2020年高考各科总复习考点一遍过讲义考点49 二项式定理-备战2020年高考数学（理）考点一遍过

考点49 二项式定理

（1）能用计数原理证明二项式定理.

（2）会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.

一、二项式定理

，这个公式叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式，共有n+1项，其中各项的系数叫做二项式系数.

二项展开式中的叫做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项：.

注意：二项式系数是指，，…，，它是组合数，只与各项的项数有关，而与a，b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关．如的展开式中，第r＋1项的二项式系数是，而该项的系数是.当然，某些特殊的二项展开式如，各项的系数与二项式系数是相等的．

二、二项式系数的性质

（1）对称性.与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.事实上，这一性质可直接由公式得到.

（2）增减性与最大值.当时，二项式系数是逐渐增大的；当时，二项式系数是逐渐减小的，因此二项式系数在中间取得最大值.当n是偶数时，中间的一项的二项式系数最大；当n是奇数时，中间的两项的二项式系数相等且最大.

（3）各二项式系数的和.已知.令，则.也就是说，的展开式的各个二项式系数的和为.

（4）奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，即.

三、必记结论

（1）是第k＋1项，而不是第k项．

（2）通项公式中a，b的位置不能颠倒．

（3）通项公式中含有a，b，n，k，T_k＋1五个元素，只要知道其中四个就可以求出第五个，即“知四求一”.

考向一 二项展开式通项的应用

求二项展开式的特定项问题,实质是考查通项的特点,一般需要建立方程求k,再将k的值代回通项求解,注意k的取值范围（）.

（1）第项：：此时k+1=m,直接代入通项.

（2）常数项：即这项中不含“变元”,令通项中“变元”的幂指数为0建立方程.

（3）有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程.

典例1 的展开式中,的系数为

A．60 B．-60

C．240 D．-240

【答案】C

【解析】的展开式中第项为,令r=4，可得的系数为

典例2 若a= dx(e为自然对数的底数),则二项式(x- )⁶的展开式中的常数项为

A．-160 B．160

C．20 D．-20

【答案】A

【解析】由题意得a= dx=ln x =2,

则二项式(x- )⁶的展开式中的常数项为第4项,

所以其常数项为 (–2)³=–160.

典例3 已知关于x的二项式(ax-)ⁿ展开式的二项式系数之和为256,常数项为112,则a的值为

A．1 B．±1

C．2 D．±2

【答案】D

【解析】由题意得,二项式系数和为2ⁿ=256,即n=8,

所以二项展开式的通项为T_r+1=·(ax)^8-r·()^r=(–1)^r·a^8-r·,

令，得r=6,所以T₇=(–1)⁶·a²·=112,所以a=±2,故选D．

1．在的展开式中，的系数为

A． B．

C． D．

2．已知展开式中的常数项是4与10的等差中项，则a的值为

A． B．2

C． D．

考向二 求二项式系数和或各项的系数和

二项式定理给出的是一个恒等式,对于a,b的一切值都成立.因此,可将a,b设定为一些特殊的值.在使用赋值法时,令a,b等于多少时, 应视具体情况而定,一般取“1,或0”,有时也取其他值.

（1）形如(ax＋b)ⁿ，(ax²＋bx＋c)^m(a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可．

（2）对形如(ax＋by)ⁿ(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．

（3）若f(x)＝a₀＋a₁x＋a₂x²＋…＋a_nxⁿ，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，

奇数项系数之和为a₀＋a₂＋a₄＋…＝，

偶数项系数之和为a₁＋a₃＋a₅＋…＝.

典例4 若(x²+1)(x-3)⁹=a₀+a₁(x-2)+a₂(x-2)²+a₃(x-2)³+…+a₁₁(x-2)¹¹,则a₁+a₂+…+a₁₁的值为

A．0 B．-5

C．5 D．255

【答案】C

【解析】令x=3,则有a₀+a₁+a₂+…+a₁₁=0,

令x=2,则a₀=(2²+1)×(2–3)⁹=–5,

所以a₁+a₂+…+a₁₁=-a₀=5.

典例5 已知(1–2x)ⁿ的展开式中的二项式系数的和是64,则n=　　　　;若(1–2x)ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+…+a_nxⁿ,则|a₀|+|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|=　　　　. 

