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考点10 函数模型及其应用
（1）了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.
（2）了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用.
一、常见的函数模型
| 函数模型 | 函数解析式 |
| 一次函数模型 | (为常数，) |
| 反比例函数模型 | (为常数且) |
| 二次函数模型 | （均为常数，） |
| 指数函数模型 | （均为常数，，，） |
| 对数函数模型 | （为常数，） |
| 幂函数模型 | （为常数，） |
二、几类函数模型的增长差异
| 函数
性质 |
|||
| 在(0，＋∞)上的增减性 | 单调递增 | 单调递增 | 单调递增 |
| 增长速度 | 先慢后快，指数爆炸 | 先快后慢，增长平缓 | 介于指数函数与对数函数之间,相对平稳 |
| 图象的变化 | 随x的增大，图象与轴接近平行 | 随x的增大，图象与轴接近平行 | 随n值变化而各有不同 |
| 值的比较 | 存在一个，当时，有 | ||
三、函数模型的应用
解函数应用题的一般步骤，可分以下四步进行：
（1）认真审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；
（2）建立模型：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
（3）求解模型：求解数学模型，得出数学结论；
（4）还原解答：将利用数学知识和方法得出的结论，还原到实际问题中.
用框图表示如下：
建模
数学问题
实际问题
审题、转化、抽象
问题 解决 解模 运算
还原
实际问题结论
数学问题答案
结合实际意义
考向一 二次函数模型的应用
在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位.根据实际问题建立二次函数解析式后，可以利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等来求函数的最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等问题.
典例1 山东省寿光市绿色富硒产品和特色农产品在国际市场上颇具竞争力，其中香菇远销日本和韩国等地.上市时，外商李经理按市场价格元/千克在本市收购了千克香菇存放入冷库中.据预测，香菇的市场价格每天每千克将上涨元，但冷库存放这批香菇时每天需要支出各种费用合计元，而且香菇在冷库中最多保存天，同时，平均每天有千克的香菇损坏不能出售.
（1）若存放天后，将这批香菇一次性出售，设这批香菇的销售总金额为元，试写出与之间的函数关系式；
（2）李经理如果想获得利润元，需将这批香菇存放多少天后出售？（提示：利润=销售总金额-收购成本-各种费用）
（3）李经理将这批香菇存放多少天后出售可获得最大利润？最大利润是多少？
【解析】（1）由题意得，与之间的函数关系式为： .
（2）由题意得，，
化简得，，
解得，（不合题意，舍去）.
因此，李经理如果想获得利润元，需将这批香菇存放天后出售.
（3）设利润为，则由（2）得，
，
因此当时，.
又因为，
所以李经理将这批香菇存放天后出售可获得最大利润，为元.
1．根据调查，某地区有300万从事传统农业的农民，人均年收入6000元，为了增加农民的收入，当地政府积极引进资本，建立各种加工企业，对当地的农产品进行深加工，同时吸收当地部分农民进入加工企业工作.据估计，如果有万人进入企业工作，那么剩下从事传统农业的农民的人均年收入有望提高，而进入企业工作的农民的人均年收入为元．
（1）在建立加工企业后，多少农民进入企业工作，能够使剩下从事传统农业农民的总收入最大，并求出最大值；
（2）为了保证传统农业的顺利进行，限制农民进入加工企业的人数不能超过总人数的，当地政府如何引导农民，即取何值时，能使300万农民的年总收入最大．
考向二 指数函数、对数函数模型的应用
（1）在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数函数模型表示.通常可以表示为(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式.求解时可利用指数运算与对数运算的关系.
（2）已知对数函数模型解题是常见题型，准确进行对数运算及指数与对数的互化即可.
典例2 一片森林原来面积为a,计划每年砍伐一些树,且使森林面积每年比上一年减少p%,10年后森林面积变为.为保护生态环境,森林面积至少要保留原面积的,已知到今年为止,森林面积为.
（1）求p%的值;
（2）到今年为止,该森林已砍伐了多少年?
（3）今后最多还能砍伐多少年?
【解析】（1）由题意得,即,
解得 .
（2）设经过m年，森林面积变为,
则,即，解得m=5,
故到今年为止,已砍伐了5年.
（3）设从今年开始,以后还可砍伐n年,则n年后的森林面积为,
令,即,,,解得n≤15,
故今后最多还能砍伐15年.
