2020年高考各科总复习考点一遍过讲义考点06 二次函数与幂函数-备战2020年高考数学（文）考点一遍过

考点06 二次函数与幂函数

（1）了解幂函数的概念.

（2）结合函数的图象，了解它们的变化情况.

一、二次函数

1．二次函数的概念

形如的函数叫做二次函数.

2．表示形式

(1)一般式：f(x)=ax²＋bx＋c(a≠0).

(2)顶点式：f(x)=a(x−h)²＋k(a≠0)，其中(h，k)为抛物线的顶点坐标.

(3)两根式：f(x)=a(x−x₁)(x−x₂)(a≠0)，其中x₁，x₂是抛物线与x轴交点的横坐标.

3．二次函数的图象与性质

函数解析式
图象(抛物线)
定义域	R
值域
对称性	函数图象关于直线对称
顶点坐标
奇偶性	当b=0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数
单调性	在上是减函数； 在上是增函数.	在上是增函数； 在上是减函数.
最值	当时，	当时，

4．常用结论

(1)函数f(x)=ax²＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标是方程ax²＋bx＋c=0的实根.

(2)若x₁，x₂为f(x)=0的实根，则f(x)在x轴上截得的线段长应为|x₁−x₂|=.

(3)当且()时，恒有f(x)>0()；当且()时，恒有f(x)<0().

二、幂函数

1．幂函数的概念

一般地，形如y=x^α(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x为自变量，α为常数.

2．几个常见幂函数的图象与性质

函数
图象
定义域
值域
奇偶性	奇函数	偶函数	奇函数	非奇非偶函数	奇函数
单调性	在上单调递增	在上单调递减；在上单调递增	在上单调递增	在上单调递增	在和上单调递减
过定点	过定点				过定点

3．常用结论

(1)幂函数在上都有定义.

(2)幂函数的图象均过定点.

(3)当时，幂函数的图象均过定点，且在上单调递增.

(4)当时，幂函数的图象均过定点，且在上单调递减.

(5)幂函数在第四象限无图象.

考向一 求二次函数或幂函数的解析式

1．求二次函数解析式的方法

求二次函数的解析式，一般用待定系数法，其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式．一般选择规律如下：

2．求幂函数解析式的方法

幂函数的解析式是一个幂的形式，且需满足：

(1)指数为常数；

(2)底数为自变量；

(3)系数为1.

典例1 若函数是幂函数，且满足，则

A． B．

C． D．−3

【答案】A

【解析】由题意可设为常数），

因为满足，所以，所以，

所以，所以.

故选A．

1．已知幂函数的图象经过点，则不等式的解集为_______.

考向二 幂函数的图象及性质的应用

1．幂函数y=x^α的图象与性质，由于α值的不同而比较复杂，一般从两个方面考查：

①α的正负：当α>0时，图象过原点，在第一象限的图象上升；当α<0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立．

②幂函数的指数与图象特征的关系

当α≠0，1时，幂函数y=x^α在第一象限的图象特征如下：

α	α>1	0<α<1	α<0
图象
特殊点	过(0，0)，(1，1)	过(0，0)，(1，1)	过(1，1)
凹凸性	下凸	上凸	下凸
单调性	递增	递增	递减
举例	y=x2		、

2．利用幂函数的单调性比较幂值大小的技巧：

结合幂值的特点利用指数幂的运算性质化成同指数幂，选择适当的幂函数，借助其单调性进行比较.

典例2 如图所示的曲线是幂函数在第一象限的图象，已知，相应曲线对应的值依次为

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】结合幂函数的单调性及图象，易知曲线对应的值依次为．

故选B．

2．已知函数是幂函数，且其图象与两坐标轴都没有交点，则实数

A． B．2

C．3 D．2或

典例3 设，则的大小关系是

A．a>c>b B．a>b>c

C．c>a>b D．b>c>a

【答案】A

【解析】因为在上是增函数，所以

又因为在上是减函数，所以.

综上，a>c>b.

故选A.

【名师点睛】同底数的两个数比较大小，考虑用指数函数的单调性；同指数的两个数比较大小，考虑用幂函数的单调性，有时需要取中间量.

3．已知，，，则下列结论成立的是

A． B．

C． D．

考向三 二次函数的图象及性质的应用

高考对二次函数图象与性质进行单独考查的频率较低，常与一元二次方程、一元二次不等式等知识交汇命题，考查二次函数图象与性质的应用，以选择题、填空题的形式呈现，有时也出现在解答题中，解题时要准确运用二次函数的图象与性质，掌握数形结合的思想方法.常见类型及解题策略：

1．图象识别问题

辨析二次函数的图象应从开口方向、对称轴、顶点坐标以及图象与坐标轴的交点等方面着手讨论或逐项排除．

2．二次函数最值问题的类型及处理思路

(1)类型：a.对称轴、区间都是给定的；b.对称轴动、区间固定；c.对称轴定、区间变动．

(2)解决这类问题的思路：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间的两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成．

3．解决一元二次方程根的分布问题的方法

常借助于二次函数的图象数形结合来解，一般从：a.开口方向；b.对称轴位置；c.判别式；d.端点函数值符号四个方面分析．

4．求解与二次函数有关的不等式恒成立问题

往往先对已知条件进行化简，转化为下面两种情况：

(1)ax²＋bx＋c>0，a≠0恒成立的充要条件是.

