微信小程序考点09 函数与方程
（1）结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数.
（2）根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解.
一、函数的零点
1．函数零点的概念
对于函数，我们把使成立的实数x叫做函数的零点．
2．函数的零点与方程的根之间的联系
函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图象与x轴的交点的横坐标即方程有实数根⇔函数的图象与x轴有交点⇔函数有零点．
【注】并非所有的函数都有零点，例如，函数f(x)=x2＋1，由于方程x2＋1=0无实数根，故该函数无零点．
3．二次函数的零点
| 二次函数的图象 |  |
 |
 |
| 与x轴的交点 | (x1，0)，(x2，0) | (x1，0) | 无交点 |
| 零点个数 | 2 | 1 | 0 |
4．零点存在性定理
如果函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在c∈(a，b)，使得，这个也就是方程的根.
【注】上述定理只能判断出零点存在，不能确定零点个数.
5．常用结论
(1)若连续不断的函数是定义域上的单调函数，则至多有一个零点；
(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号；
(3)函数有零点方程有实数根函数与的图象有交点；
(4)函数有零点方程有实数根函数与的图象有交点，其中为常数.
二、二分法
1．二分法的概念
对于在区间[a，b]上连续不断且的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
2．用二分法求函数零点近似值的步骤
给定精确度ε，用二分法求函数零点近似值的步骤如下：
①确定区间[a，b]，验证，给定精确度ε；
②求区间(a，b)的中点c；
③计算f(c)；
a．若f(c)=0，则c就是函数的零点；
b．若f(a)·f(c)<0，则令b=c(此时零点x0∈(a，c))；
c．若f(c)·f(b)<0，则令a=c(此时零点x0∈(c，b))．
④判断是否达到精确度ε：即若|a−b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复②③④.
【速记口诀】
定区间，找中点；中值计算两边看，
同号丢，异号算，零点落在异号间．
重复做，何时止，精确度来把关口．
考向一 函数零点（方程的根）所在区间的判断
函数零点的判定方法
(1)定义法（定理法）：使用零点存在性定理，函数必须在区间[a，b]上是连续的，当
时，函数在区间(a，b)内至少有一个零点．
(2)方程法：判断方程是否有实数解．
(3)图象法：若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成，则可考虑用图象法求解，如，作出和的图象，其交点的横坐标即为函数f(x)的零点.
典例1 函数的零点所在的区间为
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】易知函数的图象是连续的，且通过计算可得，，，，
，
由函数零点存在性定理可得函数零点所在的区间为.
本题选择D选项.
【规律总结】首先确定函数是连续函数，然后结合函数零点存在性定理求解函数零点所在的区间即可.判断函数零点所在区间的方法：一般而言，判断函数零点所在区间的方法是将区间端点代入函数求出函数的值，进行符号判断即可得出结论．此类问题的难点往往是函数值符号的判断，可运用函数的有关性质进行判断．
典例2 在用二分法求方程的一个近似解时，现在已经将根锁定在区间(1,2)内，则下一步可以断定该根所在区间为___________.
【答案】
【解析】令，
，，，
故下一步可以断定根所在区间为.
故填.
1．已知函数的零点在区间内，则的取值范围是
A． B．
C． D．
2．已知函数．
（1）证明方程f（x）=0在区间（0，2）内有实数解；
（2）请使用二分法，取区间的中点两次，指出方程f（x）=0，x∈[0，2]的实数解x0在哪个较小的区间内．
考向二 函数零点个数的判断
判断函数零点个数的方法
(1)解方程法：令f(x)=0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质．
(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，先画出两个函数的图象，看其交点个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.
典例3 函数的零点个数是
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】B
【解析】要使函数有意义，则，即或，
由或，
则函数的零点个数为2.
故选B．
典例4 函数f(x)=2x＋lg(x＋1) −2的零点有
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
【答案】B
【解析】解法一：因为f(0)=1＋0−2=−1<0，f(2)=4＋lg3−2=2+lg3>0，所以由函数零点存在性定理知，f(x)在(0,2)上必定存在零点．
又f(x)=2x＋lg(x＋1)−2在(−1，＋∞)上为增函数，
故f(x)=0有且只有一个实根，即函数f(x)仅有一个零点．
故选B.
