考点01 集 合
1．集合的含义与表示
（1）了解集合的含义、元素与集合的属于关系.
（2）能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题.
2．集合间的基本关系
（1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.
（2）在具体情境中，了解全集与空集的含义.
3．集合的基本运算
（1）理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集.
（2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.
（3）能使用韦恩（Venn）图表达集合的关系及运算.
一、集合的基本概念
1．元素与集合的关系：.
2．集合中元素的特征：
| 确定性 | 一个集合中的元素必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否能构成集合 |
| 互异性 | 集合中的元素必须是互异的．对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．这个特性通常被用来判断集合的表示是否正确，或用来求集合中的未知元素 |
| 无序性 | 集合与其中元素的排列顺序无关，如a，b，c组成的集合与b，c，a组成的集合是相同的集合．这个特性通常被用来判断两个集合的关系 |
3．集合的分类：有限集与无限集，特别地，我们把不含有任何元素的集合叫做空集，记作.
4．常用数集及其记法：
| 集合 | 非负整数集(自然数集) | 正整数集 | 整数集 | 有理数集 | 实数集 | 复数集 |
| 符号 | 或 |
注意：实数集不能表示为{x|x为所有实数}或{}，因为“{ }”包含“所有”“全体”的含义.
5．集合的表示方法：自然语言、列举法、描述法、图示法.
二、集合间的基本关系
| 表示
关系 |
自然语言 | 符号语言 | 图示 | ||
| 基
本基本关系 |
子集 | 集合A中任意一个元素都是集合B的元素 | （或
） |
 |
|
| 真子集 | 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中 | （或
） |
 |
||
| 相等 | 集合A，B中元素相同或集合A，B互为子集 |  |
|||
| 空集 | 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 | ，
|
|||
必记结论：（1）若集合A中含有n个元素，则有个子集，有个非空子集，有个真子集，有个非空真子集．（2）子集关系的传递性，即.
注意：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解.
三、集合的基本运算
1．集合的基本运算
| 运算 | 自然语言 | 符号语言 | Venn图 |
| 交集 | 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合 |  |
|
| 并集 | 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合 |  |
|
| 补集 | 由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合 |  |
2．集合运算的相关结论
| 交集 | |||||
| 并集 | |||||
| 补集 |    |
3．必记结论
考向一 集合的基本概念
解决集合概念问题的一般思路：
（1）研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合，然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的意义．常见的集合的意义如下表：
| 集合 | |||||
| 集合的意义 | 方程的解集 | 不等式的解集 | 函数 的定义域 | 函数的值域 | 函数图象上的点集 |
（2）利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中的元素的个数时，要注意检验集合是否满足元素的互异性.
典例1 已知集合，，则集合中元素的个数为
A． B．3
C．4 D．5
【答案】D
【解析】当时，，则；当时，，则，故集合，即元素的个数为5，故选D．
【名师点睛】在解题时经常用到集合元素的互异性，一方面利用集合元素的互异性能顺利找到解题的切入点；另一方面，在解答完毕时，注意检验集合的元素是否满足互异性，以确保答案正确．
1．已知，，求实数的值.
考向二 集合间的基本关系
集合间的基本关系在高考中时有出现，常考查求子集、真子集的个数及利用集合关系求参数的取值范围问题，主要以选择题的形式出现，且主要有以下两种命题角度：（1）求子集的个数；（2）由集合间的关系求参数的取值范围.
典例2 已知集合，则集合的子集的个数为
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】集合，，故集合的子集的个数为.故选B.
【名师点睛】求集合的子集(真子集)个数问题，当集合的元素个数较少时，也可以利用枚举法解决，枚举法不失为求集合的子集(真子集)个数的好方法，使用时应做到不重不漏．
2．已知集合，，若，则由实数的所有可能的取值组成的集合为
A． B．
C． D．
考向三 集合的基本运算
有关集合间运算的试题，在高考中多以客观题的形式出现，且常与函数、方程、不等式等知识相结合，难度一般不大，常见的类型有：
（1）有限集（数集）间集合的运算
求解时，可以用定义法和Venn图法，在应用Venn图时，注意全集内的元素要不重不漏.
