2020年高考各科总复习考点一遍过讲义考点05 函数的基本性质-备战2020年高考数学（文）考点一遍过

考点05 函数的基本性质

（1）理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.

（2）会运用函数图象理解和研究函数的性质.

一、函数的单调性

1．函数单调性的定义

	增函数	减函数
定义	一般地，设函数的定义域为，如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，
	当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数	当时，都有，那么就说函数在区间上是减函数
图象描述	自左向右看，图象是上升的	自左向右看，图象是下降的

设，.若有或，则在闭区间上是增函数；若有或，则在闭区间上是减函数.此为函数单调性定义的等价形式.

2．单调区间的定义

若函数在区间上是增函数或减函数，则称函数在这一区间上具有（严格的）单调性，区间叫做函数的单调区间．

注意：（1）单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在不同的区间上，可以有不同的单调性，同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．

（2）函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论，所以求函数的单调区间，必须先求函数的定义域．

（3）“函数的单调区间是”与“函数在区间上单调”是两个不同的概念，注意区分，显然.

（4）函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制．例如函数分别在(－∞，0)，(0，＋∞)内都是单调递减的，但不能说它在整个定义域，即(－∞，0)∪(0，＋∞)内单调递减，只能分开写，即函数的单调减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)．

3．函数单调性的常用结论

（1）若均为区间A上的增(减)函数，则也是区间A上的增(减)函数；

（2）若，则与的单调性相同；若，则与的单调性相反；

（3）函数在公共定义域内与，的单调性相反；

（4）函数在公共定义域内与的单调性相同；

（5）奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反；

（6）一些重要函数的单调性：

①的单调性：在和上单调递增，在和上单调递减；

②（，）的单调性：在和上单调递增，在和上单调递减．

4．函数的最值

前提	设函数的定义域为，如果存在实数满足
条件	（1）对于任意的，都有； （2）存在，使得	（3）对于任意的，都有； （4）存在，使得
结论	为最大值	为最小值

注意：（1）函数的值域一定存在，而函数的最值不一定存在；

（2）若函数的最值存在，则一定是值域中的元素；若函数的值域是开区间，则函数无最值，若函数的值域是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值.

二、函数的奇偶性

1．函数奇偶性的定义及图象特点

奇偶性	定义	图象特点
偶函数	如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是偶函数	图象关于轴对称
奇函数	如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是奇函数	图象关于原点对称

判断与的关系时，也可以使用如下结论：如果或，则函数为偶函数；如果或，则函数为奇函数．

注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个x，也在定义域内（即定义域关于原点对称）．

2．函数奇偶性的几个重要结论

（1）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．

（2），在它们的公共定义域上有下面的结论：

偶函数	偶函数	偶函数	偶函数	偶函数	偶函数
偶函数	奇函数	不能确定	不能确定	奇函数	偶函数
奇函数	偶函数	不能确定	不能确定	奇函数	偶函数
奇函数	奇函数	奇函数	奇函数	偶函数	奇函数

（3）若奇函数的定义域包括，则．

（4）若函数是偶函数，则．

（5）定义在上的任意函数都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和．

（6）若函数的定义域关于原点对称，则为偶函数，为奇函数，为偶函数．

（7）掌握一些重要类型的奇偶函数：

①函数为偶函数，函数为奇函数．

②函数（且）为奇函数．

③函数（且）为奇函数．

④函数（且）为奇函数．

三、函数的周期性

1．周期函数

对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称T为这个函数的周期．

2．最小正周期

如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做的最小正周期（若不特别说明，一般都是指最小正周期）.

注意：并不是所有周期函数都有最小正周期.

3．函数周期性的常用结论

设函数，.

①若，则函数的周期为；

②若，则函数的周期为；

③若，则函数的周期为；

④若，则函数的周期为；

⑤函数关于直线与对称，那么函数的周期为 ；

⑥若函数关于点对称，又关于点对称，则函数的周期是；

⑦若函数关于直线对称，又关于点对称，则函数的周期是；

⑧若函数是偶函数，其图象关于直线对称，则其周期为；

⑨若函数是奇函数，其图象关于直线对称，则其周期为.

四、函数的图象

1．函数图象的画法

（1）描点法作图

①研究函数特征

②列表(注意特殊点：与坐标轴的交点、极值点、端点)；

③描点(画出直角坐标系，准确画出表中的点)；

④连线(用平滑的曲线连接所描的点)．

（2）变换法作图

①平移变换

②对称变换

a．y＝f(x) y＝−f(x)；

b．y＝f(x) y＝f(−x)；

c．y＝f(x) y＝−f(−x)；

d．y＝a^x(a>0且a≠1) y＝(a>0且a≠1).

