝．

∴直线l的方程为y－2＝(x＋1)，即x＋3y－5＝0．

综上，直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1．

方法二：当AB∥l时，有k_l＝k_AB＝，直线l的方程为y－2＝(x＋1)，即x＋3y－5＝0．

当l过AB的中点时，由AB的中点为(－1,4)，得直线l的方程为x＝－1．

综上，直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1．

（2）显然直线l₁∥l₂，直线l₁，l₂之间的距离，

设直线m与l₁，l₂分别相交于点B，A，则|AB|=，

过点A作直线l垂直于直线l₁，垂足为C，则|AC|=d=，

在中，sin∠ABC=，所以∠ABC=30°，

又直线l₁的倾斜角为45°，所以直线m的倾斜角为45°－30°=15°或45°+30°=75°，

故直线m的倾斜角θ =15°或75°．

4．若直线与平行，则两直线间的距离为

A． B．

C． D．

5．已知点,点在直线上运动．当最小时，点的坐标是

A． B．

C． D．

考向四 对称问题

解决对称问题要抓住以下两点：

（1）已知点与对称点的连线与对称轴垂直；

（2）以已知点和对称点为端点的线段的中点在对称轴上．

典例5 已知直线l:3x-y+3=0,求:

（1）点P(4,5)关于直线l的对称点的坐标;

（2）直线x-y-2=0关于直线l对称的直线方程.

【解析】设P(x,y)关于直线l:3x-y+3=0的对称点为P’(x’,y’).

∵k_PP’·k_l=−1，

∴·3=–1，　①

又PP’的中点在直线3x-y+3=0上，

∴3·-+3=0.　②

联立①②，解得.

（1）把x=4,y=5代入③④,得x’=–2,y’=7,

∴P(4,5)关于直线l的对称点P’的坐标为(–2,7).

（2）用③④分别代换x-y-2=0中的x,y，得关于l对称的直线方程为，

即7x+y+22=0.

6．与直线关于轴对称的直线方程为

A． B．

C． D．

7．已知点为直线上任意一点，，则的取值范围是

A． B．

C． D．

考向五 直线过定点问题

求解含有参数的直线过定点问题，有两种方法：

（1）任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解.

（2）分项整理，含参数的并为一项，不含参数的并为一项，整理成等号右边为零的形式，然后令含参数的项和不含参数的项分别为零，解方程组所得的解即为所求定点.

典例6 求证：不论m取什么实数，直线(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)＝0都经过一个定点，并求出这个定点的坐标．

【答案】详见解析.

【解析】证法一：对于方程(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)＝0，

令m＝0，得x－3y－11＝0；令m＝1，得x＋4y＋10＝0.

解方程组得两直线的交点为(2，－3)．

将点(2，－3)代入已知直线方程左边，得(2m－1)×2＋(m＋3)×(－3)－(m－11)＝4m－2－3m－9－m＋11＝0.

这表明不论m为什么实数，所给直线均经过定点(2，－3)．

证法二：以m为未知数，整理为(2x＋y－1)m＋(－x＋3y＋11)＝0.

由于m取值的任意性，所以，解得x＝2，y＝－3.

所以所给的直线不论m取什么实数，都经过定点(2，－3)．

8．已知点，点，直线l：（其中）．

（1）求直线l所经过的定点P的坐标；

（2）若分别过A，B且斜率为的两条平行直线截直线l所得线段的长为，求直线的方程．

1．过两直线3x＋y−1=0与x＋2y−7=0的交点且与第一条直线垂直的直线方程是

A．x−3y＋7=0 B．x−3y＋13=0

C．3x−y＋7=0 D．3x−y−5=0

2．过点和点的直线与过点和点的直线的位置关系是

A．平行 B．重合

C．平行或重合 D．相交或重合

3．在平面直角坐标系内有两个点，，若在轴上存在点，使，则点的坐标是

A． B．

C． D．或

4．直线与直线垂直，垂足为，则

A． B．

C． D．

5．若点到直线的距离为，则

A． B．

C． D．

6．若直线l₁:y=k(x−4)与直线l₂关于点(2,1)对称,则直线l₂过定点

A．(0,4) B．(0,2)

C．(−2,4) D．(4,−2)

7．点P（-3，4）关于直线x+y-2=0的对称点Q的坐标是

A． B．

C． D．

8．若三条直线，，相交于同一点，则点到原点的距离的最小值为

A． B．

C． D．

9．设直线与直线的交点为，分别为上任意两点，点为的中点，若，则的值为

A． B．

C． D．

10．设两条直线的方程分别为，，已知a，b是方程的两个实根，且，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是

