考点02 命题及其关系、充分条件与必要条件
（1）理解命题的概念.
（2）了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.
（3）理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.
一、命题及其关系
1．命题的概念
在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．
2．四种命题及其关系
(1)四种命题
| 命题 | 表述形式 |
| 原命题 | 若p，则q |
| 逆命题 | 若q，则p |
| 否命题 | 若，则 |
| 逆否命题 | 若，则 |
(2)四种命题间的关系
(3)常见的否定词语
| 正面词语 | = | >(<) | 是 | 都是 | 任意(所有)的 | 任两个 | 至多有1(n)个 | 至少有1个 |
| 否定词 | () | 不是 | 不都是 | 某个 | 某两个 | 至少有2(n+1)个 | 1个也没有 |
3．四种命题的真假关系
(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．
【提醒】当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提，也就是大前提不动．
二、充分条件与必要条件
1．充分条件与必要条件的概念
(1)若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；
(2)若p⇒q且qp，则p是q的充分不必要条件；
(3)若pq且q⇒p，则p是q的必要不充分条件；
(4) 若p⇔q，则p是q的充要条件；
(5) 若pq且qp，则p是q的既不充分也不必要条件.
2．必记结论
(1)等价转化法判断充分条件、必要条件
①p是q的充分不必要条件是的充分不必要条件；
②p是q的必要不充分条件是的必要不充分条件；
③p是q的充要条件是的充要条件；
④p是q的既不充分也不必要条件是的既不充分也不必要条件.
(2)集合判断法判断充分条件、必要条件
若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即p：A={x|p(x) }，q：B={x|q(x) }，则
①若，则p是q的充分条件；
②若，则p是q的必要条件；
③若，则p是q的充分不必要条件；
④若，则p是q的必要不充分条件；
⑤若，则p是q的充要条件；
⑥若且，则p是q的既不充分也不必要条件.
考向一 四种命题的关系及其真假的判断
四种命题的关系及其真假的判断是高考中的一个热点，多以选择题的形式出现，难度一般不大，往往会结合其他知识点(如函数、不等式、三角、向量、立体几何等)进行综合考查.常见的解法如下：
1．判断四种命题间关系的方法
①由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件与结论互换即得逆命题，将条件与结论同时否定即得否命题，将条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题．
②原命题和逆否命题、逆命题和否命题有相同的真假性，解题时注意灵活应用.
2．命题真假的判断方法
①给出一个命题，要判断它是真命题，需经过严格的推理证明；而要说明它是假命题，则只需举一反例即可．
②由于原命题与其逆否命题为等价命题，有时可以利用这种等价性间接地证明命题的真假.
典例1 设a、，原命题“若，则”，则关于其逆命题、否命题、逆否命题的结论正确的是
A．逆命题与否命题均为真命题
B．逆命题为假命题，否命题为真命题
C．逆命题为假命题，逆否命题为真命题
D．否命题为假命题，逆否命题为真命题
【答案】A
【解析】设a、，原命题“若，则”是假命题（取a=−1，b=1可进行验证），
原命题的逆否命题是假命题；
原命题的逆命题：“若，则”是真命题，
原命题的否命题是真命题．故选A．
【名师点睛】本题考查命题真假的判断，考查不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．解答本题时，判断出原命题是假命题，从而原命题的逆否命题是假命题；再判断原命题的逆命题是真命题，从而原命题的否命题是真命题．
1．能说明“设a，b为实数，若，则直线与圆相切”为假命题的一组a，b的值依次为__________．
典例2 命题“若，则”的逆否命题是
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【解析】命题“若，则”的逆否命题是“若，则”，故命题“若，则”的逆否命题是若，则 ，故选C．
【方法点睛】将原命题的条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题．写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写；在判断原命题、逆命题、否命题以及逆否命题的真假时，要借助原命题与其逆否命题同真或同假，逆命题与否命题同真或同假来判定．
2．下列说法正确的是
A．命题“，使”的否定为“，都有”
B．命题“若向量与的夹角为锐角，则”及它的逆命题均为真命题
C．命题“在锐角△中，”为真命题
D．命题“若，则或”的逆否命题为“若且，则”
考向二 充分、必要条件的判断
充分条件与必要条件的判断是高考命题的热点，多以选择题形式出现，作为载体，考查知识面广，常与函数、不等式、三角函数、平面向量、立体几何、解析几何等知识综合考查.常见的解法如下：
1．命题判断法
设“若p，则q”为原命题，那么：
(1)原命题为真，逆命题为假时，则p是q的充分不必要条件；
