2020年高考各科总复习考点一遍过讲义考点37 直线与圆的位置关系-备战2020年高考数学（理）考点一遍过

考点37 直线与圆的位置关系

（1）能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系.

（2）能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.

（3）初步了解用代数方法处理几何问题的思想.

一、直线与圆的三种位置关系

（1）直线与圆相离，没有公共点；

（2）直线与圆相切，只有一个公共点；

（3）直线与圆相交，有两个公共点．

二、直线与圆的位置关系的判断方法

判断方法	直线与圆的位置关系
几何法：由圆心到直线的距离d与半径长r的大小关系来判断		直线与圆相离
		直线与圆相切
		直线与圆相交
代数法：联立直线与圆的方程，消元后得到关于x（或y）的一元二次方程，根据一元二次方程的解的个数来判断		方程无实数解，直线与圆相离
		方程有唯一的实数解，直线与圆相切
		方程有两个不同的实数解，直线与圆相交

三、圆与圆的位置关系

两圆的位置关系
外切	相切	两圆有唯一公共点
内切
内含	相离	两圆没有公共点
外离
相交		两圆有两个不同的公共点

四、圆与圆位置关系的判断

圆与圆的位置关系的判断方法有两种：

（1）几何法：由两圆的圆心距d与半径长R，r的关系来判断（如下图，其中）．

（2）代数法：设圆C₁：x²+y²+D₁x+E₁y+F₁=0 ①，圆C₂：x²+y²+D₂x+E₂y+F₂=0 ②，

联立①②，如果该方程组没有实数解，那么两圆相离； 如果该方程组有两组相同的实数解，那么两圆相切； 如果该方程组有两组不同的实数解，那么两圆相交．

五、两圆相交时公共弦所在直线的方程

设圆C₁：x²+y²+D₁x+E₁y+F₁=0 ①，圆C₂：x²+y²+D₂x+E₂y+F₂=0 ②，

若两圆相交，则有一条公共弦，由①－②，得（D₁－D₂）x+（E₁－E₂）y+F₁－F₂=0 ③．

方程③表示圆C₁与圆C₂的公共弦所在直线的方程．

考向一 直线与圆的位置关系

判断直线与圆的位置关系时，通常用几何法，其步骤是：

（1）明确圆心C的坐标（a,b）和半径长r，将直线方程化为一般式；

（2）利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离d；

（3）比较d与r的大小，写出结论.

典例1 若直线:与圆:相切,则直线与圆:的位置关系是

A．相交 B．相切

C．相离 D．不确定

【答案】A

【解析】因为直线:与圆:相切，所以，解得，因为，所以，所以直线的方程为，圆D的圆心到直线的距离，所以直线与圆相交.故选A.

【名师点睛】本题考查了直线与圆的位置关系及点到直线的距离，属于中档题.判定直线与圆的位置关系可以联立方程，利用方程组的解的个数判断位置关系，也可以转化为判断圆心到直线的距离与半径的大小关系来确定直线与圆位置关系.求解本题时，直线与圆相切转化为圆心到直线的距离等于半径，求出斜率，再根据圆的圆心到直线的距离，判断其与直线的关系.

1．已知半圆与直线有两个不同交点，则实数k的取值范围是

A． B．

C． D．

考向二 圆与圆的位置关系

判断圆与圆的位置关系时，一般用几何法，其步骤是：

（1）确定两圆的圆心坐标和半径长；

（2）利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d，求；

（3）比较的大小，写出结论.

典例2 已知圆的方程为，圆的方程为，那么这两个圆的位置关系不可能是

A．外离 B．外切

C．内含 D．内切

【答案】C

【解析】因为圆的方程为，所以圆的圆心坐标为，半径为2.又因为圆的方程为，所以圆的圆心坐标为，半径为，因此有，两圆的半径和为，半径差的绝对值为，故两圆的圆心距不可能小于两圆的半径差的绝对值，不可能是内含关系，故本题选C.