A．， B．，

C．， D．，

11．已知点P(m,n)到点A(0,4)和B(–8,0)的距离相等,则()^m+()ⁿ的最小值为

A．-3 B．3

C．16 D．4

12．已知三条直线，，不能构成三角形，则实数的取值集合为

A． B．

C． D．

13．已知直线：恒过点，直线：上有一动点，点的坐标为.当取得最小值时，点的坐标为

A． B．

C． D．

14．若直线与直线互相垂直，则实数          .

15．若直线与直线关于直线对称，则直线恒过定点________．

16．已知实数x，y满足5x＋12y＝60，则的最小值等于__________.

17．一张坐标纸对折一次后，点与点重叠，若点与点重叠，则__________．

18．设是函数图象上的动点，当点到直线的距离最小时，_________.

19．一条光线从)发出，到轴上的点后，经轴反射通过点，则反射光线所在直线的斜率为________．

20．已知l₁,l₂是分别经过A(2,1),B(0,2)两点的两条平行直线,当l₁,l₂之间的距离最大时,直线l₁的方程是          .

21．已知直线与相交于点

（1）求交点的坐标；

（2）设直线，分别求过点且与直线平行和垂直的直线方程.

22．已知直线.

（1）若，求实数的值；

（2）当时，求直线与之间的距离.

23．在中，，边上的高所在的直线方程为，边上中线所在的直线方程为.

（1）求点的坐标；

（2）求直线的方程.

24．光线通过点，在直线上反射，反射光线经过点.

（1）求点关于直线对称点的坐标；

（2）求反射光线所在直线的一般式方程．

25．已知直线，点.求：

（1）直线关于直线的对称直线的方程；

（2）直线关于点对称的直线的方程.

26．已知两条直线l₁:ax-by+4=0和l₂:(a-1)x+y-b=0.

（1）若l₁⊥l₂,且l₁过点(–3,–1),求实数a,b的值.

（2）是否存在实数a,b,使得l₁∥l₂,且坐标原点到这两条直线的距离相等?并说明理由.

27．已知三条直线l₁:2x−y+a=0(a>0)，直线l₂:4x−2y−1=0和直线l₃:x+y−1=0，且l₁和l₂的距离是.

（1）求a的值.

（2）能否找到一点P，使得P点同时满足下列三个条件：

①P是第一象限的点；

②P点到l₁的距离是P点到l₂的距离的；

③P点到l₁的距离与P点到l₃的距离之比是?

若能，求出P点坐标；若不能，请说明理由.

变式拓展

1．【答案】A

【解析】当时，直线的斜率为，直线的斜率为，则两直线垂直；

当时，两直线也垂直，

所以“”是“直线和直线垂直”的充分不必要条件，故选A.

【名师点睛】本题主要考查充分条件与必要条件，两条直线垂直与斜率的关系，属于简单题.对直线位置关系的考查是热点命题方向之一，这类问题以简单题为主，主要考查两直线垂直与两直线平行两种特殊关系：在斜率存在的前提下，（1）；（2），这类问题尽管简单却容易出错，特别是容易遗忘斜率不存在的情况，这一点一定不能掉以轻心.

2．【解析】（1）因为，所以，故.

（2）当时，即时，直线与的交点的坐标为，

设过交点的直线为（当直线的斜率不存在时显然不满足距离为1的条件），根据点到直线的距离公式有：，解得.

所以直线的方程为.

3．【解析】由得，

即两直线的交点坐标为，

，解得：.

4．【答案】C

【解析】由可得，解得，

所以，，

则两条平行直线与间的距离．

故选C．

5．【答案】B

【解析】因为点在直线上运动，所以设点的坐标为，由两点间的距离公式可知：，显然时，有最小值，最小值为，此时点的坐标是，故选B．

6．【答案】A

【解析】设对称直线上的点为，

则其关于轴的对称点在直线上，

所以，即，

故选A．

7．【答案】A

【解析】当为坐标原点时，，此时，为最小值.

设关于对称的点为，

则：，解得，此时，

又，得直线平行于，

可知必构成三角形，

，

即，

综上所述：.

故选A.

8．【解析】（1）直线方程可化为：，

由解得即直线l过定点.