③翻折变换

④伸缩变换

y＝f(x) y＝f(ax)．

y＝f(x) y＝af(x)．

2．函数图象的识别

有关图象辨识问题的常见类型及解题思路

(1)由实际情景探究函数图象．关键是将生活问题转化为我们熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题．

(2)借助动点探究函数图象．解决此类问题可以根据已知条件求出函数解析式后再判断函数的图象；也可采用“以静观动”，即将动点处于某些特殊的位置处考察图象的变化特征，从而作出选择．

(3)由解析式确定函数图象．此类问题往往从以下几方面判断：

①从函数的定义域，判断图象左右的位置，从函数的值域，判断图象的上下位置；

②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；

③从函数的奇偶性，判断图象的对称性；

④从函数的周期性，判断图象的循环往复．

利用上述方法，排除、筛选错误或正确的选项．

(4)同一坐标系下辨析不同函数图象．解决此类问题时，常先假定其中一个函数的图象是正确的，然后再验证另一个函数图象是否符合要求，逐项作出验证排查．

(5)利用函数性质探究函数图象，往往结合偶函数图象关于y轴对称，奇函数图象关于原点对称这一结论进行判断.

3．函数图象的应用

函数图象应用的常见题型及求解策略

(1)利用函数图象确定函数解析式，要注意综合应用奇偶性、单调性等相关性质，同时结合自变量与函数值的对应关系．

(2)利用函数图象研究两函数图象交点的个数时，常将两函数图象在同一坐标系内作出，利用数形结合求解参数的取值范围．

(3)利用函数的图象研究不等式

当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解．

(4)利用函数的图象研究方程根的个数

当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程f(x)＝0的根就是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象交点的横坐标.

考向一 判断函数的单调性

1．判断函数单调性的方法：

（1）定义法，步骤为：取值，作差，变形，定号，判断．利用此方法证明抽象函数的单调性时，应根据所给抽象关系式的特点，对或进行适当变形，进而比较出与的大小．

（2）利用复合函数关系，若两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为减函数，简称“同增异减”．

（3）图象法：从左往右看，图象逐渐上升，则单调递增；图象逐渐下降，则单调递减．

（4）导数法：利用导函数的正负判断函数的单调性．

（5）利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，判断函数的单调性.

2．在利用函数的单调性写出函数的单调区间时，首先应注意函数的单调区间应是函数定义域的子集或真子集，求函数的单调区间必须先确定函数的定义域；其次需掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调区间．

典例1 下列函数定义域为且在定义域内单调递增的是

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】根据题意，依次分析选项：

对于A，，为指数函数，其定义域为R，不符合题意；

对于B，，为对数函数，定义域为且在定义域内单调递增，符合题意；

对于C，，其定义域为，不符合题意；

对于D，，为对数函数，定义域为且在定义域内单调递减，不符合题意，

故选B．

【名师点睛】本题考查函数的定义域以及单调性的判定，涉及指数、对数、幂函数的性质，属于基础题．根据题意，依次分析选项中函数的定义域以及单调性，即可得答案．

典例2 已知函数，且.

（1）判断函数在上的单调性，并用定义法证明；

（2）若，求的取值范围.

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】（1）由已知得，，

∴.

∴.

任取，且，

则，

∵，

∴，

又∵，

∴，

∴，

∴，即，即，

∴函数在上为单调增函数.

（2）∵，且由（1）知函数在上为单调增函数，

∴即，化简得，

∴的取值范围为（不写集合形式不扣分）.

【名师点睛】本题主要考查函数的单调性的定义和证明方法，属于基础题.求解时，（1）由，代入解析式即可得，进而得，从而可利用单调性定义证明即可；（2）由（1）知函数在上为单调增函数，所以得，求解不等式即可.用定义法证明函数的单调性的步骤：①取值；②作差；③变形；④确定符号；⑤下结论.关键是第三步的变形，一定要化为几个因式乘积的形式.

1．函数的单调递减区间是

A． B．

C． D．

考向二 函数单调性的应用

函数单调性的应用主要有：

（1）由的大小关系可以判断与的大小关系，也可以由与的大小关系判断出的大小关系．比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质转化到同一个单调区间上进行比较.