【名师点睛】本题考查了圆与圆的位置关系的判断，求出圆心距的最小值是解题的关键.求解时，分别求出两圆的圆心坐标和半径，求出圆心距，可以求出圆心距的最小值，然后与两圆半径的和、差的绝对值进行比较，最后得出答案.

2．圆心为的圆与圆相外切，则的方程为

A． B．

C． D．

考向三 圆的弦长问题

1．涉及直线被圆截得的弦长问题，一般有两种求解方法：

一是利用半径长r、弦心距d、弦长l的一半构成直角三角形，结合勾股定理求解；

二是若斜率为k的直线l与圆C交于两点，则.

2．求两圆公共弦长一般有两种方法：

一是联立两圆的方程求出交点坐标，再利用两点间的距离公式求解；

二是求出两圆公共弦所在直线的方程，转化为直线被圆截得的弦长问题.

典例3 已知圆．

（1）若，求圆的圆心坐标及半径；

（2）若直线与圆交于，两点，且，求实数的值．

【答案】（1）圆心坐标为，半径为；（2）.

【解析】（1）当时，，化简得，

所以圆的圆心坐标为，半径为.

（2）圆:，

设圆心到直线的距离为，则，

因为，

所以，即，

所以.

所以.

3．已知圆截直线所得弦的长度小于6，则实数的取值范围为

A． B．

C． D．

考向四 圆的切线问题

1．求过圆上的一点的切线方程：

先求切点与圆心连线的斜率k，若k不存在，则由图形可写出切线方程为;若,则由图形可写出切线方程为;若k存在且k≠0，则由垂直关系知切线的斜率为，由点斜式方程可求切线方程.

2．求过圆外一点的圆的切线方程：

（1）几何方法

当斜率存在时，设为k，则切线方程为，即.由圆心到直线的距离等于半径长，即可得出切线方程.

（2）代数方法

当斜率存在时，设为k，则切线方程为，即,代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由,求得k,切线方程即可求出.

3．在求过一定点的圆的切线方程时，应首先判断定点与圆的位置关系，若点在圆上，则该点为切点，切线只有一条；若点在圆外，切线有两条；若点在圆内，则切线不存在．

典例4 已知点，点M（3，1），圆C：（x－1）²＋（y－2）²＝4．

（1）求过点P的圆C的切线方程；

（2）求过点M的圆C的切线方程，并求出切线长．

【答案】（1）；（2）过点M的圆C的切线方程为x－3=0或3x－4y－5＝0，切线长为1.

