2020年高考各科总复习考点一遍过讲义考点52 几何概型-备战2020年高考数学（理）考点一遍过

考点52 几何概型

（1）了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率.

（2）了解几何概型的意义.

一、几何概型

1．几何概型的概念

如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型.

2．几何概型的特点

（1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个.

（2）每个基本事件发生的可能性相等.

3．几何概型的概率计算公式

.

4．必记结论

（1）与长度有关的几何概型，其基本事件只与一个连续的变量有关；

（2）与面积有关的几何概型，其基本事件与两个连续的变量有关，若已知图形不明确，可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决问题；

（3）与体积有关的几何概型.

二、随机模拟

用计算器或计算机模拟试验的方法为随机模拟方法或蒙特卡罗方法.

这个方法的基本步骤是：

（1）用计算器或计算机产生某个范围内的随机数，并赋予每个随机数一定的意义；

（2）统计代表某意义的随机数的个数M和总的随机数个数N；

（3）计算频率作为所求概率的近似值.

注意，用随机模拟方法得到的结果只能是概率的近似值或估计值，每次试验得到的结果可能不同，而所求事件的概率是一个确定的数值.

考向一 与长度有关的几何概型

求解与长度有关的几何概型的问题的关键是将所有基本事件及事件包含的基本事件转化为相应长度，进而求解．此处的“长度”可以是线段的长短，也可以是时间的长短等.

注意：在寻找事件发生对应的区域时，确定边界点是问题的关键，但边界点能否取到不会影响事件的概率.

典例1 某学校星期一至星期五每天上午都安排五节课,每节课的时间为40分钟．第一节课上课的时间为7:50~8:30,课间休息10分钟．某同学请假后返校,若他在8:50~9:30之间到达教室,则他听第二节课的时间不少于10分钟的概率是

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】由题意得第二节课上课的时间为8:40~9:20,

该同学到达教室的时间总长度为40,其中在8:50~9:10进入教室时,听第二节课的时间不少于10分钟,其时间长度为20,

故所求概率为.

选A．

典例2 在区间上随机抽取一个数,则事件“”发生的概率为

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】区间的长度为2，

由可得，

所以所求事件的概率为P=.

故选A.

1．取一根长度为的绳子，拉直后在任意位置剪断，则剪得的两段绳有一段长度不小于的概率是

A． B．

C． D．

2．某电视台每天11:30—12:00播放“中国梦”主题的纪录片，在此期间会随机播放一次4分钟完整的有关中国梦的歌曲，小张从11:43开始观看该电视台的这档节目，则他听到完整的有关中国梦歌曲的概率为________.

考向二 与面积有关的几何概型

求解与面积有关的几何概型的问题的关键是构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何特征找出两个“面积”，套用几何概型的概率计算公式，从而求得随机事件的概率. 必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解．“面积比”是求几何概型的一种重要的方法.

典例3 已知菱形ABCD的边长为4，，若在菱形内取一点，则该点到菱形的四个顶点的距离均大于1的概率为

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】分别以A，B，C，D为圆心，1为半径作圆，

则概率对应的面积为阴影部分，

由四个圆在菱形内的扇形夹角之和为2π，

可得对应的四个扇形之和的面积为一个整圆的面积S＝π×1²＝π，

∵S_菱形ABCD＝AB•BCsin4×48，

∴S_阴影＝S_菱形ABCD﹣S＝8﹣π×1²＝8﹣π．

因此，该点到菱形的四个顶点的距离均大于1的概率P.

故选D．

典例4 如图,已知A(a,0)(a>0),B是函数f(x)=2x²图象上的一点,C(0,2),若在矩形OABC内任取一点P,则点P落在阴影部分的概率为________.

【答案】

【解析】因为OABC是矩形,所以B(a,2),

又B是函数f(x)=2x²图象上的一点,得B(1,2),所以A(1,0).阴影部分的面积S₁=  dx=(2x- x³) =2×1– ×1³= ,

矩形OABC的面积S=1×2=2.

所以所求事件的概率为P= .

