考点38 椭 圆
（1）了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.
（2）掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质.
（3）了解椭圆的简单应用.
（4）理解数形结合的思想.
一、椭圆的定义
平面上到两定点的距离的和为常数（大于两定点之间的距离）的点的轨迹是椭圆. 这两个定点叫做椭圆的焦点，两个定点之间的距离叫做椭圆的焦距，记作.
定义式：.
要注意，该常数必须大于两定点之间的距离，才能构成椭圆.
二、椭圆的标准方程
焦点在轴上，；
焦点在轴上，.
说明：要注意根据焦点的位置选择椭圆方程的标准形式，知道之间的大小关系和等量关系：.
三、椭圆的图形及其简单几何性质
i)图形
焦点在轴上 焦点在轴上
ii)
| 标准方程 | 几何性质 | |||||
| 范围 | 顶点 | 焦点 | 对称性 | 离心率 | ||
| 椭圆 | ， | 对称轴：轴，轴，对称中心：
原点 |
， | |||
| ， | ||||||
注意：求椭圆的标准方程的方法可以采用待定系数法，此时要注意根据焦点的位置选择椭圆的标准方程；也可以利用椭圆的定义及焦点位置或点的坐标确定椭圆的标准方程.
求椭圆的离心率主要的方法有：根据条件分别求出与，然后利用计算求得离心率；或者根据已知条件建立关于的等量关系式或不等关系式，由此得到方程或不等式，通过解方程或不等式求解离心率的值或取值范围.
四、必记结论
1．设椭圆上任意一点，则当时，有最小值b，P点在短轴端点处；当时，有最大值a，P点在长轴端点处．
2．已知过焦点F1的弦AB，则的周长为4A．
考向一 椭圆定义的应用
1．椭圆定义的集合语言:往往是解决计算问题的关键，椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形.解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义和正弦定理、余弦定理.
以椭圆 上一点和焦点F1 (－c，0)，F2 (c，0)为顶点的中，若，注意以下公式的灵活运用：
（1）；
（2）；
（3）.
2．解决已知椭圆的焦点位置求方程中的参数问题，应注意结合焦点位置与椭圆方程形式的对应关系求解. 
典例1 已知F1，F2是椭圆的两个焦点，点P在椭圆上．
（1）若点P到焦点F1的距离等于1，则点P到焦点F2的距离为________________；
（2）过F1作直线与椭圆交于A，B两点，则的周长为________________；
（3）若，则点P到焦点F1的距离为________________．
【答案】（1）3；（2）8；（3）．
【解析】由椭圆的标准方程可知：，，
故，，．
（1）由椭圆的定义可得|PF1|＋|PF2|＝2a，
又|PF1|＝1，所以|PF2|＝4－1＝3．
（2）的周长
．
（3）在中，由余弦定理可得，
即，
由椭圆的定义可得，
两式联立解得．
1．已知椭圆的左、右焦点分别为，点在上，且的周长为，则的值是
A． B．
C． D．
考向二 求椭圆的标准方程
求椭圆的方程有两种方法:
（1）定义法.根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程.
（2）待定系数法.这种方法是求椭圆的方程的常用方法，其一般步骤是：
第一步，做判断.根据条件判断椭圆的焦点在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能（这时需要分类讨论）.
第二步，设方程.根据上述判断设方程为或.
第三步，找关系.根据已知条件，建立关于的方程组（注意椭圆中固有的等式关系）.
第四步，得椭圆方程.解方程组，将解代入所设方程，即为所求.
【注意】用待定系数法求椭圆的方程时，要“先定型，再定量”，不能确定焦点的位置时，可进行分类讨论或把椭圆的方程设为.
典例2 椭圆以x轴和y轴为对称轴，经过点(2，0)，长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的方程为
A． B．
【答案】C
【解析】由于椭圆长轴长是短轴长的2倍，即有a=2b，
又椭圆经过点(2，0)，
则若焦点在x轴上，则a =2，b=1，椭圆方程为;
若焦点在y轴上，则a=4，b=2，椭圆方程为，故选C．
2．已知是椭圆的两个焦点，过且垂直于轴的直线交于两点，且，则的方程为
A． B．
C． D．
考向三 椭圆的几何性质及应用
1．与几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形.理解顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量之间的关系，深挖出它们之间的联系，求解自然就不难了.