【解析】由题意得圆心C（1，2），半径长r＝2．

（1）因为，

所以点P在圆C上．

又，

所以切线的斜率，

所以过点P的圆C的切线方程是，即．

（2）因为，所以点M在圆C外部．

当过点M的直线斜率不存在时，直线方程为x＝3，

又点C（1，2）到直线x＝3的距离d=3－1=2=r，

所以直线x＝3是圆的一条切线．

当切线的斜率存在时，设切线方程为y－1＝k（x－3），即kx－y＋1－3k＝0，

则圆心C到切线的距离d=，解得k＝，

所以切线方程为y－1＝（x－3），即3x－4y－5＝0．

综上可得，过点M的圆C的切线方程为x－3=0或3x－4y－5＝0．

因为|MC|=，

所以过点M的圆C的切线长为．

4．已知为直线上一点，过作圆的切线，则切线长最短时的切线方程为__________．

1．“”是“直线与圆相切”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

2．已知集合，则中的元素的个数为

A．个 B．个

C．个 D．无数个

3．圆心为点，并且截直线所得的弦长为的圆的方程为

A． B．

C． D．

4．已知在平面直角坐标系中，圆：与圆：交于，两点，若，则实数的值为

A．1 B．2

C．−1 D．−2

5．已知圆，直线．当实数时，圆上恰有个点到直线的距离为的概率为

A． B．

C． D．

6．已知两点，（），若曲线上存在点，使得，则正实数的取值范围为

A． B．

C． D．

7．动圆M与圆外切，与圆内切，则动圆圆心M的轨迹方程是

A． B．

C． D．

8．已知直线与圆相交于，，且为等腰直角三角形，则实数的值为

A．或 B．

C．或 D．

9．已知动直线与圆相交于两点，且满足，点为直线上的一点，且满足，若是线段的中点，则的值为

A． B．

C． D．

10．过点且与圆相切的直线方程为________．

11．圆截直线所得的弦长为8，则的值是________．

12．直线与圆交于两点，过分别作轴的垂线与轴交于两点，若，则整数__________．

13．已知点，，若圆上存在不同的两点，使得，且，则的取值范围是________．

14．已知动圆与直线相切于点，圆被轴所截得的弦长为，则满足条件的所有圆的半径之积是________．

15．如图，已知以点为圆心的圆与直线相切．过点的动直线与圆A相交于M，N两点，Q是的中点，直线与相交于点P．

（1）求圆A的方程；

（2）当时，求直线的方程．

16．已知圆的圆心坐标为点为坐标原点，轴、轴被圆截得的弦分别为、.

（1）证明：的面积为定值；

（2）设直线与圆交于两点，若，求圆的方程.

17．已知圆关于直线对称的圆为.

（1）求圆的方程；

（2）过点作直线与圆交于两点，是坐标原点，是否存在这样的直线，使得在平行四边形中？若存在，求出所有满足条件的直线的方程；若不存在，请说明理由.

1．（2018北京理）在平面直角坐标系中，记d为点P（cos θ，sin θ）到直线的距离，当θ，m变化时，d的最大值为

A．1 B．2

C．3 D．4

2．（2018新课标Ⅲ理）直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是

A． B．

C． D．

3．（2019年高考浙江卷）已知圆的圆心坐标是，半径长是.若直线与圆C相切于点，则=___________，=___________．

4．（2018江苏）在平面直角坐标系中，A为直线上在第一象限内的点，，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若，则点A的横坐标为________．

5．（2018天津理）已知圆的圆心为C，直线(为参数)与该圆相交于A，B两点，则的面积为 .

6．（2017江苏）在平面直角坐标系中，点在圆上，若则点的横坐标的取值范围是 ．

7．（2018年高考全国Ⅱ卷理数）设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，．

（1）求的方程；

（2）求过点，且与的准线相切的圆的方程．

8．（2017新课标III理）已知抛物线C：y²=2x，过点（2,0）的直线l交C于A,B两点，圆M是以线段AB为直径的圆.

（1）证明：坐标原点O在圆M上；

（2）设圆M过点，求直线l与圆M的方程.

变式拓展

1．【答案】D

【解析】绘制半圆如图所示，直线表示过点，斜率为的直线，

如图所示的情形为临界条件，即直线与圆相切，

此时圆心到直线的距离等于圆的半径，即：，解得：，，且，，

据此可得：实数k的取值范围是.

本题选择D选项.

【名师点睛】处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．求解本题时，绘制半圆的图形和直线，考查临界条件，确定k的取值范围即可.

2．【答案】D

【解析】圆，即，其圆心为，半径为3.

设圆的半径为.由两圆外切知，圆心距为.所以.

所以圆的方程为，展开得：.

故选D.

【名师点睛】此题主要考查解析几何中圆的标准方程，两圆的位置关系，以及两点间的距离公式的应用等有关方面的知识与技能，属于中低档题型，也是常考考点.判断两圆的位置关系，有两种方法，一是代数法，联立两圆方程，消去其中一未知数，通过对所得方程的根决断，从而可得两圆关系；一是几何法，通计算两圆圆心距与两圆半径和或差进行比较，从而可得两圆位置关系.

3．【答案】D

【解析】由题意知，圆的方程为：，则圆心为，半径为，

所以，解得：，

圆心到直线的距离为：，

，解得：，

综上所述：.

本题正确选项为D.