（2）由平行线的斜率为得其倾斜角为，

又水平线段，

所以两平行线间的距离为，

而直线被截线段长为，

所以被截线段与平行线所成的夹角为，即直线与两平行线所成的夹角为，

所以直线的倾斜角为或．

由（1），知直线l过定点，

则所求直线为或．

【名师点睛】本题考查了直线方程过定点问题，平行线间的距离及夹角问题，主要是依据图象判断各条直线的位置关系，属于中档题.

（1）根据直线过定点，化简直线方程，得到关于的表达式，令系数与常数分别为0即可求得过定点的坐标.

（2）根据平行线间的距离公式，求得平行线间的距离；由倾斜角与直线的夹角关系，求得直线的方程.

考点冲关

1．【答案】B

【解析】由，得，即交点为(−1,4)．

∵第一条直线的斜率为−3，且与所求直线垂直，∴所求直线的斜率为.

∴由点斜式方程得所求直线方程是y−4=(x＋1)，即x−3y＋13=0.

2．【答案】C

【解析】由题意知：，，，

当时，与没有公共点，，

当时，与有公共点，∴与重合，

∴与平行或重合.

故选C.

3．【答案】D

【解析】设，则，，

∵，，则，

则：，解得：或，

点的坐标为或.

故选D.

4．【答案】B

【解析】∵直线与直线垂直，∴，∴，

∴直线即为．

将点的坐标代入上式可得，解得．

将点的坐标代入方程得，解得．

∴．

故选B．

【名师点睛】本题考查两直线的位置关系及其应用，考查学生的应用意识及运算能力，解题的关键是灵活运用所学知识解题，即明确点是两直线的交点．根据两直线垂直可得，然后将点的坐标代入直线可得，同理可得，于是可得的值．

5．【答案】B

【解析】由题意得.

故选B.

6．【答案】B

【解析】因为直线l₁:y=k(x−4)过定点(4,0)，所以原问题转化为求(4,0)关于(2,1)的对称点.设直线l₂过定点(x,y)，则，解得x=0,y=2.故直线l₂过定点(0,2).

7．【答案】B

【解析】设点P（-3，4）关于直线l：x+y-2=0的对称点Q的坐标为(x,y)，

可得PQ中点的坐标为（），

利用对称性可得：，且，

解得：，y=5，

点Q的坐标为（-2，5）.

故选B．

8．【答案】A

【解析】联立，解得，．

∵三条直线，，相交于同一点，

∴．

则点到原点的距离的最小值为原点到直线的距离．

故选A．

9．【答案】A

【解析】根据题意画出图形，如图所示：

直线与直线的交点为，为的中点，

若，则即解得．

故选A．

10．【答案】A

【解析】是方程的两个实根，，，两条直线之间的距离，，，，，

两条直线之间的距离的最大值和最小值分别为，.

故选A.

【名师点睛】本题考查了平行线之间的距离的求法，函数的最值的求法，考查了计算能力，注意之间的关系，利用其关系进行转化，属于中档题.

11．【答案】C

【解析】因为点P(m,n)到点A(0,4)和B(–8,0)的距离相等,所以=,即2m+n=–6,

又()^m>0,()ⁿ>0,所以()^m+()ⁿ≥2=2=2=16,

当且仅当,即2m=n=–3时取等号.

12．【答案】D

【解析】因为三条直线，，不能构成三角形，所以直线与或平行，或者直线过与的交点，直线与，分别平行时，，或，直线过与的交点时，，所以实数的取值集合为.

故选D.

13．【答案】C

【解析】直线：，即，

令，求得，，可得该直线恒过点.

直线：上有一动点，点的坐标为，

故、都在直线：的上方．

点关于直线：的对称点为，

则直线的方程为，即.

联立，求得，

可得当取得最小值时，点的坐标为．

故选C．

14．【答案】

【解析】由题得，,解得.

故答案为.

15．【答案】

【解析】直线经过定点，点关于直线对称的点为，

∴点在直线上，即直线恒过定点，

故答案为.

16．【答案】

【解析】因为实数x，y满足5x＋12y＝60，所以表示原点到直线5x＋12y＝60上点的距离．

所以的最小值表示原点到直线5x＋12y＝60的距离．

容易计算，即所求的最小值为．

17．【答案】

【解析】设线段的中点为，则点，则对折后,对折直线l的方程为;

设直线的方程为，∵点在直线上，∴，则直线的方程为;

设直线与直线的交点为则解方程组得.即，

则，∴.

