2020年高考各科总复习考点一遍过讲义考点21 等差数列及其前n项和-备战2020年高考数学（文）考点一遍过

考点21 等差数列及其前n项和

（1）理解等差数列的概念.

（2）掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.

（3）能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题.

（4）了解等差数列与一次函数的关系.

一、等差数列

1．等差数列的概念

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．即，为常数．

2．等差中项

如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项，且．

3．等差数列的通项公式及其变形

以为首项，d为公差的等差数列的通项公式为．

公式的变形：，．

4．等差数列与一次函数的关系

由等差数列的通项公式，可得．

令，，则，其中，为常数．

（1）当时，在一次函数的图象上，数列的图象是直线上均匀分布的一群孤立的点，且当时数列为递增数列，当时数列为递减数列．

（2）当时，，等差数列为常数列，数列的图象是平行于x轴的直线（或x轴）上均匀分布的一群孤立的点．

二、等差数列的前n项和

1．等差数列的前n项和

首项为，末项为，项数为n的等差数列的前n项和公式：．

令，，可得，则

当，即时，是关于n的二次函数，点是的图象上一系列孤立的点；

当，即时，是关于n的一次函数，即或常函数，即，点是直线上一系列孤立的点．

我们可以借助二次函数的图象和性质来研究等差数列的前n项和的相关问题．

2．用前n项和公式法判定等差数列

等差数列的前n项和公式与函数的关系给出了一种判断数列是否为等差数列的方法：若数列的前n项和，那么当且仅当时，数列是以为首项，为公差的等差数列；当时，数列不是等差数列．

三、等差数列的性质

1．等差数列的常用性质

由等差数列的定义可得公差为的等差数列具有如下性质：

（1）通项公式的推广：，．

（2）若，则．

特别地，①若，则；

②若，则．

③有穷等差数列中，与首末两项等距离的两项之和都相等，都等于首末两项的和，即

 

（3）下标成等差数列的项组成以md为公差的等差数列．

（4）数列是常数是公差为td的等差数列．

（5）若数列为等差数列，则数列是常数仍为等差数列．

（6）若，则．

2．与等差数列各项的和有关的性质

利用等差数列的通项公式及前n项和公式易得等差数列的前n项和具有如下性质：

设等差数列（公差为d）和的前n项和分别为，

（1）数列是等差数列，首项为，公差为．

（2）构成公差为的等差数列．

（3）若数列共有项，则，．

（4）若数列共有项，则，．

（5），．

考向一 等差数列的判定与证明

等差数列的判定与证明的方法：

定义法：或是等差数列；

定义变形法：验证是否满足；

等差中项法：为等差数列；

通项公式法：通项公式形如为常数为等差数列；

前n项和公式法：为常数为等差数列．

注意：（1）若判断一个数列不是等差数列，只需找出三项，使得即可；

（2）如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法．

典例1 已知数列满足，则“数列为等差数列”是“数列为等差数列”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】若数列是等差数列，设其公差为，则，

所以数列是等差数列.

若数列是等差数列，设其公差为，则，不能推出数列是等差数列.

所以“数列为等差数列”是“数列为等差数列”的充分不必要条件，故选A．

【名师点睛】根据等差数列的定义，“数列为等差数列”能推出“数列为等差数列”，“数列为等差数列”不能推出“数列为等差数列”，从而可得结果.

1．已知数列的前项和为.

（1）若为等差数列，求证：；

（2）若，求证：为等差数列.

考向二 等差数列中基本量的求解

1．等差数列运算问题的一般求法是设出首项和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解．

2．等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量，，d，n，，知其中三个就能求另外两个，体现了方程的思想．

典例2 已知 为等差数列，为其前项和，若，，则_______.

【答案】6

【解析】∵是等差数列，∴，，∴，解得，

∴，故填6．

典例3 在等差数列中，a₁＝1，S₅＝－15.

（1）求数列的通项公式；

（2）若数列的前k项和S_k＝－48，求k的值．

【解析】（1）设等差数列的公差为d，则.

由a₁＝1，S₅＝－15，可得5＋10d＝－15，解得d＝－2，

故.

（2）由（1）可知a_n＝3－2n，所以.

令，即k²－2k－48＝0，解得k＝8或k＝－6.

又，故k＝8.