【名师点睛】本题考查直线被圆截得弦长相关问题的求解，关键是明确弦长等于，易错点是忽略半径必须大于零的条件.求解时，根据圆的半径大于零可求得；利用点到直线距离公式求出圆心到直线距离，利用弦长可求得，综合可得的取值范围.

4．【答案】或

【解析】设切线长为，则，所以当切线长取最小值时，取最小值，

过圆心作直线的垂线，则点为垂足点，此时，直线的方程为，

联立，得，即点的坐标为.

①若切线的斜率不存在，此时切线的方程为，圆心到该直线的距离为，合乎题意；

②若切线的斜率存在，设切线的方程为，即.

由题意可得，化简得，解得，

此时，所求切线的方程为，即.

综上所述，所求切线方程为或，

故答案为：或.

【名师点睛】本题考查过点的圆的切线方程的求解，考查圆的切线长相关问题，在过点引圆的切线问题时，要对直线的斜率是否存在进行分类讨论，另外就是将直线与圆相切转化为圆心到直线的距离等于半径长，考查分析问题与解决问题的能力，属于中等题.求解时，利用切线长最短时，取最小值找点：即过圆心作直线的垂线，求出垂足点.就切线的斜率是否存在分类讨论，结合圆心到切线的距离等于半径得出切线的方程.

考点冲关

1．【答案】A

【解析】因为直线与圆相切，

所以所以.

所以“”是“直线与圆相切”的充分不必要条件.

故选A.

【名师点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系和充分不必要条件的判定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.求解时，先化简直线与圆相切，再利用充分必要条件的定义判断得解.

2．【答案】C

【解析】，

，

∴两圆圆心距：，得：，

两圆的位置关系为相交.

中有个元素.

本题正确选项为C.

【名师点睛】本题考查集合运算中的交集运算，关键是能够明确两个集合表示的含义，从而利用圆与圆的位置关系确定交集中元素的个数.

3．【答案】B

【解析】圆心到直线的距离，

截直线的弦长为8，

圆的半径，

圆的方程为.

故选B.

【名师点睛】求出圆心到直线的距离，可得圆的半径，即可求出圆的方程.

4．【答案】D

【解析】因为，所以O在AB的中垂线上，即O在两个圆心的连线上，即，，三点共线，所以，得，故选D.

【名师点睛】本题主要考查圆的性质的应用，几何性质的转化是求解的捷径.由可得，O在AB的中垂线上，结合圆的性质可知O在两个圆心的连线上，从而可求.

5．【答案】A

【解析】如图，圆C的圆心坐标为O（0，0），半径为2，直线l为：x﹣y+b=0．

由，即b=时，圆上恰有一个点到直线l的距离为1，

由，即b=时，圆上恰有3个点到直线l的距离为1．

∴当b∈（）时，圆上恰有2个点到直线l的距离为1，故概率为．

故选A．

【名师点睛】解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围．当考察对象为点，点的活动范围在线段上时，用线段长度比计算；当考察对象为线时，一般用角度比计算，即当半径一定时，由于弧长之比等于其所对应的圆心角的度数之比，所以角度之比实际上是所对的弧长(曲线长)之比．求解本题时，由已知求出圆心坐标与半径，再由点到直线的距离公式分别求出满足圆上有一点和三点到直线l的距离为1的b值，由测度比为长度比得答案．

6．【答案】B

【解析】把圆的方程化为，以为直径的圆的方程为，若曲线上存在点，使得，则两圆有交点，所以，解得，选B.

7．【答案】B

【解析】设动圆M半径为，则

因此动圆圆心M的轨迹是以为焦点的椭圆，所以，故选B.

【名师点睛】求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：

①直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．

②定义法：根据圆、直线等定义列方程．

③几何法：利用圆的几何性质列方程．

④代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．

8．【答案】C

【解析】由题意可得是等腰直角三角形，∴圆心C（1，﹣a）到直线的距离等于r·sin45°=，再利用点到直线的距离公式可得=，∴a=±1.