3．已知关于，的不等式组表示的平面区域为，在区域内随机取一点，则的概率为

A． B．

C． D．

4．在区间上随机取两个实数，记向量，，则的概率为

A． B．

C． D．

考向三 与体积有关的几何概型的求法

用体积计算概率时，要注意所求概率与所求事件构成的区域的体积的关系，准确计算出所求事件构成的区域的体积，确定出基本事件构成的区域的体积，求体积比即可.一般当所给随机事件是用三个连续变量进行描述或当概率问题涉及体积时，可以考虑用此方法求解.

典例5 一只小蜜蜂在一个棱长为30的正方体玻璃容器内随机飞行,若蜜蜂在飞行过程中与正方体玻璃容器六个表面中至少有一个的距离不大于10,则就有可能撞到玻璃上而不安全,即始终保持与正方体玻璃容器六个表面的距离均大于10,飞行才是安全的.假设蜜蜂在正方体玻璃容器内飞行到任意位置的可能性相等,那么蜜蜂飞行安全的概率是

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】记“蜜蜂能够安全飞行”为事件A,则它在与正方体玻璃容器六个表面的距离均大于10的区域d内飞行时是安全的,

故区域d为棱长为10的正方体,所以P(A)=.

故选C．

5．阳马，中国古代算术中的一种几何形体，是底面长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥体，在阳马中，为阳马中最长的棱，，若在阳马的外接球内部随机取一点，则该点位于阳马内的概率为

A． B．

C． D．

考向四 随机模拟的应用

利用随机模拟试验可以近似计算不规则图形A的面积，解题的依据是根据随机模拟估计概率，然后根据列等式求解.

典例6 《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明,如图是赵爽的弦图及注文,弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形,其面积称为弦实.图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形,分别涂成朱(红)色及黄色,其面积分别称朱实、黄实,利用2×勾×股+(股–勾)²=4×朱实+黄实=弦实,化简得勾²+股²=弦².设勾股形中勾股比为1∶,若向弦图内随机抛掷3000颗图钉,则落在黄色图形内的图钉数约为(≈1.732)

A．134 B．268

C．402 D．536

【答案】C

【解析】设大正方形的边长为2，

由图中直角三角形的两直角边长之比为1∶，

可得小正方形的边长为–1，

所以小正方形与大正方形的面积比值为=，

所以落在小正方形内的图钉数为()×3000≈(1–×1.732)×3000=402.

故选C.

6．关于圆周率，数学发展史上出现过很多有创意的求法，如著名的蒲丰试验，受其启发，我们也可以通过设计下面的试验来估计的值，试验步骤如下：①先请高二年级名同学每人在小卡片上随机写下一个实数对；②若卡片上的，能与构成锐角三角形，则将此卡片上交；③统计上交的卡片数，记为；④根据统计数，估计的值.那么可以估计的值约为

A． B．

C． D．

1．在内任取一个实数，则的概率为

A． B．

C． D．

2．在区间上任取一个实数，使得方程表示双曲线的概率为

A． B．

C． D．

3．在上随机取一个实数m，能使函数在上有零点的概率为

A． B．

C． D．

4．在直角坐标系中,任取n个满足x²+y²≤1的点(x,y),其中满足|x|+|y|≤1的点有m个,则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为

A． B．

C． D．

5．赵爽是三国时期吴国的数学家，他创制了一幅“勾股圆方图”，也称“赵爽弦图”，如图，若在大正方形内随机取一点，这一点落在小正方形内的概率为，则勾与股的比为

A． B．

C． D．

6．如图,在矩形ABCD中,AB=,BC=1,以A为圆心、1为半径作圆弧DE,点E在线段AB上,在圆弧DE上任取一点P,则直线AP与线段BC有公共点的概率是

A． B．

C． D．

7．1876年4月1日，加菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了勾股定理的一种证明方法，即在如图的直角梯形中，利用“两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形的面积之和等于直角梯形面积”，可以简洁明了地推证出勾股定理.1881年加菲尔德就任美国第二十任总统.后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、易懂的证明，就把这一证明方法称为“总统证法”.如图，设，在梯形中随机取一点，则此点取自等腰直角中（阴影部分）的概率是