2．在等差数列中，已知，公差，若，则

A．19 B．18

C．17 D．16

考向三 求解等差数列的通项及前n项和

1．求解等差数列通项公式的方法主要有两种：（1）定义法.（2）前项和法，即根据前项和与的关系求解.

在利用定义法求等差数列通项公式时，常涉及设等差数列项的问题，等差数列中项的常见设法有：（1）通项法；（2）对称项设法.当等差数列的项数为奇数时，可设中间一项为，再以公差为向两边分别设项：；当等差数列的项数为偶数时，可设中间两项分别为，再以公差为向两边分别设项：.

2．递推关系式构造等差数列的常见类型：

（1）转化为常数，则是等差数列；

（2）转化为常数，则（c可以为0）是等差数列；

（3）转化为常数，则是等差数列；

（4）转化为常数，则是等差数列；

（5）转化为常数，则（c可以为0）是等差数列．

3．等差数列前n项和公式的应用方法：

根据不同的已知条件选用不同的求和公式，若已知首项和公差，则使用；若已知通项公式，则使用，同时注意与性质“”的结合使用.

典例4 已知数列中，，当时，，求数列的通项公式．

【解析】当时，，即，

两边同时取倒数，得，即，

所以数列是以为首项，为公差的等差数列，

所以，

故．

典例5 已知为等差数列的前n项和，且.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前n项和.

【解析】（1）设等差数列的公差为d，

依题意得，解得，

则.

故数列的通项公式为.

（2）由（1）得，

，

故数列的前n项和.

3．已知等差数列的前n项和满足，．

（1）求的通项公式；

（2）求．

考向四 数列的前n项和的求解

1．求数列的前n项和的关键是分清哪些项为正的，哪些项为负的，最终转化为去掉绝对值符号后的数列进行求和．

2．当的各项都为非负数时，的前n项和就等于的前n项和；当从某项开始各项都为负数（或正数）时，求的前n项和要充分利用的前n项和公式，这样能简化解题过程．

3．当所求的前n项和的表达式需分情况讨论时，其结果应用分段函数表示．

典例6 已知数列的前项和为.

（1）请问数列是否为等差数列？如果是，请证明；

（2）设，求数列的前项和.

【解析】（1）由可得，

两式相减可得

于是由可知数列为等差数列.

（2）记数列的前项和为，

 

.

故数列的前项和为.

典例7 设数列满足．

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前n项和．

【解析】（1）设 ，且数列 的前 项和为 ，则有 .

当 时， ；

当 时， .

从而 ，即 ，解得 .

（2）设数列 的前 项和为 ，当 时， ，所以有

当 时， ；

当 时，

.

综上，.

4．已知为等差数列的前项和，，.

（1）求；

（2）设，求.

考向五 等差数列的性质的应用

等差数列的性质是等差数列的定义、通项公式以及前n项和公式等基础知识的推广与变形，熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等差数列问题.

解题时要注意性质运用的限制条件，明确各性质的结构特征是正确解题的前提．如，则，只有当序号之和相等、项数相同时才成立．

典例8 已知等差数列的公差，，则__________．

【答案】180

【解析】由，

则，

又，则.

则，

故.

典例9 一个等差数列的前10项的和为30，前30项的和为10，求前40项的和．

【解析】方法1：设其首项为，公差为d，则，解得，，故．

方法2：易知数列成等差数列，设其公差为，则前3项的和为，即，

又，所以，

所以，

所以．

方法3：设，则，解得，

故，所以．

方法4：因为数列是等差数列，所以数列也是等差数列，点在一条直线上，即，，三点共线，于是，将，代入解得．

方法5：因为，

又，所以，

所以．

方法6：利用性质：，可得．

方法7：利用性质：当，时，．

由于，，可得．

5．等差数列、的前项和分别为和，若，则

A． B．

C． D．

考向六 等差数列的前n项和的最值问题

1．二次函数法：，由二次函数的最大值、最小值的知识及知，当n取最接近的正整数时，取得最大（小）值．但应注意，最接近的正整数有1个或2个．

注意：自变量n为正整数这一隐含条件.

2．通项公式法：求使()成立时最大的n值即可．

一般地，等差数列中，若，且，则

①若为偶数，则当时，最大；

②若为奇数，则当或时，最大．

3．不等式法：由，解不等式组确定n的范围，进而确定n的值和的最大值．

典例10 已知数列是一个等差数列，且，.