【答案】6　729

【解析】由于二项式系数的和2ⁿ=64,所以n=6,

所以(1–2x)⁶=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+…+a₆x⁶,

所以|a₀|+|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|=3⁶=729.

典例6 在二项式的展开式中,

(1)若所有二项式系数之和为,求展开式中二项式系数最大的项．

(2)若前三项系数的绝对值成等差数列,求展开式中各项的系数和.

【解析】(1)由已知得，，

，

则展开式中二项式系数最大的项是.

(2)展开式的通项为.

由已知成等差数列，即，

∴n=8,

在中，令x=1，得各项系数和为

3．设，则

A． B．

C． D．

4．已知二项式的展开式中，各项系数之和为243，其中实数a为常数.

（1）求a的值；

（2）求展开式中二项式系数最大的项.

考向三 整除问题

利用二项式定理解决整除问题时，关键是要巧妙地构造二项式，其基本思路是：要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可.因此，一般要将被除式化为含相关除式的二项式，然后再展开.

典例7 利用二项式定理证明2ⁿ⁺²·3ⁿ+5n－4()能被25整除.

【解析】因为2ⁿ⁺²·3ⁿ＝4×(1＋5)ⁿ

，

所以2ⁿ⁺²·3ⁿ＋5n－4

，

所以n≥2时，2ⁿ⁺²·3ⁿ＋5n－4能被25整除，

n＝1时，2ⁿ⁺²·3ⁿ＋5n－4＝25.

所以，当时，2ⁿ⁺²·3ⁿ＋5n－4能被25整除.

5．设，且，若能被100整除，则等于

A．19 B．91

C．18 D．81

1．二项式的展开式中，常数项为

A．64 B．30

C．15 D．16

2．的展开式中，的系数为

A． B．

C．30 D．

3．若实数a=2–,则a¹⁰–2a⁹+2²a⁸–…+2¹⁰=

A．32 B．-32

C．1024 D．512

4．已知二项式的展开式中二项式系数之和为64，则该展开式中常数项为

A．－20 B．－15

C．15 D．20

5．设二项式(x-)⁶的展开式的常数项为m,则dx的值为

A． B．

C． D．

6．若=,则

A．0 B．1

C．32 D．-1

7．的展开式的各项系数之和为3，则该展开式中项的系数为

A．2 B．8

C． D．−17

8．设为虚数单位，则的展开式中含的项为

A． B．

C． D．

9．已知(+)⁵的展开式的第三项为10,则y关于x的函数图象的大致形状为

A B

C D

10．已知(ax+)ⁿ的展开式中只有第7项的二项式系数最大,且含x⁸的项的系数为,则常数项为

A． B．

C． D．

11．若，则

A．2017 B．2018

C．2019 D．2020

12．设(x+)⁶的展开式中x³的系数和常数项分别为a,b,在区间[0,300]上任取一个数x,则a≤x≤b的概率是

A． B．

C． D．

13．在的展开式中常数项等于__________.

14．已知的展开式中含有的系数是−120，则__________．

15．若(-x)ⁿ的展开式的各个二项式系数的和为256,则(-x)ⁿ的展开式中的常数项为__________.

16．展开式中奇数次幂系数和为，则的值为__________.

17．除以9的余数为_______.

18．的二项式中不含的项的系数为__________.

19．已知(+)ⁿ展开式中的各项系数的和与其各个二项式系数的和之比为128,则n的值为__________.

20．若(2–)⁶(a>0)的展开式的常数项为960,则展开式中所有无理项的系数之和为__________.

21．在二项式(2x-3y)⁹的展开式中,求:

（1）二项式系数之和;

（2）各项系数之和;

（3）各项系数绝对值之和.

22．已知的展开式中第4项和第8项的二项式系数相等．

（1）求的值和这两项的二项式系数；

（2）在的展开式中，求含项的系数（结果用数字表示）．

23．已知在的展开式中，x为正实数，n为正偶数.

（1）若前3项的系数依次成等差数列，求n的值及展开式中的有理项；

（2）求奇数项的二项式系数的和与偶数项的二项式系数的和，并比较它们的大小.

24．二项式的二项式系数和为256.