(2)原命题为假，逆命题为真时，则p是q的必要不充分条件；
(3)当原命题与逆命题都为真时，则p是q的充要条件；
(4)当原命题与逆命题都为假时，则p是q的既不充分也不必要条件．
2．集合判断法（同必记结论）
3．等价转化法（同必记结论）
典例3 设是两条不同的直线，是平面，则是成立的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】∵，∴当a∥b时，一定有a∥，即充分性成立.反之，当a∥时，a，b可能平行，可能异面，即必要性不成立，故是成立的充分不必要条件，故选A．
【名师点睛】本题考查充要条件的判断，从定义来看，若，则是的充分条件，若，则是的必要条件，若，则是的充要条件；从集合的角度看，若，则是的充分条件，若，则是的必要条件，若，则是的充要条件，若是的真子集，则是的充分而不必要条件，若是的真子集，则是的必要而不充分条件．
3．设a，b都是不等于1的正数，则“”是“”的
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
典例4 若条件，且是的充分不必要条件，则可以是
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】若是的充分不必要条件，则区间是q的真子集，本题选B.
【名师点睛】有关探求充要条件的选择题，破题关键是：首先，判断是选项“推”题干，还是题干“推”选项；其次，利用以小推大的技巧，即可得结论．
4．已知，下列四个条件中，使成立的充分不必要条件是
A． B．
C． D．
考向三 充分、必要条件的应用
充分、必要条件的应用主要涉及根据充要条件求解参数的取值范围，具体解法如下：
1．解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（组）求解.
2．求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象.
典例5 设，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】对应的集合为，对应的集合为，
∵是的必要不充分条件，∴或，解得或，故选D．
5．设命题:实数满足；命题：实数满足.若，且是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
1．“”是“或”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．已知命题“若，则”的逆命题是真命题，则m的取值范围是
A． B．
C． D．
3．设，则使成立的必要不充分条件是
A． B．
C． D．
4．下列关于命题的说法正确的是
A．命题“若，则”的否命题是“若，则”
B．命题“若，则互为相反数”的逆命题是真命题
C．命题“”的否定是“”
D．命题“若，则”的逆否命题是真命题
5．已知直线，和平面，若，，则“”是“”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．若原命题为：“若为共轭复数，则”，则该命题的逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次为
A．真真真 B．真真假
C．假假真 D．假假假
7．设都是非零向量，下列四个条件，使成立的充要条件是
A． B．
C．且 D．且方向相同
8．已知，，若是的一个必要不充分条件，则的取值范围为
A． B．
C． D．
9．命题“若，则或”的逆否命题为__________．
10．命题：若，则；命题：若，则恒成立.若的逆命题、的逆否命题都是真命题，则实数的取值范围是__________．
1．（2019年高考天津文数）设，则“”是“”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2019年高考浙江）若a>0，b>0，则“a+b≤4”是 “ab≤4”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2019年高考全国Ⅱ卷文数）设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是
A．α内有无数条直线与β平行 B．α内有两条相交直线与β平行
C．α，β平行于同一条直线 D．α，β垂直于同一平面
4．（2019年高考北京文数）设函数f（x）=cosx+bsinx（b为常数），则“b=0”是“f（x）为偶函数”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（2018浙江）已知平面α，直线m，n满足mα，nα，则“m∥n”是“m∥α”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（2018天津文科）设，则“”是“”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（2018北京文科）设a,b,c,d是非零实数，则“ad=bc”是“a,b,c,d成等比数列”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
8．（2017北京文科）设m,n为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
9．（2016四川文科）设p:实数x，y满足且，q: 实数x，y满足，则p是q的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
10．（2018北京文科）能说明“若a﹥b，则”为假命题的一组a，b的值依次为_________.