(2)ax²＋bx＋c<0，a≠0恒成立的充要条件是.

另外，也可以采取分离变量法，把问题转化为不等式f(x)>A在区间D上恒成立，此时就等价于在区间D上f(x)_min>A，接下来求出函数f(x)的最小值；若不等式f(x)<B在区间D上恒成立，则等价于在区间D上f(x)_max<B，求出函数f(x)的最大值即可.

典例4 已知函数在区间上为减函数，则实数a的取值范围是

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】函数的图象开口向上，且以直线为对称轴，

若函数在区间上为减函数，则，解得，

故实数a的取值范围为．

故选A.

【名师点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键．

4．已知函数在上具有单调性，则实数的取值范围为

A． B．

C． D．

典例5 已知函数，若对于任意的都有，则实数的取值范围为 .

【答案】

【解析】根据题意，得

解得．

5．若函数在区间上的最小值为，则的取值集合为

A． B．

C． D．

1．若幂函数的图象过点，则函数的最大值为

A．1 B．

C．2 D．

2．已知，，，则的大小关系是

A． B．

C． D．

3．在区间内任取一实数，的图象与轴有公共点的概率为

A． B．

C． D．

4．已知，若为奇函数，且在上单调递增，则实数的值是

A．−1，3 B．，3

C．−1，，3 D．，，3

5．已知函数的图象恒过定点，若定点在幂函数的图象上，则幂函数的图象是

A． B．

C． D．

6．已知函数的图象如图所示，则的大小关系为

A． B．

C． D．

7．已知函数，则

A．，使得

B．

C．，使得

D．，使得

8．已知：幂函数在上单调递增；，则是的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

9．已知幂函数的图象过点，则函数在区间上的最小值是

A． B．0

C． D．

10．已知函数的定义域是，则实数的取值范围是

A． B．

C． D．

11．已知点在幂函数的图象上，设，则的大小关系为

A． B．

C． D．

12．已知函数（其中，且）在区间上单调递增，则函数的定义域为

A． B．

C． D．

13．已知函数既是二次函数又是幂函数，函数是上的奇函数，函数，则A．0 B．2018

C．4036 D．4037

14．已知幂函数（α是实数）的图象经过点，则f（4）的值为____________．

15．已知，则____________．

16．若幂函数在上为增函数，则实数的值为____________．

17．已知函数的定义域为R，值域为，则实数a的取值集合为____________.

18．已知函数，则函数的最小值是__________．

19．已知实数满足，则的取值范围是__________．

20．已知二次函数的最小值为1,且．

（1）求的解析式；

（2）在区间上,的图象恒在的图象上方，试确定实数的取值范围．

21．已知幂函数在上单调递增．

（1）求m的值及的解析式；

（2）若函数在上的最大值为3，求实数a的值．

22．已知．

（1）当，时，求函数的值域；

（2）若函数在区间内有最大值-5，求的值．

23．已知函数，其中为常数.

（1）若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围；

（2）若，都有，求实数的取值范围.

1．（2019年高考北京文数）下列函数中，在区间（0，+）上单调递增的是

A． B．y=

C． D．

2．（2017年高考浙江卷）若函数f(x)=x²+ ax+b在区间[0，1]上的最大值是M，最小值是m，则M – m

A．与a有关，且与b有关 B．与a有关，但与b无关

C．与a无关，且与b无关 D．与a无关，但与b有关

3．（2016年高考新课标III卷文科）已知，则

A． B．

C． D．

4．（2019年高考浙江卷）已知，函数，若存在，使得，则实数的最大值是___________.

5．（2018年高考天津卷文科）已知a∈R，函数若对任意x∈［–3，+），f(x)≤恒成立，则a的取值范围是__________．

6．（2017年高考北京卷文科）已知，，且x+y=1，则的取值范围是_________．

变式拓展

1．【答案】

【解析】由题意知，故，

由于为上的偶函数且在上单调递增，

即为，

所以，解得.

2．【答案】A

【解析】函数是幂函数，

，解得：或，

当时，，其图象与两坐标轴有交点，不符合题意；

当时，，其图象与两坐标轴都没有交点，符合题意，

故.