2．椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率（或离心率的取值范围）有两种方法：
（1）求出a，c，代入公式.
（2）只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为a，c的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以a或a2转化为关于e或e2的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e（e的取值范围）.
典例3 已知椭圆的方程为2x2＋3y2＝m，(m>0)，则此椭圆的离心率为
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意，得椭圆的标准方程为＋＝1，∴a2＝，b2＝，∴c2＝a2－b2＝，
∴e2＝＝，即e＝.故选B．
3．已知椭圆(a＞b＞0)的两焦点分别为F1，F2，若椭圆上存在点P，使得∠F1PF2＝120°，则椭圆的离心率的取值范围是_____．
1．椭圆：的焦距为
A． B．2
C． D．1
2．“”是“方程表示椭圆”的
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知椭圆上的一点到左焦点的距离为，点是线段的中点，为坐标原点，则
A． B．
C． D．
4．已知椭圆的焦点分别为，，点，在椭圆上，于，，，则椭圆方程为
A． B．
C． D．
5．已知椭圆的对称轴与两条坐标轴重合，且长轴长是短轴长的倍，抛物线的焦点与椭圆的一个顶点重合，则椭圆的标准方程为
A． B．
C．或 D．或
6．已知椭圆x2+my2=1的离心率e∈(，1)，则实数m的取值范围是
A．(0，) B．(，+∞)
C．(0，)∪(，+∞) D．(，1)∪(1，)
7．已知点，.若椭圆上存在点，使得为等边三角形，则椭圆的离心率是
A． B．
C． D．
8．若椭圆的离心率为，、分别为椭圆的左、右焦点，为右顶点，过右焦点作垂直于轴的直线交椭圆于点，则
A． B．
C． D．
9．已知点是椭圆上一点，是椭圆的焦点，且满足，则的面积为
A．1 B．
C．2 D．4
10．已知是椭圆：的左焦点，为上一点，，则的最小值为
A． B．
C． D．
11．已知是椭圆的右焦点，是椭圆短轴的一个端点，若为过的椭圆的弦的三等分点，则椭圆的离心率为
A． B．
C． D．
12．已知椭圆的短轴长为2，上顶点为，左顶点为，分别是椭圆的左、右焦点，且的面积为，点为椭圆上的任意一点，则的取值范围为
A． B．
C． D．
13．已知、为椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在四个不同点满足的面积为，则椭圆的离心率的取值范围为
A． B．
C． D．
14．若椭圆的一个焦点坐标为(0，2)，则实数=__________．
15．已知椭圆的左、右焦点分别为，，若以为直径的圆与椭圆相切，则椭圆的长轴长是__________．
16．已知F1，F2为椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆的长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若为正三角形，则椭圆的离心率为 .
17．如图，A，B分别为椭圆的左、右顶点，点P在椭圆上， 是面积为4的等腰直角三角形，则b= .
18．在椭圆上有两个动点，为定点，，则的最小值为_________．
19．阿基米德(公元前287年—公元前212年)不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他最早利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的对称轴为坐标轴，焦点在y轴上，且椭圆C的离心率为，面积为，则椭圆C的标准方程为______.
20．设分别为椭圆的右顶点和上顶点，已知椭圆过点，当线段长最小时椭圆的离心率为_______．
21．求适合下列条件的椭圆的标准方程:
（1）焦点分别为(0，–2)，(0，2)，经过点(4，3);
（2）对称轴为坐标轴，经过点P(–6，0)和Q(0，8).
22．已知椭圆C的方程为.
（1）求k的取值范围；
（2）若椭圆C的离心率，求的值.
23．已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，且椭圆长轴长为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）为椭圆上一点，且，求的面积.