A． B．

C． D．

8．已知函数为自然对数的底数)的图象与直线轴围成的区域为,直线与轴、轴围成的区域为,在区域内任取一点,则该点落在区域内的概率为

A． B．

C． D．

9．已知圆C的半径为2，在圆内随机取一点P，并以P为中点作弦AB，则弦长的概率为

A． B．

C． D．

10．《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是

A． B．

C． D．

11．已知实数，执行如图所示的程序框图，则输出的不小于的概率为

A． B．

C． D．

12．赵爽是我国古代的数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周碑算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）.类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是

A． B．

C． D．

13．“割圆术”是刘徽最突出的数学成就之一，他在《九章算术注》中提出割圆术，并作为计算圆的周长、面积以及圆周率的基础.刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正3072边形，并由此而求得了圆周率为3.1415和3.1416这两个近似数值，这个结果是当时世界上圆周率计算的最精确数据.如图，当分割到圆内接正六边形时，某同学利用计算机随机模拟法向圆内随机投掷点，计算得出该点落在正六边形内的频率为0.8269，那么通过该实验计算出来的圆周率近似值为（参考数据：）

A．3.1419 B．3.1417

C．3.1415 D．3.1413

14．已知P是所在平面内一点，，现将一粒黄豆随机撒在内，则黄豆落在内的概率是

A． B．

C． D．

15．有一根长为1米的细绳,将细绳随机剪断,则两截的长度都大于 米的概率为__________.

16．若在区间[0,4]上随机选取一个数x,使x≥a的概率为,则a=__________. 

17．如图，在平面直角坐标系内，以轴的正半轴为始边，射线落在角的终边上，射线落在角的终边上，任作一条射线，则射线落在阴影部分内的概率为__________.

18．一个正方体的外接球的表面积为48π,从这个正方体内任取一点,则该点取自正方体的内切球内的概率为__________.

19．如图，矩形的长为，宽为，在矩形内随机地撒颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆为颗，则我们可以估计出阴影部分的面积约为__________．

20．中国象棋是中华文化的瑰宝，中国象棋棋盘上的“米”字形方框叫做九宫，取意后天八卦中的九星方位图.现有一张中国象棋棋盘如图所示.若在该棋盘矩形区域内（其中楚河，汉界宽度等于每个小格的边长）随机地取一点，则该点落在九宫内的概率是__________．

21．在区间内随机地取出两个实数，则这两个实数之和小于的概率是__________．

22．某班早晨7：30开始上早读课，该班学生小陈和小李在早上7：10至7：30之间到班，且两人在此时间段的任何时刻到班是等可能的.

(1)在平面直角坐标系中画出两人到班的所有可能结果表示的区域；

(2)求小陈比小李至少晚5分钟到班的概率.

23．执行如图所示的程序框图后，记“输出是好点”为事件A．

（1）若为区间内的整数值随机数，为区间内的整数值随机数，求事件A发生的概率；

（2）若为区间内的均匀随机数，为区间内的均匀随机数，求事件A发生的概率．

24．已知圆,点.

(1)若是从三个数中任取的一个数,是从三个数中任取的一个数,求点在圆内的概率;

(2)若是从区间任取的一个数,是从区间任取的一个数,求点在圆外的概率.

25．已知函数 ).

(1)若从集合中任取一个元素从集合中任取一个元素,求方程有实根的概率;

(2)若从区间中任取一个数从区间中任取一个数,求方程没有实根的概率.

1．（2018新课标全国Ⅰ理科）下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC．的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p₁，p₂，p₃，则

A．p₁=p₂ B．p₁=p₃

C．p₂=p₃ D．p₁=p₂+p₃

2．（2017新课标全国Ⅰ理科）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是

A． B．

C． D．

3．（2016新课标全国Ⅰ理科）某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是

A． B．

C． D．

4．（2017江苏）记函数的定义域为．在区间上随机取一个数，则的概率是 ▲ ．

5．（2016山东理科）在上随机地取一个数k，则事件“直线y=kx与圆相交”发生的概率为 .

变式拓展

1．【答案】A

【解析】设其中一段的长度为，可得出另一段的长度为，

由于剪得的两段绳有一段长度不小于，则或，可得或.