（2）利用函数的单调性，求函数的最大值和最小值．

（3）利用函数的单调性，求参数的取值范围，此时应将参数视为已知数，依据函数的单调性，确定函数的单调区间，再与已知单调区间比较，即可求出参数的取值范围．若函数为分段函数，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．

（4）利用函数的单调性解不等式．首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“f”号，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内．

典例3 定义在上的函数满足：对任意的，（），有，则

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】因为对任意的，（），有，所以函数在上是减函数，因为，所以，故选D．

典例4 已知函数的定义域是，且满足，，如果对于，都有．

（1）求的值；

（2）解不等式.

【解析】（1）令，则，.

（2）解法一：由题意知为上的减函数，且，即.

∵，且，

∴可化为，即＝，

则，解得.

∴不等式的解集为．

解法二：由，

∴，

∴，即，

则，解得.

∴不等式的解集为．

2．已知函数在上是增函数，则的取值范围是

A． B．

C． D．

考向三 函数最值的求解

1．利用单调性求最值．应先确定函数的单调性，然后再由单调性求出最值．若函数在闭区间上是增函数，则在上的最小值为，最大值为；若函数在闭区间上是减函数，则在上的最小值为，最大值为.

2．求函数的最值实质上是求函数的值域，因此求函数值域的方法也用来求函数最值.

3．由于分段函数在定义域不同的子区间上对应不同的解析式，因此应先求出分段函数在每一个子区间上的最值，然后取各区间上最大值中的最大者作为分段函数的最大值，各区间上最小值中的最小者作为分段函数的最小值.

4．求函数最值的方法还有数形结合法和导数法.

典例5 已知函数，若在区间上，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ．

【答案】

【解析】要使在区间上，不等式恒成立，只需恒成立，设，只需小于在区间上的最小值，

因为，所以当时，，所以，所以实数的取值范围是.

典例6 已知函数，若x∈[t，t＋2]，求函数f(x)的最值．

【解析】易知函数的图象的对称轴为直线x＝1，

（1）当1≥t＋2，即时，f(x)_max＝f(t) ＝t²－ 2t－3，f(x)_min＝f(t＋2)＝t²＋2t－3.

（2）当≤1<t＋2，即－1<t≤0时，f(x)_max＝f(t)＝t²－2t－3，f(x)_min＝f(1)＝－4.

（3）当t≤1<，即0<t≤1时，f(x)_max＝f(t＋2)＝t²＋2t－3，f(x)_min＝f(1)＝－4.

（4）当1<t，即t>1时，f(x)_max＝f(t＋2)＝t²＋2t－3，f(x)_min＝f(t)＝t²－2t－3.

设函数f(x)的最大值为g(t)，最小值为φ(t)，则有 ，.

【名师点睛】求二次函数的最大（小）值有两种类型：一是函数定义域为实数集，这时只要根据抛物线的开口方向，应用配方法即可求出最大（小）值；二是函数定义域为某一区间，这时二次函数的最大（小）值由它的单调性确定，而它的单调性又由抛物线的开口方向和对称轴的位置（在区间上，在区间左侧，还是在区间右侧）来决定，若含有参数，则要根据对称轴与轴的交点与区间的位置关系对参数进行分类讨论，解题时要注意数形结合.

3．定义在上的函数满足，当时， ，则函数在上有

A．最小值 B．最大值

C．最大值 D．最小值

考向四 判断函数的奇偶性

判断函数奇偶性的常用方法及思路：

（1）定义法：

（2）图象法：

（3）性质法：利用奇函数和偶函数的和、差、积、商的奇偶性和复合函数的奇偶性来判断.

注意：①分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内x取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据x的范围相应地化简解析式，判断与的关系，得出结论，也可以利用图象作判断．

②性质法中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的．

③性质法在选择题和填空题中可直接运用，但在解答题中应给出性质推导的过程.

典例7 设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是

A．是偶函数 　　　 B．是奇函数

C．是奇函数 D．是奇函数

【答案】C

【解析】设，则，因为是奇函数，是偶函数，故，即是奇函数，选C．

典例8 下列判断正确的是

A．函数是奇函数

B．函数是非奇非偶函数

C．函数是偶函数

D．函数既是奇函数又是偶函数

【答案】B

【解析】对于A，的定义域为，不关于原点对称，不是奇函数.

对于B，，，不满足奇偶性的定义，是非奇非偶函数.

对于C，函数的定义域为，关于原点对称.当时，；当时，.综上可知，函数是奇函数.

对于D，的图象为平行于轴的直线，不关于原点对称，不是奇函数.

【名师点睛】对于C，判断分段函数的奇偶性时，应分段说明与的关系，只有当对称的两段上都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性.若D项中的函数是，且定义域关于原点对称，则函数既是奇函数又是偶函数.