24．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：（a＞b＞0）的焦距为2．
（1）若椭圆C经过点（，1），求椭圆C的标准方程；
（2）设A（﹣2，0），F为椭圆C的左焦点，若椭圆C上存在点P，满足，求椭圆C的离心率的取值范围．
25．如图，过椭圆的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，点和点分别为椭圆的右顶点和上顶点，．
（1）求椭圆的离心率；
（2）过右焦点作一条弦，使，若的面积为，求椭圆的方程．
1．（2019年高考北京卷理数）已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，则
A．a2=2b2 B．3a2=4b2
C．a=2b D．3a=4b
2．（2017浙江）椭圆的离心率是
A． B．
C． D．
3．（2019年高考全国Ⅱ卷理数）若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆的一个焦点，则p=
A．2 B．3
C．4 D．8
4．（2019年高考全国Ⅰ卷理数）已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点．若，，则C的方程为
A． B．
C． D．
5．（2018新课标全国Ⅱ理科）已知，是椭圆的左、右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为
A． B．
C． D．
6．（2017新课标全国Ⅲ理科）已知椭圆C：的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线相切，则C的离心率为
A． B．
C． D．
7．（2019年高考浙江卷）已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上且在轴的上方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率是___________．
8．（2019年高考全国Ⅲ卷理数）设为椭圆C:的两个焦点，M为C上一点且在第一象限.若为等腰三角形，则M的坐标为___________.
9．（2018浙江）已知点P(0，1)，椭圆+y2=m(m>1)上两点A，B满足=2，则当m=___________时，点B横坐标的绝对值最大．
10．（2019年高考天津卷理数）设椭圆的左焦点为，上顶点为．已知椭圆的短轴长为4，离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设点在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点为直线与轴的交点，点在轴的负半轴上．若（为原点），且，求直线的斜率．
11．（2019年高考江苏卷）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:的焦点为F1（–1、0），F2（1，0）．过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，l与圆F2:交于点A，与椭圆C交于点D.连结AF1并延长交圆F2于点B，连结BF2交椭圆C于点E，连结DF1．
已知DF1=．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）求点E的坐标．
变式拓展
1．【答案】D
【解析】设椭圆的长轴长为，焦距为，则，，
由椭圆定义可知，的周长为，，
，∴解得，故选D.
【名师点睛】本题考查椭圆的定义的应用，考查利用椭圆定义求椭圆的焦点三角形问题，在处理椭圆的焦点与椭圆上一点线段（焦半径）问题，一般要充分利用椭圆定义来求解，属于基础题.解题时，由椭圆的定义知的周长为，可求出的值，再结合、、的关系求出的值，即的值.
2．【答案】C
【解析】因为，所以，
又，所以在直角三角形中，，
因为，所以，
所以椭圆的方程为：.
【名师点睛】本题考查焦半径、椭圆的定义、椭圆的标准方程等知识，考查运算求解能力.在直角三角形中利用勾股定理求，再由椭圆的定义求的值.
3．【答案】
【解析】由题意可得，椭圆的上顶点和两个焦点构成的等腰三角形中，顶角大于等于120°，
所以底角小于等于30°，即，
故椭圆的离心率的取值范围是.
故答案为：.
【名师点睛】本题主要考查椭圆的简单几何性质，考查椭圆离心率的取值范围的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.求解时，由题意可得，椭圆的上顶点和两个焦点构成的等腰三角形中，顶角大于等于120°，即得椭圆的离心率的取值范围.
考点冲关
1．【答案】B
【解析】由题意得，椭圆的焦点在y轴上，且，所以，因此，故.所以焦距为2.故选B.
2．【答案】C
【解析】方程表示椭圆，即且，
所以“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件.
故选C.
【名师点睛】本题考查了椭圆的概念与充要条件的判断，易错点为椭圆中，属于较为基础题.先求得方程表示椭圆的m的取值范围，再利用充分必要条件去判断可得答案.
3．【答案】C
【解析】由椭圆的定义得
，
又，
∴.故选C.
4．【答案】C
【解析】椭圆的焦点分别为，，点A，B在椭圆上，
于，，，可得，，
结合，解得，，
所以所求椭圆方程为：，故选C．
【名师点睛】本题主要考查椭圆的简单性质的应用，椭圆方程的求法，是基本知识的考查．求解时，利用椭圆的性质，根据，可得，，求解，然后写出椭圆方程．
5．【答案】D
【解析】由于椭圆的长轴长是短轴长的倍，即有，
又抛物线的焦点与椭圆的一个顶点重合，得椭圆经过点，
若焦点在轴上，则，，椭圆方程为；
若焦点在轴上，则，，椭圆方程为.