解法二：在同一坐标系中作出h(x)=2−2x和g(x)=lg(x＋1)的图象，如图所示，
由图象可知h(x)=2−2x和g(x)=lg(x＋1)有且只有一个交点，即f(x)=2x＋lg(x＋1)−2与x轴有且只有一个交点，即函数f(x)仅有一个零点．
故选B.
3．已知函数，若函数存在零点，则实数a的取值范围是
A． B．
C． D．
考向三 函数零点的应用问题
高考对函数零点的考查多以选择题或填空题的形式出现，有时也会出现在解答题中．常与函数的图象及性质相结合，且主要有以下几种常见类型及解题策略．
1．已知函数零点所在区间求参数或参数的取值范围
根据函数零点或方程的根求解参数的关键是结合条件给出参数的限制条件，此时应分三步：
①判断函数的单调性；
②利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式；
③解不等式，即得参数的取值范围．在求解时，注意函数图象的应用．
2．已知函数零点的个数求参数或参数的取值范围
一般情况下，常利用数形结合法，把此问题转化为求两函数图象的交点问题．
3．借助函数零点比较大小或直接比较函数零点的大小关系
要比较f(a)与f(b)的大小，通常先比较f(a)、f(b)与0的大小．若直接比较函数零点的大小，则可有以下三种常用方法：
①求出零点，直接比较大小；
②确定零点所在区间；
③同一坐标系内画出函数图象，由零点位置关系确定大小.
典例5 对任意实数a，b定义运算“⊗”：,设，若函数恰有三个零点，则实数k的取值范围是
A．(−2,1) B．[0,1]
C．[−2,0) D．[−2,1)
【答案】D
【解析】由新定义可得，
即.
其图象如图所示，所以由恰有三个零点可得，−1<−k≤2，所以−2≤k<1.
故选D.
4．已知函数，若函数恰有2个零点，则a的取值范围为_____．
1．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是
A． B．
C． D．
2．函数的零点所在的一个区间是
A．（-2，-1） B．（-1,0）
C．（0,1） D．（1,2）
3．命题，命题函数在上有零点，则是的
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知曲线在点处的切线方程为，则函数的零点所在的大致区间为
A． B．
C． D．
5．若定义在上的函数满足且时，，则方程的根的个数是
A． B．
C． D．
6．已知函数则函数的零点个数为
A． B．
C． D．
7．设方程两个根分别为，则
A． B．
C． D．
8．已知函数满足 ，且是偶函数，当时，，若在区间内，函数有 4 个零点，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
9．已知是定义在上的奇函数，且，当时，，则函数在区间上的所有零点之和为
A．2 B．4
C．6 D．8
10．若函数在上存在零点，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
11．已知函数，若方程恰有三个不同的实数根，则实数的取值范围为
A． B．
C． D．
12．已知函数的零点，则整数的值为____________.
13．函数的所有零点之和等于____________．
14．已知函数，若函数有3个零点，则实数的取值范围是____________.
15．已知函数，若在区间上方程只有一个解，则实数的取值范围为____________．
16．已知函数.
（1）若，判断函数的零点个数；
（2）若对任意实数，函数恒有两个相异的零点，求实数的取值范围；
（3）已知且，，求证：方程在区间上有实数根.
1．（2019年高考全国Ⅲ卷文数）函数在[0，2π]的零点个数为
A．2 B．3
C．4 D．5
2．（2019年高考天津文数）已知函数若关于x的方程恰有两个互异的实数解，则a的取值范围为
A． B．
C． D．
3．（2019年高考浙江）已知，函数．若函数恰有3个零点，则
A．a<–1，b<0 B．a<–1，b>0
C．a>–1，b<0 D．a>–1，b>0
4．（2017年高考新课标Ⅲ卷文科）已知函数有唯一零点，则a=
A． B．
C． D．1
5．（2019年高考江苏）设是定义在R上的两个周期函数，的周期为4，的周期为2，且是奇函数.当时，，，其中k>0.若在区间(0，9]上，关于x的方程有8个不同的实数根，则k的取值范围是 ▲ .