变式拓展
1．【答案】1,1（答案不唯一）
【解析】设，为实数，若，则直线与圆相切，
若为真命题，可得，即为，
若为假命题，只要，
要说明“设，为实数，若，则直线与圆相切”为假命题的一组，的值依次可为1，1（答案不唯一）．
故答案为：1，1（答案不唯一）．
【名师点睛】本题考查命题真假的判定条件，解题的关键是先求出命题为真命题时等价的条件，属于基础题.解答本题时，根据条件求出命题为真命题时等价的，的关系式，由关系式可得到命题为假命题时，的一组取值.
2．【答案】D
【解析】对于A选项，利用特称命题的否定是全称命题，且只需否定结论可得，命题“，使”的否定应为“，都有”，所以A错误；
对于B选项，其逆命题为“若，则向量与的夹角为锐角”，由得：，可得，则，所以该命题错误，所以B错误；
对于C选项，，可得，所以C错误.
故选D.
【名师点睛】本题主要考查了命题的真假判断，还考查了特称命题的否定，向量的数量积等知识，属于中档题.
3．【答案】C
【解析】由“”，得，
所以或或，
即或或，
由，得，
故“”是“”的必要不充分条件，
故选C．
【名师点睛】本题考查必要条件、充分条件及充分必要条件的判断方法，考查指数、对数不等式的解法，是基础题．解答本题时，根据对数函数以及指数函数的性质求解a,b的范围，再利用充分必要条件的定义判断即可．
4．【答案】B
【解析】B选项，是的充分不必要条件；
A选项，是的必要不充分条件；
C选项，是的既不充分也不必要条件；
D选项，是的充要条件.
故选B．
【名师点睛】本题考查的知识点是充分不必要条件的定义，属于基础题．解答本题时，根据充分不必要条件的定义，逐一分析给定四个选项与a＞b的关系，可得答案．
5．【答案】.
【解析】由得，
又，
所以m＜x＜3m，
由得，即.
设，，
若是的充分不必要条件，则A是B 的真子集，
所以，
解得.
【名师点睛】本题主要考查不等式的解法和复合命题的真假的判断，考查充分必要条件的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.解答本题时，先求出和，再列出不等式组，即得m的取值范围.
考点冲关
1．【答案】A
【解析】若且，则，显然成立.
若不一定推出且.
所以 是的充分不必要条件.
根据原命题与其逆否命题真假相同可得“”是“或”的充分不必要条件.
故选A.
【名师点睛】本题考查原命题与逆否命题真假相同，充分不必要条件的概念，属于基础题.解答本题时，可以探索且是的什么条件，利用原命题与其逆否命题真假相同进行判断.
2．【答案】D
【解析】命题的逆命题为：若，则成立，
则，解得，即，
故选D．
【名师点睛】本题主要考查四种命题的关系，结合逆命题的定义求出命题的逆命题是解决本题的关键．解答本题时，求出命题的逆命题，结合不等式的关系进行求解即可．
3．【答案】B
【解析】求解对数不等式可得，结合选项可得，使成立的必要不充分条件是.故选B.
4．【答案】B
【解析】逐一分析所给命题的真假：
对于A，命题“若，则”的否命题是“若，则”，题中说法错误；
对于B，命题“若 ，则互为相反数”是真命题，则其逆命题是真命题，题中说法正确；
对于C，命题“”的否定是“”，题中说法错误；
对于D，命题“若，则 ”是假命题，则其逆否命题是假命题，题中说法错误.
故选B.
5．【答案】B
【解析】由线面垂直的判定定理得：若，，则“”不能推出“”，
由“”，根据线面垂直的性质定理，可得“”，
即“”是“”的必要不充分条件，
故选B．
【名师点睛】本题主要考查了必要不充分条件的判定，以及线面垂直的判定定理和性质定理的应用，其中解答中熟记线面垂直的判定定理和性质定理，合理利用充分条件和必要条件的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
6．【答案】C
【解析】设，则，则，所以原命题为真命题，故其逆否命题为真命题.原命题的否命题为“若不互为共轭复数，则”，因为和不互为共轭复数，但，所以否命题为假命题，故原命题的逆命题为假命题.故选C.