典例3 某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量与时间之间的关系为．已知后消除了的污染物，试求：
（1）后还剩百分之几的污染物．
（2）污染物减少所需要的时间．（参考数据：，，）
【解析】（1）由，可知时，，
当时，，
所以，
当时，，
所以个小时后还剩的污染物．
（2）当时，有，
解得，
所以污染物减少所需要的时间为个小时．
2．在标准温度和压力下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度（单位：，记作）和氢氧根离子的物质的量的浓度（单位：，记作）的乘积等于常数.已知值的定义为，健康人体血液值保持在7.35～7.45之间，则健康人体血液中的可以为
（参考数据：，）
A．5 B．7
C．9 D．10
3．从金山区走出去的陈驰博士，在《自然—可持续性》杂志上发表的论文中指出：地球正在变绿，中国通过植树造林和提高农业效率，在其中起到了主导地位．已知某种树木的高度(单位：米)与生长年限（单位：年，tN*）满足如下的逻辑斯蒂函数：，其中e为自然对数的底数.设该树栽下的时刻为0.
（1）需要经过多少年，该树的高度才能超过5米？（精确到个位）
（2）在第几年内，该树长高最快？
考向三 分段函数模型的应用
（1）在现实生活中，很多问题的两变量之间的关系，不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成分段函数．如出租车票价与路程之间的关系，就是分段函数．
（2）分段函数主要是每一段上自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其作为几个不同问题，将各段的规律找出来，再将其合在一起．要注意各段变量的范围，特别是端点．
（3）构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理，不重不漏．
典例4 某公司利用线上、实体店线下销售产品，产品在上市天内全部售完.据统计，线上日销售量、线下日销售量（单位：件）与上市时间天的关系满足：，产品每件的销售利润为(单位：元)（日销售量线上日销售量线下日销售量）.
（1）设该公司产品的日销售利润为，写出的函数解析式；
（2）产品上市的哪几天给该公司带来的日销售利润不低于元？
【解析】（1）由题意可得：
当时，日销售量为，日销售利润为：；
当时，日销售量为，日销售利润为：；
当时，日销售量为，日销售利润为：.
综上可得：
（2）当时，由，解得；
当时，由，解得；
当时，，无解.
故第5天至第15天给该公司带来的日销售利润不低于元.
4．某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍稀水果树的单株产量（单位：千克）与施用肥料（单位：千克）满足如下关系：，肥料成本投入为元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）为元．已知这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销路畅通供不应求．记该水果树的单株利润为（单位：元）．
（Ⅰ）求的函数关系式；
（Ⅱ）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大?最大利润是多少?
考向四 函数模型的比较
根据几组数据，从所给的几种函数模型中选择较好的函数模型时，通常是先根据所给的数据确定各个函数模型中的各个参数，即确定解析式，然后再分别验证、估计，选出较好的函数模型.
典例5 某工厂第一季度某产品月生产量依次为10万件，12万件，13万件，为了预测以后每个月的产量，以这3个月的产量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量（单位：万件）与月份的关系. 模拟函数；模拟函数.
（1）已知4月份的产量为13.7万件，问选用哪个函数作为模拟函数较好？
（2）受工厂设备的影响，全年的每月产量都不超过15万件，请选用合适的模拟函数预测6月份的产量.
【解析】（1）若用模拟函数1：，
则有，解得，
即，
当时，．
若用模拟函数2：，
则有，解得，
即，
当时，．
所以选用模拟函数1较好．
（2）因为模拟函数1：是单调增函数，所以当时，生产量远大于他的最高限量；
模拟函数2：也是单调增函数，但生产量，所以不会超过15万件，所以应该选用模拟函数2：好．
当时，，
所以预测6月份的产量为万件.
5．某地区今年1月，2月，3月患某种传染病的人数分别为52，54，58，为了预测以后各月的患病人数，甲选择了模型，乙选择了模型，其中y为患病人数，x为月份数，a，b，c，p，q，r都是常数，结果4月，5月，6月份的患病人数分别为66，82，115.