故选C．

【名师点睛】这个题目考查的是直线和圆的位置关系，一般直线和圆的题在很多情况下是利用数形结合来解决的，联立方程利用代数方法求解的时候较少；还有就是在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值.由题意可得是等腰直角三角形，可得圆心C（1，﹣a）到直线的距离等于r·sin45°，再利用点到直线的距离公式求得a的值．

9．【答案】A

【解析】动直线与圆：相交于，两点，且满足，则为等边三角形，于是可设动直线为，根据题意可得， ，∵是线段的中点，∴，设，∵，∴，

∴，解得，∴，

∴，故选A．

10．【答案】或

【解析】当斜率不存在时：；

当斜率存在时：设.

【名师点睛】本题考查了圆的切线问题，忽略掉斜率不存在是容易发生的错误.

11．【答案】

【解析】∵弦长为8，圆的半径为5，∴弦心距为3，∵圆心坐标为，∴，解得为

【名师点睛】涉及圆中弦长问题， 一般利用垂径定理进行解决，具体就是利用半径的平方等于圆心到直线距离平方与弦长一半平方的和；直线与圆位置关系，一般利用圆心到直线距离与半径大小关系进行判断.

12．【答案】1

【解析】由题可得直线ax﹣ay﹣1＝0的斜率为1．

圆心（2，0）到直线ax﹣ay﹣1＝0的距离为，

∵|CD|＝1，∴|AB||CD|，

∴，解得整数a＝1，

故答案为1．

【名师点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，意在考查学生的转化能力，分析能力，计算能力，难度不大.利用圆心到直线的距离可求出d，再利用勾股定理求得答案.

13．【答案】

【解析】依题意可得，以为直径的圆与圆相交，则圆心距，解得.

【名师点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，在解答过程中要先读懂题目的意思，将其转化为圆与圆的位置关系，本题还需要一定的计算量，属于中档题.结合题意将其转化为圆和圆的位置关系，两圆相交，计算出圆心距，然后求出结果.

14．【答案】

【解析】∵动圆C与直线相切于点，故直线AC与直线垂直，故C落在直线上，设C点坐标为，则圆的半径r=，则圆的方程为： ．令，则，即，∵圆C被x轴所截得的弦长为2，∴, 解得：，或，故所有圆C的半径之积为,故应填10.

15．【答案】（1）；（2）或.

【解析】（1）由于圆A与直线相切，

∴，

∴圆A的方程为．

（2）①当直线与x轴垂直时，易知与题意相符，能使．

②当直线与x轴不垂直时，设直线的方程为，即，连接，则，

∵，

∴，即，得．

∴直线，

故直线的方程为或．

【名师点睛】本题考查直线与圆的位置关系，解题关键是垂径定理的应用，在圆中与弦长有关的问题通常都是用垂径定理解决．

（1）圆心到切线的距离等于圆的半径，从而易得圆的标准方程；

（2）考虑直线斜率不存在时是否符合题意，在斜率存在时，设直线方程为，根据垂径定理由弦长得出圆心到直线的距离，再由点（圆心）到直线的距离公式可求得．

16．【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】（1）因为轴、轴被圆截得的弦分别为、，

所以直线经过，

又为中点，

所以，

所以，

所以的面积为定值.

（2）因为直线与圆交于两点，，

所以的中垂线经过，且过点，

所以的方程为，

所以，即.

所以当时，圆心，半径，

所以圆心到直线的距离为，

所以直线与圆交于点两点，故成立；

当时，圆心，半径，

所以圆心到直线的距离为，

所以直线与圆不相交，故（舍去）.

综上所述，圆的方程为.

【名师点睛】本题通过直线与圆的有关知识，考查学生直观想象和逻辑推理能力.解题注意几何条件的运用可以简化运算.