（2）无限集间集合的运算
常结合不等式等内容考查，一般先化简集合，再将集合在数轴上表示出来，最后进行集合运算求范围.
（3）用德·摩根公式法求解集合间的运算
对于有 
和 
的情况，可以直接应用德·摩根公式和进行运算.
典例3 已知集合,,则
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为或，所以
又因为 ，
所以，
故选C．
【名师点睛】对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围时，要注意单独考查等号能否取到．
3．集合，则集合P∩Q的元素个数是
A．0 个 B．1个
C．2个 D．3个
4．已知集合，，则
A． B．
C． D．
考向四 与集合有关的创新题目
与集合有关的创新题目是近几年高考的一个新趋势，试题出现较多的是在现有运算法则和运算律的基础上定义一种新的运算，并运用它解决相关的一些问题.解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：（1）紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；（2）用好集合的性质．集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质．
典例4 设是整数集的非空子集，如果，有，则称关于数的乘法是封闭的．若是的两个不相交的非空子集，，且，有；，有，则下列结论恒成立的是
A．中至少有一个关于乘法是封闭的 B．中至多有一个关于乘法是封闭的
C．中有且只有一个关于乘法是封闭的 D．中每一个关于乘法都是封闭的
【答案】A
【解析】取，，可得T关于乘法不封闭，V关于乘法封闭，
又取，，可得T,V关于乘法均封闭，故排除B，C，D，选A．
5．设是的两个子集，对任意，定义：
①若，则对任意，__________；
②若对任意，，则的关系为__________.
1．已知集合，则下列选项正确的是
A． B．
C． D．
2．已知集合，，则
A． B．
C． D．
3．已知集合,则=
A． B．
C． D．
4．已知集合，则中元素的个数为
A．1 B．5
C．6 D．无数个
5．已知集合，，若，则
A．0 B．0或1
C．2 D．0或1或2
6．已知全集，集合，，则下图中阴影部分所表示的集合为
A． B．
C． D．
7．已知集合，则集合的真子集的个数是
A．3 B．4
C．7 D．8
8．设集合，，则下列关系正确的是
A． B．
C． D．
9．设集合，，，则
A．{2} B．{2，3}
C．{−1，2，3} D．{1，2，3，4}
10．设和是两个集合，定义集合，且，如果，，那么
A． B．
C． D．
11．设集合，其中，若，则实数_______．
12．已知集合，，则______.
13．已知集合，且下列三个关系：①；②；③有且只有一个正确，则等于________.
14．已知集合，，若，则的取值范围是_____________．
15．已知非空集合M满足：若，则．则当时，集合M的所有元素之积为_______.
1．（2019年高考全国Ⅰ卷文数）已知集合，则
A． B．
C． D．
2．（2019年高考全国Ⅱ卷文数）已知集合，，则A∩B=
A．(-1，+∞) B．(-∞，2)
C．(-1，2) D．
3．（2019年高考全国Ⅲ卷文数）已知集合，则
A． B．
C． D．
4．（2019年高考北京文数）已知集合A={x|–1<x<2}，B={x|x>1}，则A∪B=
A．（–1，1） B．（1，2）
C．（–1，+∞） D．（1，+∞）
5．（2019年高考浙江）已知全集，集合，，则=
A． B．
C． D．
6．（2019年高考天津文数）设集合，则
A． B．
C． D．
7．（2018浙江）已知全集U={1，2，3，4，5}，A={1，3}，则
A． B．{1，3}
C．{2，4，5} D．{1，2，3，4，5}
8．（2018新课标全国Ⅰ文科）已知集合，，则
A． B．
C． D．
9．（2018新课标全国Ⅲ文科）已知集合，，则
A． B．
C． D．
10．（2018天津文科）设集合，，，则
A． B．
C． D．
11．（2017新课标全国Ⅰ文科）已知集合A=，B=，则
A．AB= B．AB
C．AB D．AB=R
12．（2017新课标全国Ⅱ文科）设集合，则
A． B．
C． D．
13．（2017北京文科）已知全集，集合，则
A． B．
C． D．
14．（2019年高考江苏）已知集合，，则 ▲ .