由于，所以或.

由几何概型的概率公式可知，事件“剪得的两段绳有一段长度不小于”的概率为，

故选A．

2．【答案】

【解析】由题意：要使每天11:30—12:00播放纪录片时，能播放一次4分钟完整的有关中国梦的歌曲，则开始播放歌曲的时间应在11:30—11:56的任意时刻，共26分钟，

小张从11:43开始观看，若他听到完整的歌曲，则开始播放歌曲的时间应在11:43—11:56的任意时刻，共13分钟，

由几何概型的概率公式可得所求的概率为．

故答案为．

3．【答案】C

【解析】作出不等式组表示的平面区域，如下图中阴影部分所示（及其内部），

由题意可知所求概率，易得，，，，

则，，

所以，故选C．

4．【答案】B

【解析】在区间上随机取两个实数，则点在以为边长的正方形内，

因为，，所以 ，

因为，所以，

则点在以原点为圆心、为半径的圆外，且在以为边长的正方形内，

所以的概率为.

故选B．

5．【答案】C

【解析】根据题意，的长等于其外接球的直径，

∵，∴，∴，

又平面，∴，

∴该点位于阳马内的概率为.故选C.

6．【答案】C

【解析】由题意，实数对，即面积为1，

且卡片上的，能与构成锐角三角形，即满足，且 ，所以面积为，

所以，能与构成锐角三角形的概率为，

由题意知.

故选C.

考点冲关

1．【答案】C

【解析】若,则在内，

所以所求概率为.选C．

2．【答案】D

【解析】若方程表示双曲线，则，解得.

在区间上任取一个实数，当时，题中方程表示双曲线，

由几何概型，可得所求概率为.故选D．

3．【答案】B

【解析】因为函数在上有零点，所以，解不等式得或.画出数轴表示形式可得如下图：

所以有零点的概率为.

4．【答案】D

【解析】画出可行域,如图所示,四边形ABCD的面积为2,其中圆O的面积为π.

由几何概型的概率公式,可得,则π=,故选D．

5．【答案】B

【解析】由图形可知，小正方形的边长为，

小正方形的面积为，又大正方形的面积为，

，即，

解得.

故选B.

6．【答案】B

【解析】连接AC,交圆弧DE于点M.

在中,AB=,BC=1,所以tan∠BAC=,即∠BAC=.

要使直线AP与线段BC有公共点,则点P必须在圆弧EM上,

于是所求概率为P=.故选B．

7．【答案】C

【解析】在中，，，

则此点取自等腰直角中（阴影部分）的概率，故选C．

8．【答案】A

【解析】由题意，区域F的面积为e;

区域E的面积S==,

所以在区域内任取一点,则该点落在区域内的概率为.

9．【答案】B

【解析】如图所示：

当时，此时，

若，则点P必须位于以点C为圆心，半径为1和半径为2 的圆环内，

所以弦长的概率为：.

故选B．

10．【答案】C

【解析】如图所示，直角三角形的斜边长为，

设内切圆的半径为，则，解得.

所以内切圆的面积为，

所以豆子落在内切圆外部的概率.故选C.

11．【答案】B

【解析】已知实数，

经过第一次循环，得到；

经过第二次循环，得到；

经过第三次循环，得到，此时输出，

输出的值为，

令，得，

由几何概型的概率计算公式，得到输出的不小于的概率为，故选B．

12．【答案】A

【解析】在中，，，，

由余弦定理，得，

所以.

故所求概率为.故选A．

13．【答案】A

【解析】设圆的半径为，则圆的面积为，正六边形的面积为，因而所求该实验的概率为，则.

故选A.

14．【答案】B

【解析】如图，以PB、PC为邻边作平行四边形PBDC，

则，∴，得，

由此可得P是的边BC上的中线AO的中点，

则点P到BC的距离等于A到BC的距离的，∴．

将一粒黄豆随机撒在内，则黄豆落在内的概率为.故选B.

15．【答案】

【解析】将细绳八等分,如图,C和D分别是第一个和最后一个等分点,则在线段CD(不包括端点)的任意位置剪断得到的两截细绳的长度都大于 米.由几何概型的概率计算公式得,两截的长度都大于 米的概率为.