（1）求的通项；

（2）求的前n项和的最大值．

【解析】（1）由题意知，

所以.

（2）因为，所以，

根据二次函数的图象及性质可知，当时，前项和取得最大值，最大值为4.

典例11 已知数列,,前n项和S_n=(a_n+2)².

（1）求证：{a_n}是等差数列；

（2）设b_n=a_n−30，求数列{b_n}的前n项和的最小值.

【解析】（1）由已知得8S_n=(a_n+2)²,则8S_n−1=(a_n−1+2)²(n≥2),

两式相减,得8a_n=(a_n+2)²−(a_n−1+2)²,即(a_n+a_n−1)(a_n−a_n−1−4)=0.

因为,所以a_n+a_n−1>0,所以a_n−a_n−1=4(n≥2),

故数列{a_n}是以4为公差的等差数列.

（2）令n=1,得S₁=a₁=(a₁+2)²,解得a₁=2.

由（1）知a_n=2+(n−1)×4=4n−2,所以b_n=a_n−30=2n−31.

由b_n=2n−31<0,得n<,

即数列{b_n}的前15项为负值,n≥16时b_n>0.

设数列{b_n}的前n项和为T_n,

则T₁₅最小,其值为.

6．已知等差数列的前项和有最大值，且，则满足的最大正整数的值为

A．6 B．7

C．10 D．12

1．已知等差数列中，，，则的值为

A．51 B．34

C．64 D．512

2．已知数列满足，，，则的值为

A．12 B．15

C．39 D．42

3．等差数列的前项和为,若,则

A．18 B．27

C．36 D．45

4．已知数列满足，且，则

A．3 B．−3

C． D．

5．若是数列的前项和，若，则是

A．等比数列，但不是等差数列 B．等差数列，但不是等比数列

C．等差数列，而且也是等比数列 D．既非等比数列，也非等差数列

6．已知正项数列{a_n}中，a₁=1，a₂=2，（n≥2），则a₆=

A． B．4

C．16 D．45

7．我国南北朝时期的数学著作《张邱建算经》有这样一个问题：今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入，得金三金，持出，中间三人未到者，亦等次更给，问各得金几何？则据你对数学史的研究与数学问题的理解可知，两个人所得金相差数额绝对值的最小值是

A．斤 B．斤

C．斤 D．斤

8．函数为定义域上的奇函数，且在上是单调函数，函数；数列为等差数列，公差不为0，若，则

A． B．

C． D．

9．设各项均不为零的等差数列{a_n}的前n项和为S_n，已知，且S₁₀＝0，则使不等式成立的正整数n的最小值是

A．9 B．10

C．11 D．12

10．已知等差数列的前项和为，且，则__________．

11．设等差数列的公差是，其前项和是，若，则的最小值是__________．

12．在等差数列中，已知,.

（1）求数列的通项公式；

（2）求.

13．已知等差数列中，，.

（1）求数列的通项公式；

（2）当为何值时，数列的前项和取得最大值？

14．已知数列中，是它的前项和，且．

（1）求证：数列为等差数列.

（2）求的前项和.

15．已知正项数列满足：，其中为数列的前项和.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，记数列的前项积，试求的最小值.

1．（2017浙江）已知等差数列{a_n}的公差为d，前n项和为S_n，则“d>0”是“S₄ + S₆>2S₅”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

2．（2019年高考全国III卷文数）记为等差数列的前项和，若，则___________.

3．（2019年高考江苏卷）已知数列是等差数列，是其前n项和.若，则的值是__________．

4．（2019年高考全国I卷文数）记S_n为等差数列{a_n}的前n项和，已知S₉=-a₅．

（1）若a₃=4，求{a_n}的通项公式；

（2）若a₁>0，求使得S_n≥a_n的n的取值范围．

5．（2016新课标全国II文科）等差数列中，．

（1）求的通项公式；

（2）设，求数列的前10项和，其中表示不超过的最大整数，如[0.9]=0，[2.6]=2．

变式拓展

1．【解析】（1）已知数列为等差数列，设其公差为，有，

则，

于是，①

又，②

由①②相加得，即.

（2）由，得当时，，

所以，③

，④

④－③并整理，得，即，

所以数列是等差数列．

【名师点睛】本题主要考查了倒序相加法，以及等差数列的证明，属于中档题.等差数列的证明常常运用以下两种方法：（1）定义法，通过证明（为常数，）即可；（2）等差中项法：通过证明其满足即可.