4．已知函数（其中为自然对数的底数）为偶函数，则实数的值为__________．

考向五 函数奇偶性的应用

1．与函数奇偶性有关的问题及解决方法：

（1）已知函数的奇偶性，求函数的值．

将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．

（2）已知函数的奇偶性求解析式.

已知函数奇偶性及其在某区间上的解析式,求该函数在整个定义域上的解析式的方法是：首先设出未知区间上的自变量，利用奇、偶函数的定义域关于原点对称的特点，把它转化到已知的区间上，代入已知的解析式，然后再次利用函数的奇偶性求解即可.

（3）已知带有参数的函数的表达式及奇偶性求参数.

在定义域关于原点对称的前提下，利用为奇函数，为偶函数，列式求解，也可以利用特殊值法求解.对于在处有定义的奇函数，可考虑列式求解.

（4）已知函数的奇偶性画图象判断单调性或求解不等式.

利用函数的奇偶性可画出函数在另一对称区间上的图象及判断另一区间上函数的单调性.

2．对称性的三个常用结论：

（1）若函数是偶函数，即，则函数的图象关于直线对称；

（2）若对于上的任意x都有或，则的图象关于直线对称；

（3）若函数是奇函数，即，则函数关于点中心对称．

典例9 已知是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集用区间表示为__________．

【答案】

【解析】∵是定义在上的奇函数，∴.

又当时，，∴.

又为奇函数，∴，∴，

∴.

当时，由得，解得；

当时，无解；

当时，由得，解得.

综上，不等式的解集用区间表示为．

5．设函数，若，则

A．2 B．−2

C．2019 D．−2019

考向六 函数周期性的判断及应用

（1）判断函数的周期，只需证明，便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．

（2）根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，即周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间的功能．在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则且)也是函数的周期.

（3）利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化为已知区间上的相应问题，进而求解.

典例10 定义在实数集上的函数满足，且，现有以下三种叙述：

①是函数的一个周期；②的图象关于直线对称；③是偶函数．

其中正确的序号是 ．

【答案】①②③

【解析】由得，所以，所以是的一个周期，也是的一个周期，①正确；

由得的图象关于直线对称，②正确；

由得，所以，所以函数是偶函数，③正确．

所以正确的序号是①②③．

6．已知函数和都是定义在上的偶函数，当时，，则

A． B．

C． D．

考向七 函数性质的综合应用

函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现，且主要有以下几种命题角度：

（1）函数的单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．

（2）周期性与奇偶性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．

（3）周期性、奇偶性与单调性相结合，解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.

典例11 已知定义在上的奇函数满足，且在区间上是增函数，则

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】因为满足，所以，所以函数是以8为周期的周期函数，则.

由是定义在上的奇函数，且满足，得.

因为在区间上是增函数，是定义在上的奇函数，所以在区间上是增函数，

所以，即.

7．设函数，则下列结论正确的是

A．的值域为 B．是偶函数

C．不是周期函数 D．是单调函数

考向八 函数图象的识别

高考对函数图象的考查主要有识图和辨图两个方面，其中识图是每年高考中的一个热点，题型多以选择题为主，难度适中，常会与函数的有关性质(如奇偶性、单调性)等相结合.

(1)识图的要点：

重点根据图象看函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、特殊点(与x轴、y轴的交点，最高、最低点等)．

(2)识图的方法：

①定性分析法：对函数进行定性分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决；

②定量计算法：通过定量的计算来分析解决；

③排除法：利用本身性质或特殊点进行排除验证．

典例12 函数图象的大致形状是

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】由题可得，

则，

则是偶函数，其图象关于轴对称，排除B，D；

当时，，排除A，

本题正确选项为C.

【名师点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，结合函数奇偶性和对称性的性质以及函数值的对应性，利用排除法是解决本题的关键．解答本题时，根据条件先判断函数的奇偶性和对称性，利用的值的符号进行排除即可．

8．如图所示是函数的图象，则函数的解析式可能是

A． B．

C． D．

1．下列函数中，是奇函数且在定义域内为单调函数的是

A． B．y=lnx

C．y=x+sinx D．y=

2．函数的减区间是

A． B．

C． D．

3．函数的图象为

A． B．

C． D．

4．若函数的定义域为，且是奇函数，则满足的实数的取值范围是

A． B．

C． D．

5．已知定义域为的奇函数的图象关于直线对称，且当时，，则

A． B．

C． D．

6．已知函数，则“”是“”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

7．已知定义在上的函数满足：对任意实数都有，，且时，，则的值为

A． B．

C． D．

8．设是定义在上的偶函数，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数的最大值是

A． B．

C． D．

9．已知f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，，则=__________．

10．设函数，则使得成立的的集合为__________．

11．已知是定义在上的奇函数，且，若，时，有成立.