（1）你认为谁选择的模型较好？需说明理由
（2）至少要经过多少个月患该传染病的人数将会超过2000人？试用你选择的较好模型解决上述问题．
1．某学校开展研究性学习活动，一组同学获得了下面的一组试验数据：
| x | 1.99 | 2.8 | 4 | 5.1 | 8 |
| y | 0.99 | 1.58 | 2.01 | 2.35 | 3.00 |
现有如下4个模拟函数：
①y=0.6x-0.2；②y=x2-55x+8；③y=log2x；④y=2x-3.02．
请从中选择一个模拟函数，使它比较近似地反映这些数据的规律，应选
A． B．
C． D．
2．国家相继出台多项政策控制房地产行业，现在规定房地产行业收入税如下：年收入在280万元及以下的税率为；超过280万元的部分按征税．现有一家公司的实际缴税比例为，则该公司的年收入是
A．万元 B．万元
C．万元 D．万元
3．某高校为提升科研能力，计划逐年加大科研经费投入.若该高校2017年全年投入科研经费1300万元，在此基础上，每年投入的科研经费比上一年增长，则该高校全年投入的科研经费开始超过2000万元的年份是( )(参考数据：，，)
A．2020年 B．2021年
C．2022年 D．2023年
4．某种热饮需用开水冲泡，其基本操作流程如下：①先将水加热到100，水温与时间近似满足一次函数关系；②用开水将热饮冲泡后在室温下放置，温度与时间近似满足函数的关系式为（为常数），通常这种热饮在40时，口感最佳，某天室温为时，冲泡热饮的部分数据如图所示，那么按上述流程冲泡一杯热饮，并在口感最佳时饮用，最少需要的时间为
A．35 B．30
C．25 D．20
5．某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元．当销售单价为6元时，日均销售量为480桶．根据数据分析，销售单价在进价基础上每增加1元，日均销售量就减少40桶．为了使日均销售利润最大，销售单价应定为
A．元 B．元
C．元 D．元
6．某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：顾客购物总金额不超过800元，不享受任何折扣；如果顾客购物总金额超过800元，则超过800元部分享受一定的折扣优惠，并按下表折扣分别累计计算：
| 可以享受折扣优惠金额 | 折扣率 |
| 不超过500元的部分 | |
| 超过500元的部分 |
若某顾客在此商场获得的折扣金额为50元，则此人购物实际所付金额为
A．1500元 B．1550元
C．1750元 D．1800元
7．衣柜里的樟脑丸随着时间推移会挥发而体积变小,若它的体积随时间的变化规律是（为自然对数的底数），其中为初始值.若，则的值约为 ____________.(运算结果保留整数，参考数据：
8．某种产品的产销量情况如图所示，其中：表示产品各年年产量的变化规律；表示产品各年的销售量变化情况.有下叙述：
（1）产品产量、销售量均以直线上升，仍可按原生产计划进行下去；
（2）产品已经出现了供大于求的情况，价格将趋跌；
（3）产品的库存积压将越来越严重，应压缩产量或扩大销售量；
（4）产品的产、销情况均以一定的年增长率递增.
你认为较合理的是 （把你认为合理结论的序号都填上）.
9．美国对中国芯片的技术封锁，这却激发了中国“芯”的研究热潮.某公司研发的，两种芯片都已经获得成功.该公司研发芯片已经耗费资金千万元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入千万元，公司获得毛收入千万元；生产芯片的毛收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系为，其图象如图所示.
（1）试分别求出生产，两种芯片的毛收入（千万元）与投入资金（千万元）的函数关系式；
（2）如果公司只生产一种芯片，生产哪种芯片毛收入更大？
（3）现在公司准备投入亿元资金同时生产，两种芯片，设投入千万元生产芯片，用表示公司所得的利润，当为多少时，可以获得最大利润？并求最大利润.（利润芯片毛收入芯片毛收入研发耗费资金）
10．某电动小汽车生产企业，年利润（出厂价投入成本）年销售量.已知上年度生产电动小汽车的投入成本为万元/辆，出厂价为万/辆，年销售量为辆，本年度为打造绿色环保电动小汽车，提高产品档次，计划增加投入成本，若每辆电动小汽车投入成本增加的比例为（），则出厂价相应提高的比例为.同时年销售量增加的比例为.
（1）写出本年度预计的年利润（万元）与投入成本增加的比例的函数关系式；
（2）为了使本年度的年利润最大，每辆车投入成本增加的比例应为多少？最大年利润是多少？
11．习总书记在十九大报告中，提出新时代坚持和发展中国特色社会主义的基本方略，包括“坚持人与自然和谐共生，加快生态文明体制改革，建设美丽中国”. 目前我国一些高耗能低效产业（煤炭、钢铁、有色金属、炼化等）的产能过剩，将严重影响生态文明建设，“去产能”将是一项重大任务.十九大后，某行业计划从 2018 年开始，每年的产能比上一年减少的百分比为 .