（1）利用几何条件可知，为直角三角形，且圆过原点，所以得知三角形两直角边边长，求得面积；

（2）由及原点O在圆上，知OCMN，所以，求出 的值，再利用直线与圆的位置关系判断检验符合题意的解，最后写出圆的方程.

17．【答案】（1）；（2）存在直线和.

【解析】（1）圆化为标准为，

设圆的圆心关于直线的对称点为，则，

且的中点在直线上，

所以，解得，

所以圆的方程为.

（2）由，所以平行四边形为矩形，所以.

要使，必须使，即：.

①当直线的斜率不存在时，可得直线的方程为，与圆交于两点 .

因为，

所以，

所以当直线的斜率不存在时，直线满足条件.

②当直线的斜率存在时，可设直线的方程为.

设

由得：.

由于点在圆内部，所以恒成立，

所以，，

要使，必须使，即，

也就是：

整理得：.解得，

所以直线的方程为

存在直线和，它们与圆交两点，且平行四边形的对角线相等.

【名师点睛】在处理平面解析几何时，往往先设出直线方程，但要注意直线的斜率是否存在，如本题中当斜率不存在时也符合题意.

直通高考

1．【答案】C

【解析】P为单位圆上一点，而直线过点A（2，0），所以d的最大值为OA+1=2+1=3,故选C.

【名师点睛】与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化．

2．【答案】A

【解析】直线分别与轴，轴交于，两点，,则.

点P在圆上，圆心为（2，0），则圆心到直线的距离.

故点P到直线的距离的范围为，则.

故答案为A.

【名师点睛】本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题.先求出A，B两点坐标得到再计算圆心到直线的距离，得到点P到直线距离的范围，由面积公式计算即可.

3．【答案】，

【解析】由题意可知，把代入直线AC的方程得，此时.

【名师点睛】本题主要考查圆的方程、直线与圆的位置关系.首先通过确定直线的斜率，进一步得到其方程，将代入后求得，计算得解.解答直线与圆的位置关系问题，往往要借助于数与形的结合，特别是要注意应用圆的几何性质.

4．【答案】3

【解析】设，则由圆心为中点得

易得，与联立解得点的横坐标所以.

所以，

由得或，

因为，所以

【名师点睛】以向量为载体求相关变量的取值或范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程或解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.

5．【答案】

【解析】由题意可得圆的标准方程为：，

直线的直角坐标方程为：，即，

则圆心到直线的距离：，

所以，则.

【名师点睛】处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．由题意首先求得圆心到直线的距离，然后结合弦长公式求得弦长，最后求解三角形的面积即可.

6．【答案】

【解析】设，由，易得，由，可得或，由得P点在圆左边弧上，结合限制条件，可得点P横坐标的取值范围为．

【名师点睛】对于线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求横坐标或纵坐标、直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等，最后结合图形确定目标函数的最值或取值范围．

7．【答案】（1）；（2）或．

【解析】（1）由题意得，l的方程为．

设，

由得．

，故．

所以．

由题设知，解得（舍去），．

因此l的方程为．

（2）由（1）得AB的中点坐标为，

所以AB的垂直平分线方程为，即．

设所求圆的圆心坐标为，则

解得或

因此所求圆的方程为或．

8．【答案】（1）证明略；（2）直线的方程为，圆的方程为.或直线的方程为，圆的方程为

【解析】（1）设，.

由 可得，则.

又，故.

因此的斜率与的斜率之积为，所以.

故坐标原点在圆上.

（2）由（1）可得.

故圆心的坐标为，圆的半径.

由于圆过点，因此，故，

即，

由（1）可得.

所以，解得或.

当时，直线的方程为，圆心的坐标为，圆的半径为，圆的方程为.

当时，直线的方程为，圆心的坐标为，圆的半径为，圆 的方程为.

【名师点睛】直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；在解决直线与抛物线的位置关系时，要特别注意直线与抛物线的对称轴平行的特殊情况.中点弦问题，可以利用“点差法”，但不要忘记验证或说明中点在曲线内部.

 

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