（1）判断在上的单调性，并证明；

（2）解不等式；

（3）若对所有的恒成立，求实数的取值范围.

12．若函数y=f(x)对定义域内的每一个值x₁，在其定义域内都存在唯一的x₂，使f(x₁)f(x₂)=1成立，则称该函数为“依赖函数”．

（1）判断函数g(x)=2^x是否为“依赖函数”，并说明理由；

（2）若函数f(x)=(x–1)²在定义域[m，n](m>1)上为“依赖函数”，求实数m、n的乘积mn的取值范围；

（3）已知函数f(x)=(x–a)²(a<)在定义域[，4]上为“依赖函数”．若存在实数x[，4]，使得对任意的tR，有不等式f(x)≥–t²+(s–t)x+4都成立，求实数s的最大值．

1．（2019年高考全国Ⅱ卷文数）设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)=，则当x<0时，f(x)=

A． B．

C． D．

2．（2019年高考北京文数）下列函数中，在区间（0，+）上单调递增的是

A． B．y=

C． D．

3．（2019年高考全国Ⅰ卷文数）函数f(x)=在的图像大致为

A． B．

C． D．

4．（2019年高考全国Ⅲ卷文数）设是定义域为R的偶函数，且在单调递减，则

A．（log₃）＞（）＞（）

B．（log₃）＞（）＞（）

C．（）＞（）＞（log₃）

D．（）＞（）＞（log₃）

5．（2018年高考浙江卷）函数y=sin2x的图象可能是

A． B．

C． D．

6．（2018年高考新课标Ⅲ卷文科）下列函数中，其图象与函数的图象关于直线对称的是

A． B．

C． D．

7．（2017年高考浙江卷）若函数f(x)=x²+ ax+b在区间[0，1]上的最大值是M，最小值是m，则M – m

A．与a有关，且与b有关 B．与a有关，但与b无关

C．与a无关，且与b无关 D．与a无关，但与b有关

8．（2017年高考新课标Ⅱ卷文科）函数的单调递增区间是

A． B．

C． D．

9．（2017年高考北京卷文科）已知函数，则

A．是偶函数，且在R上是增函数 B．是奇函数，且在R上是增函数

C．是偶函数，且在R上是减函数 D．是奇函数，且在R上是减函数

10．（2017年高考天津卷文科）已知奇函数在上是增函数．若

，则，，的大小关系为

A． B．

C． D．

11．（2017年高考新课标Ⅰ卷文科）已知函数，则

A．在（0，2）单调递增 B．在（0，2）单调递减

C．y=的图像关于直线x=1对称 D．y=的图像关于点（1，0）对称

12．（2018年高考江苏卷）函数满足，且在区间上， 则的值为________．

13．（2017年高考新课标全国Ⅱ卷文科）已知函数是定义在上的奇函数，当时，,则 .

14．（2017年高考山东卷文科）已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+4)=f(x-2).若当时,,则f(919)=_________．

变式拓展

1．【答案】D

【解析】设t＝x²﹣2x﹣3，则函数在（﹣∞，1]上单调递减，在[1，+∞）上单调递增．

因为函数在定义域上为减函数，

所以由复合函数的单调性性质可知，此函数的单调递减区间是（1，+∞）．

故选D．

【名师点睛】本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法．复合函数的单调性，一要先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”．解答本题时，利用复合函数的单调性确定函数f（x）的单调递减区间．

2．【答案】D

【解析】因为函数在上是增函数，

所以有，解得.

故选D.

【名师点睛】本题主要考查由分段函数单调性求参数的问题，只需考虑每一段的单调性，以及结点处的大小即可，属于常考题型.

3．【答案】D

【解析】令，则，

用代替得：，所以函数为奇函数，

设，且，则，所以函数是减函数，故在上有最小值．

故选D．

【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性的判定，函数单调性的定义法证明，同时考查了单调性的应用，属于中档题．解题时，一定要注意判断奇偶性时，先分析函数的定义域是否关于原点对称，单调性定义法证明时，作差后一定要变形到位，一般为几个因式相乘的形式，然后判断差的正负作出结论．

4．【答案】1

【解析】因为为偶函数，所以恒成立，

即，整理得到恒成立，

故，故填.

【名师点睛】含参数的偶函数（或奇函数），可通过取自变量的特殊值来求参数的大小，注意最后检验必不可少，也可以利用（或）恒成立来求参数的大小.