（1）设年后（2018 年记为第 1 年）年产能为 2017 年的倍，请用表示；
（2）若，则至少要到哪一年才能使年产能不超过 2017 的 25%？
参考数据：,.
12．已知某物体的温度θ(单位：摄氏度)随时间t(单位：分钟)的变化规律： ．
（1）如果，求经过多少时间，物体的温度为5摄氏度；
（2）若物体的温度总不低于2摄氏度，求m的取值范围．
13．某小型机械厂有工人共名，工人年薪4万元/人，据悉该厂每年生产台机器，除工人工资外，还需投入成本为(万元)，且每台机器售价为万元.通过市场分析，该厂生产的机器能全部售完．
（1）写出年利润（万元）关于年产量的函数解析式；
（2）问：年产量为多少台时，该厂所获利润最大？
14．某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得25万元~ 1600万元的投资收益，现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y(单位:万元)随投资收益x(单位:万元)的增加而增加，奖金不超过75万元，同时奖金不超过投资收益的20%．(即：设奖励方案函数模型为y=f (x)时，则公司对函数模型的基本要求是：当x∈[25，1600]时，①f(x)是增函数;②f (x) 75恒成立;③恒成立．
（1）判断函数是否符合公司奖励方案函数模型的要求，并说明理由;
（2）已知函数符合公司奖励方案函数模型要求，求实数a的取值范围．
1．（2016四川文科）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12％，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是
(参考数据：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)
A．2018年 B．2019年
C．2020年 D．2021年
2．（2019年高考北京文数）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．
①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；
②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为__________．
变式拓展
1．【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】（1）由题意，如果有万人进入企业工作，设从事传统农业的所有农民的总收入为y万元，
则，
则图象的对称轴为，抛物线开口向下，
即当时，y取得最大值为万元．
即由100万人进入企业工作，能够使剩下从事传统农业的所有农民的总收入最大，最大为2400000万元．
（2）设300万农民的总收入为，，
则，
易知图象的对称轴为，
①当时，，当时，取得最大值；
②当时，，当时，取得最大值．
综上，当时，，能使300万农民的年总收入最大；当时，，能使300万农民的年总收入最大.
2．【答案】B
【解析】由题意可知，，且，
所以，
因为，所以，
，
分析比较可知，
所以可以为7.
故选B．
3．【答案】（1）8年；（2）第四年内或第五年内.
【解析】（1）令，解得，
即需要经过8年，该树的高度才能超过5米.
（2）当N*时，.
设，则，
.
令，则.
上式当且仅当时，取得最大值，
此时，，即，解得.
由于要求为正整数，故树木长高最快的可能值为4或5，
所以，该树在第四年内或第五年内长高最快．
4．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）当施用肥料为4千克时，种植该果树获得的最大利润是480元．
【解析】（Ⅰ）由已知
.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得.
当时，；
当时， ，
当且仅当，即时等号成立．
因为，
所以当时，．
∴当施用肥料为4千克时，种植该果树获得的最大利润是480元．
5．【答案】（1）应将作为模拟函数，理由见解析；（2）个月.
【解析】（1）由题意，把，2，3代入得：，
解得，，，
所以，
所以，，
；
把，2，3代入，得：，
解得，，，
所以，
所以，，.
、、更接近真实值，
应将作为模拟函数．
（2）令，解得，
至少经过11个月，患该传染病的人数将会超过2000人．
考点冲关
1．【答案】C
【解析】根据表中数据，画出图象如下：
通过图象可以看出，y=log2x能比较近似地反映这些数据的规律．
故选C．
2．【答案】D
【解析】设该公司的年收入为a万元，则280p%+（a﹣280）（p+2）%=a（p+0.25）%，
解得a==320．
故选D．
3．【答案】B
【解析】若年是第一年，则第年科研费为，
由，可得，
得，
即年后，到年科研经费超过万元.
故选B．
4．【答案】C
【解析】由题意，当0≤t≤5时，函数图象是一段线段，
当t≥5时，函数的解析式为，
将点（5，100）和点（15，60）代入解析式，得，
解得a＝5,b=20，
故函数的解析式为，t≥5．
令y=40，解得t=25,
∴最少需要的时间为25min．
故选C．
5．【答案】D
【解析】设定价在进价的基础上增加x元，日销售利润为y元，
则y=x[480﹣40（x﹣1）]﹣200，
由于x＞0，且520﹣40x＞0，所以0＜x＜13.