变式拓展
1．【答案】.
【解析】因为，所以有或，显然，
当时，，此时，不符合集合元素的互异性，故舍去；
当时，解得，或，由上可知不符合集合元素的互异性，故舍去，
【名师点睛】本题考查了元素与集合之间的关系，考查了集合元素的互异性，考查了解方程、分类讨论思想.解答本题时，由，有或，显然，解方程求出实数的值，但要注意集合元素的互异性.
2．【答案】D
【解析】因为集合，，，
若为空集，则方程无解，解得；
若不为空集，则，由解得，所以或，解得或，
综上，由实数的所有可能的取值组成的集合为.
故选D.
【名师点睛】本题主要考查由集合间的关系求参数的问题，熟记集合间的关系即可，属于基础题型.解答本题时，分为空集和不为空集两种情况讨论，分别求出的范围，即可得出结果.
3．【答案】B
【解析】由题意，在同一坐标系中，画出函数和的图象，
如图所示，由图象看出，和只有一个交点，
所以的元素个数为1，
故选B．
【名师点睛】本题主要考查了集合的交集，以及指数函数与对数函数的图象的应用，其中解答中在同一坐标系中作出两个函数的图象是解答的关键，着重考查了数形结合法的应用，属于基础题.解答本题时，在同一坐标系中，画出函数和的图象，结合图象，即可求解，得到答案.
4．【答案】C
【解析】集合，即，而，
所以，，
故选C项.
【名师点睛】本题考查集合的交集、并集运算，属于简单题.解答本题时，先化简集合，然后计算和，得到答案.
5．【答案】
【解析】①∵A⊆B，∴x∉A时，m=0，m(1−n)=0.
x∈A时，必有x∈B，∴m=n=1，m(1−n)=0.
综上可得：m(1−n)=0.
②对任意x∈R，m+n=1，则m，n的值一个为0，另一个为1，
即x∈A时，必有x∉B，或x∈B时，必有x∉A，
∴A，B的关系为.
【名师点睛】本题主要考查新定义知识的应用，集合之间的基本关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.解答本题时，由题意分类讨论x∉A和x∈A两种情况即可求得的值，结合题中的定义和m，n的关系即可确定A，B之间的关系.
考点冲关
1．【答案】B
【解析】元素与集合的关系，用 ∈ ；集合与集合的关系，用 ⊆ ，可知 B正确.
2．【答案】D
【解析】由题可得因为，，所以.故选D.
【名师点睛】本题主要考查集合的代表元素以及交集的运算，注意求交集时取两个集合的公共元素.
3．【答案】B
【解析】由已知，则，故选B．
4．【答案】C
【解析】由题得，
所以A中元素的个数为6.
故选C.
【名师点睛】本题主要考查集合的表示和化简，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.解答本题时，直接列举求出A和A中元素的个数得解.
5．【答案】B
【解析】由，可知或，所以或1.故选B.
【名师点睛】本小题主要考查子集的概念，考查集合元素的互异性，属于基础题.解答本题时，根据集合是集合的子集，得出的所有可能取值，由此得出正确选项.
6．【答案】B
【解析】由题意得，．∴．图中阴影部分所表示的集合为，∴．故选B．
7．【答案】A
【解析】由题意知，A为奇数集，又由集合，
则A∩B＝{1，3}，共2个元素，其子集有22＝4个，所以真子集有3个.
故选A．
【名师点睛】本题考查集合的子集与真子集，关键是正确理解集合A，求出集合A∩B．解答本题时，根据题意由A的意义，再结合交集的定义可得集合A∩B，分析可得答案．
8．【答案】C
【解析】由题意，，∴，只有C正确.
9．【答案】D
【解析】因为，所以.
故选D.
【名师点睛】集合的运算问题，一般要先研究集合中元素的构成，能化简的要先化简，同时注意数形结合，即借助数轴、坐标系、韦恩图等进行运算．解答本题时，先求，再求.