6．（2018年高考浙江卷）已知λ∈R，函数f(x)=，当λ=2时，不等式f(x)<0的解集是___________．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．
7．（2017年高考江苏）设是定义在上且周期为1的函数，在区间上，其中集合，，则方程的解的个数是_________．
8．（2016年高考山东卷文科）已知函数，其中．若存在实数b，使得关于x的方程有三个不同的根，则m的取值范围是_________.
变式拓展
1．【答案】B
【解析】由题知f(x)单调，故即解得.
故选B．
2．【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】（1）∵，，
∴，
又∵函数是连续函数，
∴由函数的零点存在性定理可得方程在区间内有实数解．
（2）取，得，
由此可得，
则下一个有解区间为，
再取，得，
由此可得，
则下一个有解区间为，
综上所述，所求实数解在较小区间内.
【思路分析】（1）通过与的乘积小于0，利用零点的存在性定理证明即可；（2）利用二分法求解方程的近似解的方法，转化求解即可．
3．【答案】D
【解析】函数的图象如图：
若函数存在零点，则实数a的取值范围是（0，+∞）．
故选D．
【名师点睛】函数零点的求解与判断方法：
(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
4．【答案】
【解析】函数恰有2个零点，则函数和的图象有两个不同的交点．
令，则，
当时，，当时，，
所以在上为增函数，在上为减函数，
且最大值为，
当时，易知不满足题意；
当时，满足题意；
当时，如图所示，由图象可知，．
综上可知，a的取值范围为．
故答案为．
【名师点睛】（1）本题主要考查了分段函数的零点个数问题，考查了利用导数判断函数的单调性，还考查了分类思想及数形结合思想，属于中档题．
（2）零点问题是高中数学的一个重要问题，常用的方法有方程法、图象法、方程+图象法.
考点冲关
1．【答案】C
【解析】选项A中，函数无零点，不合题意，故A不正确.
选项B中，函数不是偶函数，不合题意，故B不正确.
选项C中，函数是偶函数又存在零点，符合题意，故C正确.
选项D中，函数不是偶函数，不合题意，故D不正确.
综上可知选C.
2．【答案】B
【解析】易知函数在定义域上单调递增且连续，
且，，f(0)=1>0，
所以由零点存在性定理得，零点所在的区间是（-1,0）.
故选B.
【名师点睛】本题考查函数的单调性和零点存在性定理，属于基础题.
3．【答案】C
【解析】由题意得函数在上单调递增，
又函数在上有零点，
所以，
解得．
∵，∴是的必要不充分条件．
故选C．
4．【答案】C
【解析】由题意，函数，
可得，则，
∵在点处的切线方程为，∴切线斜率为，则，
又由，得，
解得，，
∴，
则，，
∴，
故函数的零点所在的大致区间为．
故选C．
【名师点睛】本题主要考查了导数的几何意义，以及函数零点的存在性定理的应用，其中解答中熟记导数的几何意义，熟练利用零点的存在性定理是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
5．【答案】A
【解析】因为函数满足，所以函数是周期为的周期函数.
又时，，所以函数的图象如图所示.
再作出的图象，如图，
易得两函数的图象有个交点，所以方程有个根．
故选A．
【名师点睛】本题考查函数与方程，函数的零点、方程的根、函数图象与轴交点的横坐标之间是可以等价转化的.
6．【答案】B
【解析】由题意，令，得，
令,由，得或，
作出函数的图象，如图所示，
结合函数的图象可知，有个解，有个解，
故的零点个数为.