5．【答案】B

【解析】因为，

所以，

因此函数为奇函数，

又，所以.

故选B.

【名师点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用，熟记函数奇偶性的定义即可，属于基础题型.解答本题时，先判断函数奇偶性，进而可求出函数值.

6．【答案】B

【解析】因为是定义在上的偶函数，所以，

即，又定义在上的为偶函数，所以，

所以函数周期，

所以，故选B.

【名师点睛】本题主要考查了函数的奇偶性，周期性，利用周期求函数值，属于中档题.解答本题时，由和都是定义在上的偶函数，可推导出周期为4，而，即可计算.

7．【答案】B

【解析】函数的值域为，故A错误；

当为有理数时，是有理数，则，

当为无理数时，是无理数，则，

即为偶函数，故B正确；

对于任意的有理数，当为有理数时，也是有理数，则，

当为无理数时，也是无理数，则，

即函数是以任意非0有理数为周期的周期函数，故C错误；

，显然不是单调函数，故D错误.

故选B.

【名师点睛】本题考查的知识点是命题真假的判断与应用，函数的值以及函数的性质，正确理解新定义函数是关键.解答本题时，根据已知函数的解析式，结合函数的奇偶性、函数周期性及函数值的确定方法，分别判断四个选项的真假可得答案.

8．【答案】A

【解析】由图象可得，该函数的定义域为，且函数图象关于原点对称，所以该函数为奇函数；

又当时，函数图象出现在轴下方，即函数值先为负值，显然B，C，D均不满足，故选A.

【名师点睛】本题主要考查由函数图象确定函数解析式，熟记函数的性质即可，属于常考题型.解答本题时，先由函数图象确定该函数的定义域，以及奇偶性，再由的图象，即可判断出结果.

考点冲关

1．【答案】C

【解析】由题意，对于函数，在定义域内为偶函数，且先减后增，不符合题意；

对于函数，在定义域上是非奇非偶函数，且是单调递增函数，不符合题意；

对于函数，在定义域上为奇函数，且在上单调递减，不符合在定义域内单调递减，不符合题意；

对于函数，定义域为，则，所以函数为奇函数，且，所以函数是单调递增函数，符合题意，

故选C．

【名师点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的应用，以及利用导数研究函数的单调性的应用，其中解答中熟记函数的奇偶性的判定方法，以及导数与函数的单调性的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．解答本题时，根据函数的奇偶性的定义，以及函数的单调性的判定方法，逐项判定，即可求解．

2．【答案】B

【解析】令t=−x²+2x+3＞0，求得−1＜x＜3，故函数的定义域为（−1，3），且y=ln t，故本题即求函数t在定义域内的减区间．再利用二次函数的性质求得t=−（x−1）²+4在定义域内的减区间为[1，3），

故选B．

3．【答案】A

【解析】由，得为奇函数，其图象关于原点对称，排除C，D.

当时，得，排除B.

故选A.

【名师点睛】判断函数的奇偶性，一般利用定义法，首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数；如果函数的定义域关于原点对称，则继续求；最后比较和的关系，如果有=，则该函数是偶函数，如果有=−，则该函数是奇函数，否则是非奇非偶函数.函数图象的辨识可从以下方面入手：

(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；

(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；

(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；

(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.

4．【答案】A

【解析】由得，∴即，

又在上是增函数，y=在上是增函数，

故在上是增函数，

∴，∴.

故选A.

【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性、函数的定义域及单调性的应用，准确判断函数的单调性是关键，注意定义域，属于中档题．解答本题时，由函数的奇偶性可得m=1，再根据f（x）的单调性、定义域可得，由此求得x的取值范围．

5．【答案】B

【解析】由是定义域为的奇函数，得到①；

又由的图象关于直线对称，得到②；

在②式中，用替代得到，又由①得；

再利用②式，，

，③

对③式，用替代得到，则是周期为4的周期函数；

当时，，得，

，，

由于是周期为4的周期函数，，

故选B.

【名师点睛】本题考查函数的奇偶性和周期性，以及考查函数的赋值求解问题，属于中档题.解答本题时，利用题意得到，和，再利用换元法得到，进而得到的周期，最后利用赋值法得到，，最后利用周期性求解即可.

6．【答案】C

【解析】由题得函数的定义域为R.则

,

所以函数是奇函数.

当x≥0时，是增函数，是增函数，所以函数在上是增函数.又因为函数是奇函数，所以函数是R上的增函数.

所以.

所以“”是“”的充要条件.

故答案为C.