即y=﹣40x2+520x﹣200，0＜x＜13．
所以，当时，y取最大值．
∴销售单价应定为元.
故选D.
6．【答案】A
【解析】设此商场购物总金额为元，可以获得的折扣金额为元，
由题设可知：，
因为，所以，
所以，解得，
故此人购物实际所付金额为（元）.
故选A．
7．【答案】11
【解析】由题意，设一个樟脑丸的体积变为时，需要经过的时间为，
则，即，所以，
所以.
8．【答案】（2），（3）
【解析】产品产量、销售量均以直线上升，但表示年产量的直线斜率大，上升快，斜率小，上升慢，所以随着的增加，两者差距加大，出现了供大于求的情况，库存积压越来越严重.
9．【答案】（1），；（2）详见解析；（3）千万元时，公司所获利润最大，最大利润千万元.
【解析】（1）由已知易得生产芯片的毛收入为；
将，代入，得
所以，生产芯片的毛收入.
（2）由，得；
由，得；
由，得.
所以，当投入资金大于万元时，生产芯片的毛收入大；
当投入资金等于千万元时，生产、芯片的毛收入相等；
当投入资金小于千万元时，生产芯片的毛收入大.
（3）公司投入亿元资金同时生产，两种芯片，设投入千万元生产芯片，则投入千万元资金生产芯片，公司所获利润 ，
故当，即千万元时，公司所获利润最大，最大利润为千万元.
10．【答案】（1）（）；每辆车投入成本增加的比例为时，本年度的年利润最大，且最大年利润是万元.
【解析】（1）由题意，得（），
即（）.
（2）.
∴当时，取得最大值，为，
∴每辆车投入成本增加的比例为时，本年度的年利润最大，且最大年利润是万元.
11．【答案】（1）；（2）至少要到2031年才能使年产能不超过2017年的25%.
【解析】（1）依题意得：，则，则.
（2）设年后年产能不超过2017年的25%，则，即，
即，，
则，，
∵，且，
∴的最小值为14.
答：至少要到2031年才能使年产能不超过2017年的25%.
12．【答案】（1）1分钟；（2）.
【解析】（1）若，则，
当时，，
令，则，
即，解得或 (舍去)，
此时.
所以经过1分钟，物体的温度为5摄氏度．
（2）物体的温度总不低于2摄氏度，即恒成立，
亦恒成立，亦即恒成立．
令，则，所以，
由于，所以.
因此，当物体的温度总不低于2摄氏度时，m的取值范围是.
13．【答案】（1）；（2）当年产量为100台时，该厂在生产中获利最大，最大利润为850万元.
【解析】（1）依题意有.
（2）当时，
此时时，取得最大值，为万元；
当时，，
当且仅当时，即时，取得最大值，为万元．
综上可知，当年产量为100台时，该厂在生产中获利最大，最大利润为850万元．
14．【答案】（1）函数模型不符合公司要求，详见解析；（2）[1，2].
【解析】（1）对于函数模型，
当x∈[25, 1600]时， f (x)是单调递增函数，
则f (x) ≤f (1600) ≤75，显然恒成立，
若函数恒成立，即，解得x≥60，
∴不恒成立，
综上所述，函数模型满足基本要求①②，但是不满足③，
故函数模型不符合公司要求．
（2）当x∈[25，1600]时，单调递增，
∴最大值，∴，
设恒成立，∴恒成立，
即，
∵，当且仅当x=25时取等号，∴a2≤2+2=4，
∵a≥1，∴1≤a≤2，
故a的取值范围为[1，2].
直通高考
1．【答案】B
【解析】设从2015年开始第年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，
由已知得，
两边取常用对数得
，
故从2019年开始，该公司全年投入的研发资金开始超过200万元.
故选B.
2．【答案】①130；②15
【解析】①时，顾客一次购买草莓和西瓜各一盒，需要支付元.
②设顾客一次购买水果的促销前总价为元，
当元时，李明得到的金额为，符合要求；
当元时，有恒成立，
即，
因为，所以的最大值为.
综上，①130；②15.
【名师点睛】本题主要考查函数的最值，不等式的性质及恒成立，数学的应用意识，数学式子变形与运算求解能力.以实际生活为背景，创设问题情境，考查学生身边的数学，考查学生的数学建模素养.
请先 ！