故选B．
【名师点睛】本题主要考查了函数的零点问题，其中令,由，得到或，作出函数的图象，结合函数的图象求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于基础题．
7．【答案】A
【解析】作出函数的图象，
由图象可知，两个根一个小于，一个区间内，
不妨设，则，
两式相减得：，即，
故选A．
8．【答案】D
【解析】由题意可知函数是周期为的偶函数，结合当时，，绘制函数的图象如下图所示，
函数有4个零点，则函数与函数的图象在区间内有4个交点，
结合函数图象可得：当时，，求解对数不等式可得：，
即实数的取值范围是.
本题选择D选项.
【名师点睛】由题意确定函数的性质，然后将原问题转化为两个函数的图象有4个交点的问题求解实数a的取值范围即可.函数零点的求解与判断方法：
(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
9．【答案】D
【解析】由题意得，，
∴，即函数的周期4.
∵，
∴的图象关于对称.
作出的图象如图所示，
函数的零点即为图象与图象的交点的横坐标，四个交点分别关于点对称，则，即零点之和为8.
故选D．
10．【答案】B
【解析】函数在上存在零点，
即在上有解，
令函数，，
在上有解即函数与函数的图象在上有交点，
函数的图象就是函数的图象向左平移个单位，
如图所示，函数向左平移时，
当函数图象过点之后，与函数的图象没有交点，
此时，，
故的取值范围为.
故选B.
11．【答案】D
【解析】可变形为，
即或，
由题可知函数的定义域为，
当时，函数单调递增；
当时，函数单调递减，
画出函数的大致图象，如图所示，
当且仅当时，，
因为方程恰有三个不同的实数根，
所以恰有两个不同的实数根，
即的图象有两个交点，
由图可知时，的图象有两个交点，
所以实数的取值范围为.
故选D．
12．【答案】3
【解析】由题意知：在上单调递增，
若存在零点，则存在唯一一个零点，
又，，
∴由零点存在性定理可知：，则.
故答案为.
13．【答案】
【解析】令，则.
设，则，解得(舍去)或.
所以，解得或.
所以函数有两个零点，
它们之和等于
【名师点睛】本题考查函数的零点，通过解方程来求函数的零点.
14．【答案】
【解析】由题意得方程有三个不同的实数根，即方程有三个不同的实数根，
所以函数和函数的图象有三个不同的交点．
画出函数的图象如下图所示，
结合图象可得，要使两函数的图象有三个不同的交点，
则需满足，
解得或，
所以实数的取值范围是．
故答案为．
【名师点睛】解答本题时注意两点：一是把问题转化为两个函数图象公共点个数的问题求解；二是利用数形结合的方法解题．考查转化思想和画图、识图、用图的能力.
15．【答案】或
【解析】当时，由，得，即；
当时，由，得，即.
令函数，
则问题转化为函数与函数的图象在区间上有且仅有一个交点.
在同一平面直角坐标系中画出函数与在区间上的大致图象如下图所示：
结合图象可知：当，即时，两个函数的图象只有一个交点；
当时，两个函数的图象也只有一个交点，
故所求实数的取值范围是.
【名师点睛】已知方程的解的个数求参数的取值范围时，要根据方程的特点去判断零点的分布情况（特别是对于分段函数对应的方程），也可以参变分离，把方程的解的问题归结为不同函数的交点的个数问题．
16．【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析.
【解析】（1）
，
，
∴,
当时，，函数有一个零点；
当时，，函数有两个零点.
（2）已知，则对于恒成立,即恒成立，
∴,从而解得.
故实数的取值范围是.
（3）设，
则，
，
，
,
在区间上有实数根，即方程在区间上有实数根.
【思路点拨】（1）利用判别式判定二次函数的零点个数；
（2）零点个数问题转化为图象交点个数问题，利用判别式处理即可；
（3）利用零点的定义，将方程在区间上有实数根，转化为函数在区间上有零点，结合零点存在性定理可以证明.
【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：
（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
直通高考
1．【答案】B
【解析】由，
得或，
，或．
在的零点个数是3.
故选B．
【名师点睛】本题考查在一定范围内的函数的零点个数，渗透了直观想象和数学运算素养，直接求出函数的零点可得答案.