（1）求展开式中二项式系数最大的项；

（2）求展开式中各项的系数和；

（3）展开式中是否有有理项，若有，求系数；若没有，说明理由.

25．已知的展开式前三项的二项式系数的和等于37，求：

（1）展开式中二项式系数最大的项的系数．

（2）展开式中系数最大的项．

1．（2019年高考全国Ⅲ卷理数）（1+2x² ）（1+x）⁴的展开式中x³的系数为

A．12 B．16

C．20 D．24

2．（2018新课标全国Ⅲ理科）的展开式中的系数为

A．10 B．20

C．40 D．80

3．（2017新课标全国Ⅰ理科）展开式中的系数为

A．15 B．20

C．30 D．35

4．（2017新课标全国Ⅲ理科）的展开式中的系数为

A． B．

C．40 D．80

5．（2019年高考浙江卷理数）在二项式的展开式中，常数项是__________；系数为有理数的项的个数是__________．

6．（2019天津理科）的展开式中的常数项为_____________．

7．（2018浙江）二项式的展开式的常数项是___________．

8．（2018天津理科）在的展开式中，的系数为 .

9．（2017浙江理科）已知多项式，则=________，=________．

10．（2017山东理科）已知的展开式中含有项的系数是，则 .

11．（2019年高考江苏卷理数）设．已知．

（1）求n的值；

（2）设，其中，求的值．

变式拓展

1．【答案】C

【解析】展开式的通项为：，

与相乘可得：，

当时得：，

与相乘可得：，

当时得：，

的系数为：.

本题正确选项为C．

【名师点睛】本题考查二项式定理求解的系数的问题，关键在于能够运用多项式相乘的运算法则，分别求出同次项的系数，合并同类项得到结果.求解时，利用的展开式通项，与和分别做乘法，求得的系数，作和求得整体的的系数.

2．【答案】C

【解析】由题意得，令，解得．又因为4与10的等差中项为7，所以，即，故选C．

【名师点睛】本题主要考查二项式定理的应用，属于基础题.求解时，利用二项式展开式的通项公式求出展开式中的常数项的值，由常数项是4与10的等差中项，求得的值.

3．【答案】C

【解析】，，

令，可得，

因此，，

故选C．

【名师点睛】本题考查二项式系数之和的计算，常利用赋值法来求解，先令得出的值，再令得出，于此得出的值.

常用的赋值如下：

设.

则（1）；（2）；（3）.

4．【解析】（1）令，则有.

（2）的展开式中各项的二项式系数分别为，

其中均为最大，

故所求项为第3项和第4项.

5．【答案】A

【解析】由题意得

，

其中能被100整除，

所以要使能被100整除，

只需要能被100整除．

结合题意可得，当时，能被100整除．

故选A．

【名师点睛】整除问题是二项式定理中的应用问题，解答整除问题时要关注展开式的最后几项.本题考查二项展开式的应用，属于中档题，求解时，将化为，根据二项展开式展开后，再根据余数的情况进行分析后可得所求．

考点冲关

1．【答案】C

【解析】依题意，二项式展开式的通项公式为，令，故常数项为，故选C．

【名师点睛】本小题主要考查二项展开式的通项公式，属于基础题.求解时，先求出二项展开式的通项公式，由此求得常数项.

2．【答案】B

【解析】，其展开式通项为，由题意可得，

此时所求项为，

因此，的展开式中，的系数为，故选B．

【名师点睛】本题考查三项展开式中指定项的系数，解题时要将三项视为两项相加，借助二项展开式通项求解，考查运算求解能力，属于中等题.

3．【答案】A

【解析】因为(a-2)¹⁰=a¹⁰–2a⁹+2²a⁸–…+2¹⁰,a=2–,

所以a¹⁰–2a⁹+2²a⁸–…+2¹⁰=(–)¹⁰=32.

4．【答案】C

【解析】二项式的展开式中二项式系数之和为64，

则.

当时，系数为15.

故选C.

【名师点睛】本题考查了二项式定理，先计算出是解题的关键，意在考查学生的计算能力.

5．【答案】C

【解析】二项式(x-)⁶的展开式的常数项为m=x²(–)⁴=15,

所以dx=3xdx=cos 3x=cos–(cos 0)=,故选C．

6．【答案】A

【解析】由二项展开式的通项公式,可知都小于0．

则=．

在原二项展开式中令,可得

7．【答案】D

【解析】令，可得，即，

在的展开式中的系数为：.