故选A．

3．【答案】A

【解析】，，

，，即，

，

故.

选

【名师点睛】本题主要考查了比较大小问题，其中解答中熟练运用幂函数与指数函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.求解时，根据幂函数在上为单调递增函数，得出，再根据指数函数的性质得，即可得到结论.

4．【答案】D

【解析】因为函数在上具有单调性，所以或，解得或.

故实数的取值范围为.

选D．

5．【答案】C

【解析】∵函数f（x）＝x²﹣2x+1＝（x﹣1）²，

∴函数f（x）图象的对称轴为x＝1，

∵在区间[a，a+2]上的最小值为4，

∴当1≤a时，函数的最小值为f（a）＝（a﹣1）²＝4，则a＝﹣1（舍去）或a＝3；

当a+2≤1，即a≤﹣1时，函数的最小值为f（a+2）＝（a+1）²＝4，则a＝1（舍去）或a＝﹣3；

当a＜1＜a+2，即-1<a<1时，函数的最小值为f（1）＝0≠4，

故满足条件的a的取值集合为{﹣3，3}．

故选C．

考点冲关

1．【答案】B

【解析】设（是常数），

∵f（x）的图象过点（2，），∴=，

则，

则f（x），，

故其最大值为.

故选B.

2．【答案】C

【解析】易知幂函数在上是减函数，

，，即.

故选C.

3．【答案】D

【解析】∵函数的图象与轴有公共点，∴，解得或．

由几何概型概率公式可得所求概率为．

故选D．

【名师点睛】解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围，当考察对象为点，且点的活动范围在线段上时，可用线段长度比计算，然后根据公式计算即可．求解本题时，先由二次函数的判别式大于等于零求出实数的取值范围，再根据几何概型概率公式求解．

4．【答案】B

【解析】因为在上单调递增，所以，排除选项A，C；

当时，为非奇非偶函数，不满足条件，排除D，

故选B．

【名师点睛】分别研究五个幂函数的奇偶性与单调性，从而可得结果.特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法既可以提高做题速度和效率，又能提高准确性，这种方法主要适合下列题型:（1）求值问题（可将选项逐个验证）；（2）求范围问题（可在选项中取特殊值，逐一排除）；（3）图象问题（可以用函数性质及特殊点排除）；（4）解方程、求解析式、求通项、求前项和公式问题等等.

5．【答案】D

【解析】由题意知，，则定点，

设幂函数为（是常数），

将代入得，故，

即，图象为D中的图象.

故选D．

6．【答案】A

【解析】由图象可知，，得.

故选A．

【名师点睛】本题主要结合函数图象，考查指数函数和幂函数的比较大小问题，解决本题的关键是寻找中间值.

7．【答案】B

【解析】，函数的定义域为，函数的值域为，并且函数是单调递增函数，这样A不成立，C根据单调性可知也不成立，D应改为，故选B．

8．【答案】A

【解析】由题意，命题幂函数在上单调递增，则，又，

所以是的充分不必要条件.

故选A．

9．【答案】B

【解析】由题设得，

故在上单调递增，

则当时取最小值，最小值为.

应选B.

10．【答案】B

【解析】由题意，要使函数的定义域是，

则对任意实数都成立，

当时显然成立；

当时，需，解得．

综上，的取值范围为．

故选B．

11．【答案】D

【解析】由题可得：，解得：，

所以，

因为，，，

又，

所以，

由在上单调递增，可得，

所以.

故选D.

12．【答案】B

【解析】∵函数（其中，且）在区间上单调递增，

∴

令．

故选B．

13．【答案】D

【解析】因为函数既是二次函数又是幂函数，所以，

因此，因此

故选D．

14．【答案】2

【解析】因为幂函数的图象过点，所以，解得，

所以，则．

故答案为2．

15．【答案】

【解析】由，得，解得，

则，

因为，所以根据幂函数的单调性，可得，即，

所以，

故答案为．

16．【答案】

【解析】由函数是幂函数，得，解得或.

当时，，在上为减函数，不符合题意；

当时，，在上为增函数，符合题意．

故答案为．

17．【答案】

【解析】因为，的定义域为R，值域为，所以，即，所以a的取值集合为.

故答案为.

18．【答案】

【解析】设，则可化为

当时，有最小值，

即时，函数的最小值是.

故答案为.

【名师点睛】求函数最值的常见方法有：

①配方法：若函数为一元二次函数，常采用配方法求函数值域，其关键在于正确化成完全平方式，并且一定要先确定其定义域；

②换元法：常用代数或三角代换法，用换元法求值域时需认真分析换元参数的范围变化；

③不等式法：借助于基本不等式 求函数的值域，用不等式法求值域时，要注意基本不等式的使用条件“一正、二定、三相等”；

④单调性法：首先确定函数的定义域，然后准确地找出其单调区间，最后再根据其单调性求出函数的最值；

⑤图象法：画出函数图象，根据图象的最高和最低点求最值.