【名师点睛】（1）本题主要考查函数的奇偶性和单调性，考查函数的充要条件的判定，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和基本运算能力.

（2）解答本题的关键是判断函数的单调性，解答时利用了函数单调性的性质，增（减）函数+增（减）函数=增（减）函数.

7．【答案】B

【解析】对任意实数都有,可得到函数的周期是6，，即函数为偶函数，则,根据奇偶性得到.

故答案为B．

【名师点睛】这个题目考查的是函数的基本性质，周期性和奇偶性的应用，对于抽象函数求解析式，一般先要研究函数的这两个性质，通过周期将要求的函数的自变量化到题中所给的区间，再应用奇偶性求解即可.

8．【答案】B

【解析】易知函数在上单调递减，又函数是定义在上的偶函数，所以函数在上单调递增，则由，得，即，即，即在上恒成立，

则，解得，即的最大值为.

故选B.

【名师点睛】求解本题时，先根据基本函数的单调性判定函数在上单调递减，再利用函数的奇偶性判定函数在上单调递增，将不等式恒成立问题转化为恒成立，然后平方转化为一次不等式恒成立问题.熟记下列结论：

（1）利用函数的奇偶性判定函数的单调性时，要熟记“奇函数在对称区间上单调性一致，偶函数在对称区间上单调性相反”；

（2）处理一次项系数含字母的一次不等式恒成立问题时，为了避免讨论一次项系数的符号，往往判定区间上的两端点对应的函数值恒正或恒负.

9．【答案】

【解析】因为函数f(x)为R上的奇函数，所以，即，故当时，，所以.

【名师点睛】本题主要考查奇函数的性质及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.由题意首先求得m的值，然后结合奇函数的性质整理计算即可求得最终结果.

10．【答案】

【解析】由，易得是偶函数.

当时，.

对于，当时，，则在时单调递增.

又在时单调递增，

所以函数在时单调递增.

由函数是偶函数，且在时单调递增，

结合，可得，解得，

所以使得成立的的集合为.

【名师点睛】本题考查函数的奇偶性，用导数判断函数的单调性，函数不等式的求解.解答本题时，要解函数不等式，就需要去掉，分析函数的单调性和奇偶性即可求解.

11．【答案】（1）减函数，证明见解析；（2）；（3）{m|或或}.

【解析】（1）在上是减函数，证明如下：

任取且，则，

为奇函数，

，

由题知，，

，即，

在上单调递减.

（2）在上单调递减，

，

故解得不等式的解集为.

（3），在上单调递减，

在上，，

问题转化为，即对任意的恒成立，

令，即对任意的恒成立，

则由题知，解得或或.

即实数的取值范围是{m|或或}.

【思路点拨】（1）根据单调性定义，设，作差，由奇函数的定义化为，再利用已知条件得，从而得函数为减函数；

（2）由减函数的定义得，但还要注意定义域，因此有；

（3）题设不等式恒成立，即恒成立，对任意的恒成立，作为的一次不等式，只要和时不等式成立即可．

12．【答案】（1）g(x)=2^x是“依赖函数”，理由见解析；（2）；（3）.

【解析】（1）对于函数g(x)=2^x的定义域R内任意的x₁，取x₂= –x₁，则g(x₁)g(x₂)=1，

且由g(x)=2^x在R上单调递增，可知x₂的取值唯一，

故g(x)=2^x是“依赖函数”.

（2）因为m>1，f(x)=(x–1)²在[m，n]上递增，

故f(m)f(n)=1，即(m–1)²(n–1)²=1，

由n>m>1，得(m–1) (n–1) =1，

故，

由n>m>1，得1<m<2，

从而在上单调递减，

故.

（3）因为，

故在上单调递增，

从而，即，进而，解得或(舍去)，

从而，存在，使得对任意的t∈R，有不等式恒成立，即恒成立，

由，得，

由，可得，

又在上单调递增，

故当时，，

从而，解得，

故实数的最大值为．

【思路点拨】（1）取 ，可验证函数为依赖函数；

（2）化简条件得，从而，利用单调性求值域即可；

（3）由题意知存在，使得对任意的t∈R，有不等式恒成立，即恒成立，分离参数可得，转化为求最值问题处理即可顺利解决.

直通高考

1．【答案】D

【解析】由题意知是奇函数，且当x≥0时，f(x)=，

则当时，，则，

得．

故选D．

【名师点睛】本题考查分段函数的奇偶性和解析式，渗透了数学抽象和数学运算素养．采取代换法，利用转化与化归的思想解题．

2．【答案】A

【解析】易知函数，在区间上单调递减，

函数在区间上单调递增.