∴椭圆的标准方程为或．故选
6．【答案】C
【解析】椭圆x2+my2=1的标准方程为.
又<e<1，所以0<.
当椭圆的焦点在x轴上时，a2=1，b2=，则m>;
当椭圆的焦点在y轴上时，a2=，b2=1，则0<m<.
所以实数m的取值范围是0<m<或m>.
【名师点睛】椭圆的性质分两类:(1)与坐标系无关的，如轴长、焦距、离心率;(2)与坐标系有关的，如顶点坐标、焦点坐标.
7．【答案】C
【解析】过点C作x轴垂线，垂足为D，
根据正三角形性质可知D为A，B的中点，则C点坐标为（1，），
将C点的坐标代入椭圆方程得，解得m＝6，
所以椭圆的离心率为：．
故选C．
【名师点睛】本题主要考查了椭圆方程和离心率的求解，解题的关键是充分利用正三角形的性质，求出C点的坐标．
8．【答案】D
【解析】因为离心率为，所以，
因为过右焦点作垂直于轴的直线交椭圆于点，所以得点，即，
从而
所以，故选D.
【名师点睛】本题考查椭圆离心率以及通经，考查基本分析求解能力，属中档题.根据离心率得关系，再求点坐标，最后根据余弦定理求结果.
9．【答案】A
【解析】因为，所以，
所以.
由题意得，即，
即，解得.
所以的面积.选A．
10．【答案】D
【解析】设椭圆的右焦点为，易知，
由，得，
根据椭圆的定义可得，
所以.
11．【答案】B
【解析】如图，延长交椭圆于点，设椭圆右焦点为，连接.
根据题意，，
所以，
根据椭圆定义，所以，
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
所以，解得，
所以椭圆离心率为，故选B.
【名师点睛】本题考查椭圆的定义，几何性质，余弦定理等，属于中档题.根据椭圆几何性质可把椭圆内每条线段的长度用表示，然后利用余弦定理，在两个三角形里分别表示同一角的余弦，得到关系，求出离心率.
12．【答案】D
【解析】由题意得椭圆的短轴长为，，
解得，
则，
设，则，，
即，
，故选D．
13．【答案】D
【解析】设，，则，若存在四个不同点满足，则，即，解得，，故选D.
【名师点睛】圆锥曲线中的离心率的计算，关键是利用题设条件构建关于的一个等式关系．而离心率的取值范围，则需要利用坐标的范围、几何量的范围或点的位置关系构建关于的不等式或不等式组．
14．【答案】9
【解析】由题意可得m＞5，则椭圆1中的a，b，
所以c，即有2，解得m＝9．
故答案为：9．
【名师点睛】本题考查椭圆的方程和性质，考查焦点坐标的运用，以及运算能力，属于基础题．由题意可得椭圆焦点在y轴上，从而可得2，解方程可得m．
15．【答案】4
【解析】设椭圆的短半轴长为，半焦距为.
由以为直径的圆与椭圆相切，可得，
又由，所以，即椭圆的长轴长为，故选B
【名师点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中根据以为直径的圆与椭圆相切，得到是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
16．【答案】
【解析】方法一：e=.
因为为等边三角形，
所以|AF1|∶|F1F2|∶|F2A|=1∶∶2，
所以e=.
方法二：不妨设椭圆方程为+=1(a>b>0)，F1(c，0)，F2(-c，0)，，
由得|y|=，即|AF1|=|BF1|=，|AB|=.
因为为正三角形，所以·=2c，
得(a2-c2)=2ac，即e2+2e-=0.
又0<e<1，解得e=.
17．【答案】
【解析】已知是等腰直角三角形，而|OB|=a，
过点P作PH⊥OB于点H，则PH=OH=OB=a，
所以其面积S=|OB|×|PH|=×a×a=a2.
故由题意可得a2=4，解得a=4，故P(2，2).
由点P在椭圆上可得，+=1，解得b2=，
所以b=.