2．【答案】D
【解析】作出函数的图象，
以及直线，如图，
关于x的方程恰有两个互异的实数解，
即为和的图象有两个交点，
平移直线，考虑直线经过点和时，有两个交点，可得或，
考虑直线与在时相切，，
由，解得（舍去），
所以的取值范围是.
故选D.
【名师点睛】根据方程实数根的个数确定参数的取值范围，常把其转化为曲线的交点个数问题，特别是其中一个函数的图象为直线时常用此法.
3．【答案】C
【解析】当x＜0时，y＝f（x）﹣ax﹣b＝x﹣ax﹣b＝（1﹣a）x﹣b＝0，得x，
则y＝f（x）﹣ax﹣b最多有一个零点；
当x≥0时，y＝f（x）﹣ax﹣bx3（a+1）x2+ax﹣ax﹣bx3（a+1）x2﹣b，
，
当a+1≤0，即a≤﹣1时，y′≥0，y＝f（x）﹣ax﹣b在[0，+∞）上单调递增，
则y＝f（x）﹣ax﹣b最多有一个零点，不合题意；
当a+1＞0，即a>﹣1时，
令y′＞0得x∈(a+1，+∞），此时函数单调递增，
令y′＜0得x∈[0，a+1），此时函数单调递减，
则函数最多有2个零点.
根据题意，函数y＝f（x）﹣ax﹣b恰有3个零点⇔函数y＝f（x）﹣ax﹣b在（﹣∞，0）上有一个零点，在[0，+∞）上有2个零点，
如图：
∴0且，
解得b＜0，1﹣a＞0，b（a+1）3，
则a>–1，b<0.
故选C．
【名师点睛】本题考查函数与方程，导数的应用.当x＜0时，y＝f（x）﹣ax﹣b＝x﹣ax﹣b＝（1﹣a）x﹣b最多有一个零点；当x≥0时，y＝f（x）﹣ax﹣bx3（a+1）x2﹣b，利用导数研究函数的单调性，根据单调性画出函数的草图，从而结合题意可列不等式组求解．
4．【答案】C
【解析】由，得
，
所以，
即为图象的对称轴.
由题意，有唯一零点，
所以的零点只能为，
即，
解得.
故选C.
【名师点睛】本题主要考查函数的图象与性质、函数的零点，意在考查考生的运算求解能力与数形结合能力.
5．【答案】
【解析】作出函数，的图象，如图：
由图可知，函数的图象与的图象仅有2个交点，即在区间(0，9]上，关于x的方程有2个不同的实数根，
要使关于的方程有8个不同的实数根，
则与的图象有2个不同的交点，
由到直线的距离为1，可得，解得，
∵两点连线的斜率，
∴，
综上可知，满足在(0,9]上有8个不同的实数根的k的取值范围为.
【名师点睛】本题考查分段函数，函数的图象，函数的性质，函数与方程，点到直线的距离，直线的斜率等，考查知识点较多，难度较大.正确作出函数，的图象，数形结合求解是解题的关键因素.
6．【答案】(1,4)
【解析】由题意得或，所以或，即，故不等式f(x)<0的解集是
当时，，此时，即在上有两个零点；当时，，由在上只能有一个零点得.
综上，的取值范围为.
【名师点睛】根据分段函数，转化为两个不等式组，分别求解，最后求并集.先讨论一次函数零点的取法，再对应确定二次函数零点的取法，即得参数的取值范围.已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
7．【答案】8
【解析】由于，则需考虑的情况，
在此范围内，且时，设，且互质，
若，则由，可设，且互质，
因此，则，
此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此，
因此不可能与每个周期内对应的部分相等，
只需考虑与每个周期的部分的交点，
画出函数图象，图中交点除外其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期的部分，
且处，则在附近仅有一个交点，
因此方程的解的个数为8．
【名师点睛】对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．
8．【答案】(3，＋∞)
【解析】函数的大致图象如图所示，根据题意知只要即可，又m＞0，解得m＞3，故实数m的取值范围是(3，＋∞)．
请先 ！