10．【答案】D
【解析】，，∴．
故选D.
【名师点睛】本题考查描述法的定义，指数函数的单调性，正弦函数的值域，属于基础题．解答本题时，根据的定义，可先求出，，然后即可求出．
11．【答案】
【解析】因为A=B,所以故答案为.
12．【答案】
【解析】，函数有意义时，所以，因此.
【名师点睛】本题考查了不等式的解法、函数的定义域、集合的交集运算，解题的关键是正确理解集合元素的属性特征和正确解出不等式的解集.解答本题时，解不等式，化简集合的表示，求函数的定义域，化简集合的表示，然后求出.
13．【答案】201
【解析】可分下列三种情形：（1）若只有①正确，则a≠2，b≠2，c=0，所以a=b=1,与集合中元素的互异性相矛盾，所以只有①正确是不可能的；
（2）若只有②正确，则b=2，a=2，c=0,这与集合中元素的互异性相矛盾，所以只有②正确是不可能的；
（3）若只有③正确，则c≠0，a=2，b≠2，所以c=1，b=0，所以100a+10b+c=100×2+10×0+1=201．
14．【答案】
【解析】因为，所以，
由已知集合，，
所以当时，满足题意，此时，即；
当时，要使成立，则，解得，
综上，的取值范围是.
【名师点睛】本题考查集合的包含关系，解题的关键是不要忘了空集这一特殊情况，属于一般题.解答本题时，因为，所以，建立不等关系即可求出的取值范围.
15．【答案】
【解析】若，则；
若，则；
若，则；
若，则；
故，集合M的所有元素之积为.
故答案为−1.
【名师点睛】本题主要考查集合的表示方法，集合元素的互异性等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.解答本题时，首先确定集合M中的所有元素，然后求解其乘积即可.
直通高考
1．【答案】C
【解析】由已知得，
所以.
故选C．
【名师点睛】本题主要考查交集、补集的运算，根据交集、补集的定义即可求解.
2．【答案】C
【解析】由题知，.
故选C．
【名师点睛】本题主要考查交集运算，是容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．易错点是理解集合的概念及交集概念有误，不能借助数轴解题．
3．【答案】A
【解析】∵∴，∴，
又，∴.
故选A．
【名师点睛】本题考查了集合交集的求法，是基础题.
4．【答案】C
【解析】∵，
∴.
故选C.
【名师点睛】本题考查并集的求法，属于基础题.
5．【答案】A
【解析】∵，∴.
故选A.
【名师点睛】注意理解补集、交集的运算.
6．【答案】D
【解析】因为，所以.
故选D.
【名师点睛】集合的运算问题，一般要先研究集合中元素的构成，能化简的要先化简，同时注意数形结合，即借助数轴、坐标系、韦恩图等进行运算．
7．【答案】C
【解析】因为全集，，所以根据补集的定义得,故选C．
8．【答案】A
【解析】根据集合的交集中元素的特征，可以求得，故选A.
【名师点睛】该题考查的是有关集合的运算问题，在解题的过程中，需要明确交集中元素的特征，从而求得结果.
9．【答案】C
【解析】易得集合,所以，故选C.
10．【答案】C
【解析】由并集的定义可得：，结合交集的定义可知：.
故选C.
【名师点睛】本题主要考查并集运算、交集运算等知识，意在考查学生的计算求解能力.
11．【答案】A
【解析】由得，所以，选A．
【名师点睛】对于集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图处理．
12．【答案】A
【解析】由题意，故选A.
【名师点睛】集合的基本运算的关注点：
（1）看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．
（2）有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．
（3）注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图．
13．【答案】C
【解析】因为或，所以，故选C.
【名师点睛】集合分为有限集合和无限集合，若集合个数比较少时可以用列举法表示；若集合是无限集合就用描述法表示，并注意代表元素是什么.集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理.
14．【答案】
【解析】由题意利用交集的定义求解交集即可.
由题意知，.
【名师点睛】本题主要考查交集的运算，属于基础题.
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