19．【答案】

【解析】由，可得.

又，所以，解得.

所以.

结合，

可得.

故答案为.

【名师点睛】本题主要考查求二次函数值域，需要注意定义域，属于中档题.求解时，先由得，再由，利用二次函数性质求值域即可.

20．【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）根据题意，是二次函数，且，

可得函数的对称轴为，

又其最小值为1，可设，

又因为,则,解可得,

则.

（2）根据题意，在上恒成立，化简得,

设,则在区间上单调递减，

则在区间上的最小值为,则有,

故的取值范围为．

21．【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）幂函数在上单调递增，

故，

解得：，

故.

（2）由于，

所以函数，

则函数图象为开口方向向下的抛物线，对称轴为，

由于在上的最大值为3，

当时，在上单调递增，

故：，

解得．

当时，在上单调递减，

故：，

解得：．

当时，在上单调递增，在上单调递减，

故：，

解得： 舍去，或舍去，

综上所述：．

22．【答案】（1）；（2）或.

【解析】（1）当时，，

其图象的对称轴为，开口向下，

时，函数单调递减，

当时，函数有最大值，

当时，函数有最小值，

故函数的值域为；

（2）∵的图象开口向下，对称轴为，

①当，即时，在上单调递增，函数的最大值为．

令，得，（舍去）．

②当，即时，时，的最大值为，

令，得．

③当，即时，在上单调递减，

∴时，的最大值为，

令，得，解得，或（舍去）．

综上所述，或.

23．【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）因为开口向上，

所以该函数图象的对称轴是，

因此，即，

所以的取值范围是.

（2）因为恒成立，

所以，整理得，解得，

因此，的取值范围是.

【名师点睛】（1）根据二次函数性质得对称轴不在区间内，解不等式可得实数的取值范围.（2）根据二次函数图象可得在x轴上方，即，解得实数的取值范围.

研究二次函数单调性的思路：

①二次函数的单调性在其图象对称轴的两侧不同，因此研究二次函数的单调性时要依据其图象的对称轴进行分类讨论．

②若已知f(x)＝ax²＋bx＋c(a>0)在区间A上单调递减(单调递增)，则A⊆（A⊆），即区间A一定在函数对称轴的左侧(右侧)．

直通高考

1．【答案】A

【解析】易知函数，在区间上单调递减，

函数在区间上单调递增.

故选A.

【名师点睛】本题考查简单的指数函数、对数函数、幂函数的单调性，注重对重要知识、基础知识的考查，蕴含数形结合思想，属于容易题.

2．【答案】B

【解析】因为最值在中取，所以最值之差一定与无关.

故选B．

【名师点睛】对于二次函数的最值或值域问题，通常先判断函数图象对称轴与所给自变量闭区间的关系，结合图象，当函数图象开口向上时，若对称轴在区间的左边，则函数在所给区间内单调递增；若对称轴在区间的右边，则函数在所给区间内单调递减；若对称轴在区间内，则函数图象顶点的纵坐标为最小值，区间端点距离对称轴较远的一端取得函数的最大值．

3．【答案】A

【解析】因为，，

又函数在上是增函数，

所以，即.

故选A．

【技巧点拨】比较指数的大小常常根据三个数的结构，联系相关的指数函数与对数函数、幂函数的单调性来判断，如果两个数指数相同，底数不同，则考虑幂函数的单调性；如果指数不同，底数相同，则考虑指数函数的单调性；如果涉及对数，则联系对数的单调性来解决．

4．【答案】

【解析】存在，使得，

即有，

化为，

可得，

即，

由，可得.

则实数的最大值是.

【名师点睛】本题考查函数的解析式及二次函数，结合函数的解析式可得，去绝对值化简，结合二次函数的最值及不等式的性质可求解.

5．【答案】［，2］

【解析】分类讨论：

①当时，即：，整理可得：，由恒成立的条件可知：，结合二次函数的性质可知：当时，，则；

②当时，即：，整理可得：，由恒成立的条件可知：，

结合二次函数的性质可知：当或时，，则.

综合①②，可得的取值范围是.

【名师点睛】由题意分类讨论：和两种情况，结合恒成立的条件整理计算即可求得最终结果.对于恒成立问题，常用到以下两个结论：(1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)_max；(2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)_min.有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．

6．【答案】

【解析】，

所以当时，取最大值1；

当时，取最小值.

因此的取值范围为.

【名师点睛】本题考查了转化与化归的能力，除了像本题的方法，即转化为二次函数求取值范围，也可以转化为几何关系求取值范围，即，表示线段，那么的几何意义就是线段上的点到原点距离的平方，这样会更加简单.

 

AI创作