18．【答案】

【解析】是函数图象上的动点，则点到直线的距离为

∴当时，取得最小值．

故答案为．

【名师点睛】本题考查了点到直线的距离公式应用问题，是基础题．由点到直线的距离公式求得的关系式，从而求得距离最小时n的值．

19．【答案】−2

【解析】如图所示：

作点关于轴的对称点，则点在直线上，由对称性可知，

则光线所在直线的斜率，故答案为.

【名师点睛】本题考查的是反射定律，以镜面反射为背景的问题，实质就是对称问题，求解这类问题一般要转化为求对称点的问题，判断点在直线上，是解题的关键.

20．【答案】2x-y-3=0

【解析】由平面几何知识,得当l₁⊥AB时,l₁,l₂之间的距离最大.

∵A(2,1),B(0,2),∴k_AB=–,=2.

则直线l₁的方程是y-1=2(x-2),即2x-y-3=0.

21．【解析】（1）由 ，得  ，

.

（2）与平行直线方程，即.

与垂直的直线方程，即.

22．【解析】（1）由知，解得.

（2）当时，有,解得，

，即，

所求距离为=.

【名师点睛】本题考查直线与直线之间的位置关系.解答本题时要注意：

（1）利用直线垂直，结合斜率之间的关系，建立方程，求解实数的值；

（2）利用直线平行，确定参数的值，利用平行直线之间的距离公式，求值计算.

23．【解析】（1）边上的高为，故直线的斜率为，

所以直线的方程为，

即，

因为直线的方程为，

所以 解得，

所以.

（2）设，由为中点，得的坐标为，

则，解得，

所以，

又因为，所以直线的方程为，

即直线的方程为.

24．【解析】（1）设点关于直线l的对称点为，则，

解得，

即点关于直线l的对称点为．

（2）由于反射光线所在直线经过点和，

所以反射光线所在直线的方程为即.

25．【解析】（1）在直线上取一点，

则关于直线的对称点必在上.

设对称点为，则

解得.

设与的交点为，则由得.

又∵经过点，

∴由两点式得直线的方程为.

（2）设为上任意一点，则关于点的对称点为.

∵在直线上，

∴，即.

故直线的方程为.

26．【解析】（1）由已知可得l₂的斜率存在,为k₂=1-a.

若k₂=0,则1-a=0,a=1.

∵l₁⊥l₂,

∴直线l₁的斜率必不存在,即b=0.

又l₁过点(–3,–1),

∴–3a+4=0,即a=(矛盾).

∴此种情况不存在,

∴k₂≠0,直线l₁的斜率存在,设为k₁.

∵k₂=1-a,k₁=,l₁⊥l₂,

∴k₁k₂=–1,即(1-a)=–1.　①

又l₁过点(–3,–1),

∴–3a+b+4=0.　②

由①②联立,解得a=2,b=2.

（2）不存在,理由如下:

∵l₂的斜率存在,l₁∥l₂,

∴直线l₁的斜率存在.

又坐标原点到这两条直线的距离相等,

∴l₁,l₂在y轴上的截距互为相反数,即=-b,该方程无实数解.

∴不存在满足条件的实数a,b，使得l₁∥l₂,且坐标原点到这两条直线的距离相等.

27．【解析】（1）l₂的方程即为，

∴l₁和l₂的距离d=，

∴.

∵a>0,

∴a=3.

（2）设点P(x₀,y₀)，

若P点满足条件②，则P点在与l₁和l₂平行的直线l′:2x−y+c=0上，且,

即c=或c=.

∴2x₀−y₀+或2x₀−y₀+.

若点P满足条件③，由点到直线的距离公式，

∴x₀−2y₀+4=0或3x₀+2=0.

由P在第一象限，∴3x₀+2=0不合题意.

联立方程2x₀−y₀+和x₀−2y₀+4=0，解得x₀=−3,y₀=,应舍去.

由2x₀−y₀+与x₀−2y₀+4=0联立，解得x₀=,y₀=.

所以P()即为同时满足三个条件的点.

【名师点睛】本题考查了直线与直线的平行关系、平行线间的距离、点到直线的距离等，关键计算量比较大，注意不要算错，属于中档题.

（1）根据两条直线是平行关系，利用两条平行线的距离公式即可求得a的值.

（2）根据点到直线的距离公式，讨论当P点满足②与③两种条件下求得参数的取值，并注意最后结果的取舍.

 

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