18．【答案】
【解析】由题意得．
设椭圆上一点，则，
∴，
又，
∴当时，取得最小值．
【名师点睛】解答圆锥曲线中的最值问题时，可将所求的最值表示成某一参数的表达式，然后再根据不等式或函数的知识求解，由于解题中要涉及复杂的计算，所以在解题时要注意计算的合理性，适当运用换元等方法进行求解．
19．【答案】
【解析】依题意设椭圆C的方程为，则椭圆C的面积为，
又，解得，.则椭圆C的标准方程为，
故答案为：.
【名师点睛】本题考查椭圆标准方程的求解，一般要结合已知条件求出、、的值，再利用椭圆焦点位置得出椭圆的标准方程，考查运算求解能力，属于中等题.
20．【答案】
【解析】由椭圆过得：，
由椭圆方程可知：，，
，
又（当且仅当，即时取等号），
当时，线段长最小，
，.
本题正确结果为.
【名师点睛】本题考查椭圆离心率的求解问题，关键是能够利用基本不等式求解和的最小值，根据等号成立条件可得到椭圆之间的关系，从而使问题得以求解.
21．【答案】（1）+=1；（2）+=1.
【解析】（1）因为椭圆的焦点在y轴上，所以可设它的标准方程为+=1(a>b>0).
方法一:由椭圆的定义知，，
所以a=6.
又c=2，所以b==4，
所以椭圆的标准方程为+=1.
方法二:因为所求椭圆过点(4，3)，所以+=1.
又a2-b2=c2=4，所以a2=36，b2=32，
所以椭圆的标准方程为+=1.
（2）由椭圆的几何性质可知，以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点，
所以点P，Q分别是椭圆的短轴和长轴的一个端点，
则短半轴长b=6，长半轴长a=8，且短轴、长轴分别在x轴和y轴上，
所以椭圆的标准方程为+=1.
22．【答案】（1）；（2）2或8．
【解析】（1）∵方程表示椭圆，
∴.
（2）①当9﹣k＞k﹣1时，依题意可知a=，b=，
∴c=，
又，
②当9﹣k＜k﹣1时，依题意可知b=，a=，
∴c=，
又，
综上，k的值为2或8．
23．【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由题意设椭圆的标准方程为，
∵椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，且椭圆长轴长为，
∴，解得，
∴椭圆的标准方程为．
（2）在中，由余弦定理得
，
又由椭圆的定义得，
∴，
∴，
∴．
【名师点睛】利用椭圆的定义解决与焦点三角形相关的周长、面积及最值时，可利用定义和余弦定理可求得，再结合进行转化，进而求得焦点三角形的周长和面积．
24．【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由题设，椭圆的焦距，即，
所以，
因为椭圆经过点，
所以，即，
化简、整理得，解得（负值已舍去）.
故求椭圆的标准方程为.
（2）易知，设，于是.①
因为，即，
所以，即.②
联立①②，并注意到，解得.
因为，所以.
于是，即，亦即.
所以，即.
故椭圆的离心率的取值范围是.
【思路点拨】（1）由题意得，代入已知点，可得，的方程，解方程即可得到所求的椭圆方程；
（2）设，运用两点的距离公式，化简整理，即可得到点的轨迹方程，由题意和圆相交的条件，结合离心率公式，即可得到所求范围.
25．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1），，
，，
，解得，
，
故．
（2）设，由（1）知椭圆方程可化简为．①
易求直线的斜率为，
故可设直线的方程为：．②
由①②消去得．
，．
于是的面积
，
．
因此椭圆的方程为，即.
【名师点睛】本题考查椭圆的离心率以及通过弦长公式求椭圆的相关量，属于一般题.
（1）由可得，计算进而得答案.
（2）设直线的方程，联立方程组，利用根与系数的关系，代入的面积公式计算整理即可.
直通高考
1．【答案】B
【解析】椭圆的离心率，化简得，
故选B.
【名师点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质，属于容易题，注重基础知识､基本运算能力的考查.由题意利用离心率的定义和的关系可得满足题意的等式.