故选D．

【名师点睛】本题考查二项式定理，在二项展开式中，通过对变量适当的赋值可以求出一些特定的系数，如令可得展开式中所有项的系数和，再令可得展开式中偶数次项系数和与奇数次项系数和的差，两者结合可得奇数项系数和以及偶数项系数和．

8．【答案】A

【解析】因为，

当时，.故选A.

【名师点睛】本题考查二项式定理中的通项公式，求解时注意，防止出现符号错误.

9．【答案】D

【解析】由题意得()^5–2()²=10,

故xy=1(x>0),得y=(x>0).故选D．

10．【答案】A

【解析】由题可知,展开式共有13项,所以n=12, ,

由=x⁸,得r=3,

则a⁹=,即×a⁹=,解得a⁹=,a=.

令,得r=9,

故常数项为T₁₀=a³=×()³=,故选A．

11．【答案】A

【解析】令，得，

令，得，

所以，

故选A．

【名师点睛】该题考查的是有二项展开式中系数和的有关运算问题，涉及的知识点有应用赋值法求二项式系数和与常数项，属于简单题目.通过对等式中的分别赋0，1，求出常数项和各项系数和得到要求的值.

12．【答案】B

【解析】(x+)⁶=的展开式的通项公式为T_k+1=x^6-k·2^k·=2^k,

令6-k=3,得k=2,

所以x³的系数为a=2²=60,

令6-k=0,得k=4,则常数项b=2⁴=240,

由几何概型的概率计算公式可得a≤x≤b的概率是.

13．【答案】9

【解析】二项式的展开式的通项为，

∴的展开式中的常数项为．

故答案为9．

【名师点睛】对于含有两个括号的展开式的项的问题，求解时可分别求出每个二项式的展开式的通项，然后采用组合（即“凑”）的方法得到所求的项，解题时要做到细致、不要漏掉任何一种情况．

14．【答案】1

【解析】由二项式定理的展开式可得.

因为的系数是，所以令，解得，

所以，解得.

【名师点睛】本题考查了二项式定理展开式的应用，根据特定项的系数求参数，属于基础题.根据二项展开式的通项表达式，结合的系数是即可求得的值.

15．【答案】70

【解析】依题意得 2ⁿ=256,解得n=8,

所以T_r+1=()^8-r·(-x)^r=(–1)^rx^2r-8,

令2r-8=0,则r=4,

所以T₅=(–1)⁴=70,

所以(-x)ⁿ的展开式中的常数项为70.

16．【答案】

【解析】将二项式表示为，

因为的偶数次幂和奇数次幂系数和均为，

的奇数次幂的系数和为的奇数次幂的系数和与的乘积，

的奇数次幂的系数和等于的偶数次幂的系数和，则有，解得，故答案为.

【名师点睛】本题考查二项式中奇数次幂的系数和，解题时要将二项式展开，将问题转化为的奇数次幂和偶数次幂的系数和问题，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

17．【答案】

【解析】由题意得：，

，

除以的余数为：.

本题正确结果为.

【名师点睛】本题考查余数问题的求解，考查学生对于二项式定理的掌握情况，关键是能够配凑出除数的形式，属于常考题型.

18．【答案】

【解析】展开式的通项为,

令,

的二项式中不含的项的系数为.

19．【答案】7

【解析】令x=1,得(+)ⁿ的展开式中的各项系数的和为(1+3)ⁿ=4ⁿ,

又(+)ⁿ的展开式中的各个二项式系数的和为2ⁿ, 所以=128,

所以2ⁿ=128,解得n=7.

20．【答案】–2048

【解析】(2–)⁶的展开式的通项T_r+1=(2)^6-r(–)^r=2^6-r(-a)^r,

当r=2时,第3项为常数项,所以T₃=2⁴(-a)²=960,

因为a>0,所以a=2,

所以T_r+1=,当r=1,3,5时为无理项,

所以无理项的系数之和为–64(++)=–2048.

21．【解析】设(2x-3y)⁹=a₀x⁹+a₁x⁸y+a₂x⁷y²+…+a₉y⁹.