故选A.

【名师点睛】本题考查简单的指数函数、对数函数、幂函数的单调性，注重对重要知识、基础知识的考查，蕴含数形结合思想，属于容易题.

3．【答案】D

【解析】由，得是奇函数，其图象关于原点对称．

又，可知应为D选项中的图象．

故选D．

【名师点睛】本题考查函数的性质与图象的识别，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取性质法和赋值法，利用数形结合思想解题．

4．【答案】C

【解析】是定义域为的偶函数，．

，

又在(0，+∞)上单调递减，

∴，

即.

故选C．

【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，先利用函数的奇偶性化为同一区间，再利用中间量比较自变量的大小，最后根据单调性得到答案．

5．【答案】D

【解析】令，因为，所以为奇函数，排除选项A,B;

因为时，，所以排除选项C，故选D．

【名师点睛】先研究函数的奇偶性，再研究函数在上的符号，即可判断选择.有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：

（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；

（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；

（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；

（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．

6．【答案】B

【解析】函数过定点（1，0），（1，0）关于直线x=1对称的点还是（1，0），只有的图象过此点.故选项B正确.

【名师点睛】本题主要考查函数的对称性和函数的图象，属于中档题.求解时，确定函数过定点（1，0）及其关于直线x=1对称的点，代入选项验证即可.

7．【答案】B

【解析】因为最值在中取，所以最值之差一定与无关，选B．

【名师点睛】对于二次函数的最值或值域问题，通常先判断函数图象对称轴与所给自变量闭区间的关系，结合图象，当函数图象开口向上时，若对称轴在区间的左边，则函数在所给区间内单调递增；若对称轴在区间的右边，则函数在所给区间内单调递减；若对称轴在区间内，则函数图象顶点的纵坐标为最小值，区间端点距离对称轴较远的一端取得函数的最大值．

8．【答案】D

【解析】要使函数有意义，则，解得：或，结合二次函数的单调性、对数函数的单调性和复合函数同增异减的原则可得函数的单调递增区间为.故选D.

【名师点睛】求函数单调区间的常用方法：(1)定义法和导数法，通过解相应不等式得单调区间；(2)图象法，由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集：二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接；(3)利用复合函数“同增异减”的原则，此时需先确定函数的单调性.

9．【答案】B

【解析】，所以该函数是奇函数，并且是增函数，是减函数，根据增函数−减函数=增函数，可知该函数是增函数，故选B.

【名师点睛】本题属于基础题型，根据与的关系就可以判断出函数的奇偶性，判断函数单调性的方法：（1）利用平时学习过的基本初等函数的单调性；（2）利用函数图象判断函数的单调性；（3）利用函数的四则运算判断函数的单调性，如：增函数+增函数=增函数，增函数−减函数=增函数；（4）利用导数判断函数的单调性.

10．【答案】C

【解析】由题意可得，且，，所以，结合函数的单调性可得，即，即．故选C．

【名师点睛】比较大小是高考的常见题型，指数式、对数式的大小比较要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性、奇偶性等进行大小比较，要特别关注灵活利用函数的奇偶性和单调性，数形结合进行大小比较或解不等式．

11．【答案】C

【解析】由题意知，，所以的图像关于直线对称，故C正确，D错误；又（），由复合函数的单调性可知在上单调递增，在上单调递减，所以A，B错误，故选C．

【名师点睛】如果函数，，满足，恒有，那么函数的图像有对称轴；如果函数，，满足，恒有，那么函数的图像有对称中心．

12．【答案】

【解析】由得函数的周期为4，所以因此

【名师点睛】(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值.

(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.

13．【答案】12

【解析】.

【名师点睛】(1)已知函数的奇偶性求函数值或解析式，首先抓住奇偶性讨论函数在各个区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于的方程，从而可得的值或解析式. (2)已知函数的奇偶性求参数，一般采用待定系数法求解，根据得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值.

14．【答案】

【解析】由f(x+4)=f(x-2)可知,是周期函数,且,所以 .

【名师点睛】与函数奇偶性有关问题的解决方法：

①已知函数的奇偶性,求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．

②已知函数的奇偶性求解析式：将待求区间上的自变量,转化到已知区间上,再利用奇偶性求出,或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组),从而得到f(x)的解析式．

③已知函数的奇偶性,求函数解析式中参数的值：常利用待定系数法，利用f(x)±f(－x)＝0得到关于待求参数的恒等式,由系数的对等性得参数的值或方程求解．

④应用奇偶性画图象和判断单调性：利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性．

 

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