7．【答案】D
【解析】表示与方向相同的单位向量，因此成立的充要条件是与同向即可，故选D．
8．【答案】B
【解析】，即，
，，即，
是的一个必要不充分条件，可得，即的范围比的范围小，
故，即.
故选B项.
【名师点睛】本题考查逻辑联结词，必要不充分条件，属于简单题.解答本题时，根据是的一个必要不充分条件，可得，然后得到的取值范围.
9．【答案】“若且，则”
【解析】因为若原命题为“若，则”，那么它的逆否命题为“若，则.”
所以命题“若，则或”的逆否命题为“若且，则”.
【名师点睛】本题考查了写出原命题的逆否命题，关键是要知道原命题与逆否命题的关系.解答本题时，根据若原命题为“若，则”，那么它的逆否命题为“若，则”即可得解.
10．【答案】
【解析】命题的逆命题：若，则，该命题是真命题，则．命题的逆否命题为真命题，故原命题为真命题，则，.故实数的取值范围是.
直通高考
1．【答案】B
【解析】由可得，
易知由推不出，
由能推出，
故是的必要而不充分条件，
即“”是“”的必要而不充分条件.
故选B.
【名师点睛】本题考查充分必要条件，解题的关键是由所给的不等式得到的取值范围.
2．【答案】A
【解析】当时，，则当时，有，解得，充分性成立；
当时，满足，但此时，必要性不成立，
综上所述，“”是“”的充分不必要条件.
故选A.
【名师点睛】易出现的错误：一是基本不等式掌握不熟练，导致判断失误；二是不能灵活地应用“赋值法”，通过取的特殊值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.
3．【答案】B
【解析】由面面平行的判定定理知：内有两条相交直线都与平行是的充分条件；
由面面平行的性质定理知，若，则内任意一条直线都与平行，所以内有两条相交直线都与平行是的必要条件.
故α∥β的充要条件是α内有两条相交直线与β平行.
故选B．
【名师点睛】面面平行的判定问题要紧扣面面平行的判定定理，最容易犯的错误为定理记不住，凭主观臆断.
4．【答案】C
【解析】当时，，为偶函数；
当为偶函数时，对任意的恒成立，
由，得，
则对任意的恒成立，
从而.
故“”是“为偶函数”的充分必要条件.
故选C.
【名师点睛】本题较易，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.
5．【答案】A
【解析】因为，所以根据线面平行的判定定理得.由不能得出与内任一直线平行，所以是的充分不必要条件，故选A.
【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法：
（1）定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．
（2）等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．
（3）集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．
6．【答案】A
【解析】求解不等式可得，求解绝对值不等式可得或，据此可知：“”是“” 的充分而不必要条件.故选A.
【名师点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法、充分不必要条件的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
7．【答案】B
【解析】当时，不成等比数列，所以不是充分条件；
当成等比数列时，则，所以是必要条件.
综上所述，“”是“成等比数列”的必要不充分条件，故选B.
【名师点睛】此题主要考查充分必要条件，实质是判断命题“”以及“”的真假.判断一个命题为真命题，要给出理论依据、推理证明；判断一个命题为假命题，只需举出反例即可，或者当一个命题正面很难判断真假时，可利用原命题与逆否命题同真同假的特点转化问题.
8．【答案】A
【解析】若，使，则两向量反向，夹角是，那么；若，那么两向量的夹角为，并不一定反向，即不一定存在负数，使得，所以是充分而不必要条件，故选A.
9．【答案】A
【解析】由题意，且，则，而当时不能得出，且.故是的充分不必要条件，选A.
【名师点睛】本题考查充分性与必要性的判断问题，首先是分清条件和结论，然后考察条件推结论，结论推条件是否成立.这类问题往往与函数、三角、不等式等数学知识结合起来考．有许多情况下可利用充分性、必要性和集合的包含关系得出结论．
10．【答案】（答案不唯一）
【解析】使“若，则”为假命题，则使“若，则”为真命题即可，
只需取即可满足，所以满足条件的一组的值为（答案不唯一）.
【名师点睛】此题考查不等式的运算，解决本题的关键在于对原命题与命题的否定真假关系的灵活转换，对不等式性质及其等价变形的充分理解，只要多取几组数值，解决本题并不困难.
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