2．【答案】B
【解析】椭圆的离心率，故选B．
3．【答案】D
【解析】因为抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，所以，解得，故选D．
【名师点睛】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，渗透逻辑推理、运算能力素养．解答时，利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于的方程，从而解出，或者利用检验排除的方法，如时，抛物线焦点为（1，0），椭圆焦点为（±2，0），排除A，同样可排除B，C，从而得到选D．
4．【答案】B
【解析】法一：如图，由已知可设，则，
由椭圆的定义有．
在中，由余弦定理推论得．
在中，由余弦定理得，解得．
所求椭圆方程为，故选B．
法二：由已知可设，则，
由椭圆的定义有．
在和中，由余弦定理得，
又互补，，两式消去，得，解得．所求椭圆方程为，故选B．
【名师点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好地落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．
5．【答案】D
【解析】因为为等腰三角形，，所以，
由的斜率为可得，
所以，，
由正弦定理得，
所以，
所以，，故选D．
【名师点睛】解决椭圆的离心率的求值及范围问题的关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆的几何性质、点的坐标的范围等.
6．【答案】A
【解析】以线段为直径的圆的圆心为坐标原点，半径为，圆的方程为，
直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即，整理可得，即即，
从而，则椭圆的离心率，故选A．
7．【答案】
【解析】方法1：如图，设F1为椭圆右焦点.由题意可知，
由中位线定理可得，设，可得，
与方程联立，可解得（舍），
又点在椭圆上且在轴的上方，求得，所以.
方法2：（焦半径公式应用）由题意可知，
由中位线定理可得，即，
从而可求得，所以.
【名师点睛】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、圆的方程与性质的应用，利用数形结合思想，是解答解析几何问题的重要途径.结合图形可以发现，利用三角形中位线定理，将线段长度用圆的方程表示，与椭圆方程联立可进一步求解.也可利用焦半径及三角形中位线定理解决，则更为简洁.
8．【答案】
【解析】由已知可得，
，∴．
设点的坐标为，则，
又，解得，
，解得（舍去），
的坐标为．
【名师点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好地落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．解答本题时，根据椭圆的定义分别求出，设出的坐标，结合三角形面积可求出的坐标.
9．【答案】
【解析】设，，
由得，，
所以，
因为，在椭圆上，所以，，
所以，
所以，
与对应相减得，，
当且仅当时取最大值．
【名师点睛】解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.
10．【答案】（1）；（2）或．
【解析】（1）设椭圆的半焦距为，依题意，，又，可得，．
所以，椭圆的方程为．
（2）由题意，设．设直线的斜率为，
又，则直线的方程为，
与椭圆方程联立整理得，
可得，代入得，
进而直线的斜率．
在中，令，得．
由题意得，所以直线的斜率为．
由，得，化简得，从而．
所以，直线的斜率为或．
【名师点睛】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识．考查用代数方法研究圆锥曲线的性质．考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力．
11．【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）设椭圆C的焦距为2c.
因为F1(−1，0)，F2(1，0)，所以F1F2=2，c=1.
又因为DF1=，AF2⊥x轴，所以DF2=，
因此2a=DF1+DF2=4，从而a=2.
由b2=a2−c2，得b2=3.
因此，椭圆C的标准方程为.
（2）解法一：由（1）知，椭圆C：，a=2，
因为AF2⊥x轴，所以点A的横坐标为1.
将x=1代入圆F2的方程(x−1) 2+y2=16，解得y=±4.
因为点A在x轴上方，所以A(1，4).
又F1(−1，0)，所以直线AF1：y=2x+2.
由，得，解得或.
将代入，得 ，
因此.
又F2(1，0)，所以直线BF2：.
由，得，解得或.
又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以.
将代入，得.
因此.
解法二：由（1）知，椭圆C：.
如图，连结EF1.
因为BF2=2a，EF1+EF2=2a，所以EF1=EB，
从而∠BF1E=∠B.
因为F2A=F2B，所以∠A=∠B，
所以∠A=∠BF1E，从而EF1∥F2A.
因为AF2⊥x轴，所以EF1⊥x轴.
因为F1(−1，0)，由，得.
又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以.
因此.
【名师点睛】本小题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力.
评论0