（1）二项式系数之和为+++…+=2⁹.

（2）各项系数之和为a₀+a₁+a₂+…+a₉,

令x=1,y=1,得a₀+a₁+a₂+…+a₉=(2–3)⁹=–1.

（3）|a₀|+|a₁|+|a₂|+…+|a₉|=a₀-a₁+a₂–…-a₉,

令x=1,y=–1,得|a₀|+|a₁|+|a₂|+…+|a₉|=a₀-a₁+a₂–…-a₉=5⁹,

此即各项系数绝对值之和.

22．【解析】（1）∵，

∴，

∴.

（2）方法一：含项的系数为.

方法二：，

含的系数为.

23．【解析】（1）二项展开式的前三项的系数分别为：，而前三项构成等差数列，故，解得或（舍去）；

所以，

当时，为有理项，

又且，

所以符合要求.

故有理项有三项，分别为：.

（2）奇数项的二项式系数和为：，

偶数项的二项式系数和为：，

故奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.

【名师点睛】本题主要考查二项式定理的通项，二项式系数和，注意二项式系数和与系数和的区别，意在考查学生的计算能力和分析能力，难度中等.

24．【解析】因为二项式的二项式系数和为256，

所以，解得.

（1）∵，

∴展开式的通项.

∴二项式系数最大的项为；

（2）令二项式中的，

则二项展开式中各项的系数和为.

（3）由通项公式及且，

得当时为有理项，

系数分别为，，.

25．【解析】（1）由的展开式前三项的二项式系数的和等于37，

即，解得，即二项式为，

所以展开式中第5项的二项式系数最大，

因此由可知此项的系数为.

（2）设二项展开式的第项的系数最大，

则，解得，

所以展开式中系数最大的项为第8项及第9项，

即，.

【名师点睛】本题主要考查二项式定理的通项的应用，属于中档试题，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）；（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项式定理的应用．

直通高考

1．【答案】A

【解析】由题意得x³的系数为，故选A．

【名师点睛】本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数．

2．【答案】C

【解析】由题可得，

令,则，

所以.故选C.

3．【答案】C

【解析】因为，

所以展开式中含的项为，

展开式中含的项为，

故的系数为，选C．

【名师点睛】对于两个二项式乘积的问题，用第一个二项式中的每项乘以第二个二项式的每项，分析含的项共有几项，进行相加即可.这类问题的易错点主要是未能分析清楚构成这一项的具体情况，尤其是两个二项展开式中的不同.

4．【答案】C

【解析】，

由展开式的通项公式可得：

当时，展开式中的系数为；

当时，展开式中的系数为，

则的系数为.

故选C．

【名师点睛】（1）二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项.

（2）求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解.

5．【答案】

【解析】由题意，的通项为，当时，可得常数项为；若展开式的系数为有理数，则，有共5个项．故答案为：，．

【名师点睛】此类问题解法比较明确，首要的是要准确记忆通项公式，特别是“幂指数”不能记混，其次，计算要细心，确保结果正确．

6．【答案】

【解析】，

由，得，

所以常数项为.

【名师点睛】本题考查二项式定理的应用，牢记常数项是由指数幂为0求得的.

7．【答案】7

【解析】二项式的展开式的通项公式为,

令得，

故所求的常数项为

8．【答案】

【解析】结合二项式定理的通项公式有：，

令可得：，

则的系数为：.

9．【答案】16，4

【解析】由二项式展开式可得通项公式为：，

分别取和可得，

取，可得．

【名师点睛】本题主要考查二项式定理的通项与系数，属于简单题． 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）；（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项式定理的应用．

10．【答案】

【解析】的展开式的通项公式为，

令，得，解得．

【名师点睛】根据二项展开式的通项，确定二项式系数或确定二项展开式中的指定项，是二项式定理问题中的基本问题，往往要综合运用二项展开式的系数的性质、二项展开式的通项求解. 本题能较好地考查考生的思维能力、基本计算能力等.

11．【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）因为，

所以，

．

因为，

所以，

解得．

（2）由（1）知，．

．

解法一：

因为，所以，

从而．

解法二：

．

因为，所以．

因此．

【名师点睛】本题主要考查二项式定理、组合数等基础知识，考查分析问题能力与运算求解能力．

 

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