16．【答案】3

【解析】由题意得[0,4]与[a,+∞)的交集在数轴上的长度为1，即x≥a的概率P=，解得a=3.

17．【答案】

【解析】由题可得，，

根据几何概型的概率计算公式，可得射线落在阴影部分内的概率为．

18．【答案】

【解析】因为一个正方体的外接球的表面积为48π,所以这个正方体的棱长为4,而棱长为4的正方体的体积为4³,该正方体的内切球的半径为2,体积为 ×2³,所以所求概率P= .

19．【答案】

【解析】矩形的长为，宽为，则矩形的面积为，设阴影部分区域的面积为.

由题意可得，解得.

故答案为.

20．【答案】

【解析】总的基本事件构成整个棋盘，构成的面积为，而随机取一点，该点落在九宫内这件事情构成的面积为，设为该点落在九宫内的概率，则.

21．【答案】

【解析】取，

所在区域是边长为的正方形区域，面积为，

直线上方正方形区域的面积为，

直线下方正方形区域的面积，

由几何概型的概率公式可得，这两个实数之和小于的概率是，

故答案为.

22．【解析】（1）用分别表示小陈、小李到班的时间，则，

所有可能结果对应坐标平面内一个正方形区域ABCD，如图所示．

（2）小陈比小李至少晚到5分钟，即，对应区域为，

则所求概率为．

23．【解析】（1）由题意，若为区间内的整数值随机数，为区间内的整数值随机数，则可产生个点，

事件A发生，则，好点为：

，共12个点，

∴.

（2）由题意，试验的全部结果构成的区域，其面积为10，

构成事件A的区域，其面积为，

∴．

24．【解析】(1)用数对表示基本事件,则其所有可能结果有

，共个.

设事件{点在圆内},

其结果为:，共个,

所以.

(2)所有可能的结果表示的区域为图中的正方形,

设事件B{点在圆外}，其表示的区域为图中阴影部分,

所以=.

25．【解析】(1)的取值情况是:,

其中第一个数表示的取值,第二个数表示的取值,即基本事件总数为16．

设“方程恰有实根”为事件当或”时,“方程恰有实根”即为“或”.

于是此时的取值情况为即包含的基本事件数为10．

故 “方程有实根”的概率为．

（2）从区间中任取一个数从区间中任取一个数

则试验的全部结果构成区域,

这是一个长方形区域,其面积为,

设“方程没有实根”为事件，则事件所构成的区域为，其面积为．

由几何概型的概率计算公式可得“方程没有实根”的概率为．

直通高考

1．【答案】A

【解析】设，则有，从而可以求得的面积为，黑色部分的面积为，其余部分的面积为，所以有，

根据面积型几何概型的概率公式，可以得到，故选A.

2．【答案】B

【解析】设正方形边长为，则圆的半径为，正方形的面积为，圆的面积为.由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半.由几何概型概率的计算公式得，此点取自黑色部分的概率是，选B．

秒杀解析：由题意可知，此点取自黑色部分的概率即为黑色部分面积占整个面积的比例，由图可知其概率满足，故选B．

【名师点睛】对于几何概型的计算，首先确定事件类型为几何概型并确定其几何区域（长度、面积、体积或时间），其次计算基本事件区域的几何度量和事件A区域的几何度量，最后计算.

3．【答案】B

【解析】由题意，这是一个几何概型问题，班车每30分钟发出一辆，到达发车站的时间总长度为40，等车不超过10分钟的时间长度为20，故所求概率为，选B．

【名师点睛】这是全国卷首次考查几何概型,求解几何概型问题的关键是确定“测度”,常见的测度有长度、面积、体积等.

4．【答案】

【解析】由，即，得，根据几何概型的概率计算公式得的概率是．

【名师点睛】（1）当试验的结果构成的区域为长度、面积或体积等时，应考虑使用几何概型求解．

（2）利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．

（3）几何概型有两个特点：①无限性，②等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．

5．【答案】

【解析】直线y=kx与圆相交,需要满足圆心到直线的距离小于半径，即，解得，而，所以所求概率P=.

 

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