2．【答案】C

【解析】根据题意，数列{a_n}是等差数列，且a₁＝3，公差d＝2，

所以a_n＝a₁+（n﹣1）d＝3+2n﹣2＝2n+1，

又因为a_m＝2m+1＝a₁+a₂+a₃+a₄+a₅＝5a₃＝35（m∈N*），

所以m＝17，

故选C．

【名师点睛】本题考查了等差数列的通项公式，前n项和公式，准确计算是关键，属于基础题．依题意a_n＝2n+1，且a₁+a₂+a₃+a₄+a₅＝5a₃＝35，令a_m＝35解方程即可．

3．【解析】（1）由等差数列的前n项和公式可得，

解得，，

则的通项公式为.

（2）为等差数列，

以1为首项，以为公差的等差数列，

.

【名师点睛】本题主要考查等差数列的通项公式的求解，以及等差数列的求和公式，考查学生的计算能力．

4．【解析】（1）由，及，

联立解得，，

所以．

（2）由（1）知，

可得当时，，当时，，

所以当时，，

当时，，

所以．

【名师点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式的基本量的运算，以及等差数列中绝对值的和的求解，其中解答中熟记等差数列的通项，以及合理分类讨论是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于基础题．

5．【答案】D

【解析】由题意得：，，

又，即，

.

本题正确选项为D.

【名师点睛】本题考查等差数列性质的应用，关键是能够利用中项的性质将问题转化为中间项之间的比较.

6．【答案】C

【解析】设等差数列的公差为，

因为等差数列的前项和有最大值，所以，

又，所以，，且，

所以，

，

所以满足的最大正整数的值为10.

【名师点睛】本题主要考查使等差数列前项和最大的整数，熟记等差数列求和公式以及等差数列的性质即可，属于常考题型.求解时，先设等差数列的公差为，根据前项和有最大值，得到，再由，得到，，且，根据等差数列的求和公式以及性质，即可得出结果.

考点冲关

1．【答案】A

【解析】因为为等差数列，所以，，所以选择A.

【名师点睛】本题主要考查了等差数列比较重要的一个性质；在等差数列中，若，则，属于基础题.

2．【答案】B

【解析】由题意得，所以为等差数列，且公差为，

所以，则，故选择B.

【名师点睛】本题主要考查了判断是否为等差数列以及等差数列通项的求法，属于基础题.求解本题时，根据等差数列的定义可得数列为等差数列，求出通项公式即可.

3．【答案】B

【解析】根据等差数列的性质，得，

而，所以，所以，故选B．

4．【答案】B

【解析】由数列满足，可得，所以数列是等差数列，公差为，所以，所以，故选B．

【名师点睛】该题考查的是有关对数值的求解问题，涉及到的知识点有指数式的运算性质，等差数列的性质，对数值的求解，属于简单题目.利用已知条件判断出数列是等差数列，求出公差，利用等差数列的性质化简求解即可.

5．【答案】B

【解析】当时，;

当时，，

又时，，满足通项公式，

所以此数列为等差数列.

故选B.

【名师点睛】本题考查根据数列前n项和求数列通项，注意检验时的公式对是否适用.

6．【答案】B

【解析】因为，所以所以数列为等差数列，因为，因为，因此，故选B．

【名师点睛】先根据等差数列的定义及其通项公式得出，再根据正项数列条件得a_n，即得a_6.证明或判断为等差数列的方法：

(1)用定义证明：为常数）；

(2)用等差中项证明：；

(3)通项法：为的一次函数；

(4)前项和法：.

7．【答案】C

【解析】设首项为，公差为，则根据题意可得，解得．

则两个人所得金相差数额绝对值的最小值是斤.

本题选择C选项.

【名师点睛】本题主要考查等差数列及其应用，属于基础题.求解时，由题意将原问题转化为等差数列的问题，列方程组可得，结合题意可确定两个人所得金相差数额绝对值的最小值.

8．【答案】A

【解析】由题意得：，所以，又因为函数单调且为奇函数，所以，即，即，再结合等差数列的性质可得：，故答案为A．

【名师点睛】本题主要考查奇函数的性质、等差数列的性质，本题能得出是解题的关键，属于中档题.

9．【答案】C

【解析】在等差数列{a_n}中，由S₁₀＝0，得，

则．

又∵，可知数列{a_n}为递增数列，则．

又，

∴当n＝10时，0，

当n＝11时，，

∴使不等式成立的正整数n的最小值是11．

故选C．

【名师点睛】本题主要考查了等差数列的前项和公式、等差数列的下标和性质，还考查了转化能力及数列的单调性应用，属于中档题.

10．【答案】

【解析】∵等差数列中，∴，∴．

设等差数列的公差为，则．

【名师点睛】根据等差数列中下标和的性质与前n项和公式求解，即若，则，这个性质经常和前n项和公式结合在一起应用，利用整体代换的方法可使得运算简单．

11．【答案】

【解析】由，可知，则(当且仅当n=4时取等号)．故填．

12．【解析】（1）因为是等差数列，,

所以解得.

则,.

（2）构成首项为,公差为的等差数列.

则.

【名师点睛】本题考查等差数列的通项公式和前n项和公式的应用，属于基础题.

（1）将已知条件转为关于首项和公差的方程组，解方程组求出，进而可求通项公式；

（2）由已知可得构成首项为,公差为的等差数列，利用等差数列前n项和公式计算即可.

13．【解析】（1）由题意，等差数列中，，，

则，解得，

所以数列的通项公式为.

（2）法一：由（1）知，，

则，

∴当时，取得最大值．

法二：由（1）知，，

∴是递减数列．

令，则，解得.

∵，

∴时，，时，.

∴当时，取得最大值．

【名师点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式求解，以及等差数列的前n项和的最值问题，其中解答中熟记等差数列的通项公式，以及等差数列的前n项和的最值问题的求解方法，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．

14．【解析】（1）当时，，

所以，则，

两式对应相减得，

所以，

又n=2时，，

所以，

所以，

所以数列为等差数列.

（2）当为偶数时，

；

当为奇数时，

.

综上：.

【名师点睛】本题主要考查等差数列性质的证明，考查等差数列求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

（1）先化简已知得，，再求出，再证明数列为等差数列；

（2）对n分奇数和偶数两种情况讨论得解.

15．【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）当时，有，又，∴，

又，∴.

当时，有且，

又，

两式相减，化简得：，

又，∴，

则数列是以为首项，为公差的等差数列，

∴，

故数列的通项公式为.

（2）由（1）知，，

设，则数列是以为首项，为公差的等差数列，

所以数列的前项和为，当时，有最小值.

又，

所以，

故当时，的最小值是.

【名师点睛】本题主要考查了数列的递推公式的应用，以及等差数列的通项公式和数列的求和问题，熟记数列的通项公式和数列的求和方法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与计算能力，属于基础题.（1）利用数列的递推关系式推出数列是首项为，公差为2的等差数列，即可求解数列的通项公式；（2）由（1）化简通项公式后再求和.

直通高考

1．【答案】C

【解析】由，可知当时，有，即，反之，若，则，所以“d>0”是“S₄ + S₆>2S₅”的充要条件，选C．

【名师点睛】本题考查等差数列的前项和公式，通过套入公式与简单运算，可知， 结合充分必要性的判断，若，则是的充分条件，若，则是的必要条件，该题“”“”，故互为充要条件．

2．【答案】100

【解析】设等差数列的公差为d，根据题意可得

得

【名师点睛】本题考点为等差数列的求和，为基础题目，利用基本量思想解题即可，充分记牢等差数列的求和公式是解题的关键.

3．【答案】16

【解析】由题意可得：，

解得：，则.

【名师点睛】等差数列、等比数列的基本计算问题，是高考必考内容，解题过程中要注意应用函数方程思想，灵活应用通项公式、求和公式等，构建方程（组），如本题，从已知出发，构建的方程组.

4．【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）设的公差为d．

由得．

由a₃=4得．

于是．

因此的通项公式为．

（2）由（1）得，故.

由知，故等价于，解得1≤n≤10．

所以n的取值范围是．

【名师点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等差数列的通项公式，等差数列的求和公式，在解题的过程中，需要认真分析题意，熟练掌握基础知识是正确解题的关键.

5．【答案】（1）；（2）24.

【解析】（1）设数列的公差为d，由题意有，，解得，

所以的通项公式为．

（2）由（1）知，

当1，2，3时，；

当4，5时，；

当6，7，8时，；

当9，10时，，

所以数列的前10项和为．

 

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