考点32 直线与方程
（1）在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素.
（2）理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.
（3）掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），了解斜截式与一次函数的关系.
一、直线的倾斜角与斜率
1．直线的倾斜角
（1）定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为．
（2）范围：直线l倾斜角的范围是．
2．斜率公式
（1）若直线l的倾斜角90°，则斜率．
（2）P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则直线l的斜率k＝．
二、直线的方程
1．直线方程的五种形式
| 方程 | 适用范围 |
| ①点斜式： | 不包含直线 |
| ②斜截式： | 不包含垂直于x轴的直线 |
| ③两点式： | 不包含直线和直线 |
| ④截距式： | 不包含垂直于坐标轴和过原点的直线 |
| ⑤一般式：不全为 | 平面直角坐标系内的直线都适用 |
2．必记结论
常见的直线系方程
（1）过定点P(x0，y0)的直线系方程：A(x－x0)＋B(y－y0)＋C＝0(A2＋B2≠0)还可以表示为y－y0＝k(x－x0)，斜率不存在时可设为x＝x0.
（2）平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程：Ax＋By＋C1＝0(C1≠C)．
（3）垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程：Bx－Ay＋C1＝0.
（4）过两条已知直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(其中不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0)．
考向一 直线的倾斜角与斜率
1.由斜率取值范围确定直线倾斜角的范围要利用正切函数y＝tan x的图象，特别要注意倾斜角取值范围的限制.
2.求解直线的倾斜角与斜率问题要善于利用数形结合的思想，要注意直线的倾斜角由锐角变到直角及由直角变到钝角时，需依据正切函数y＝tan x的单调性求k的范围．
典例1 若两直线的倾斜角和斜率分别为和，则下列四个命题中正确的是
A．若，则两直线的斜率： B．若，则两直线的斜率：
C．若两直线的斜率：，则 D．若两直线的斜率：，则
【答案】D
【解析】当，时，满足，但是两直线的斜率，选项A说法错误；
当时，直线的斜率不存在，无法满足，选项B说法错误；
若直线的斜率，，满足，但是，，不满足，选项C说法错误；
本题选择D选项.
【名师点睛】本题主要考查直线的斜率与倾斜角之间的关系，正切函数的单调性及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
典例2 若直线经过，两点（），那么l的倾斜角的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由直线经过，两点，可利用斜率公式得.
由，则倾斜角的取值范围是.故选B.
1．已知点，，直线l的方程为，且与线段相交，则直线l的斜率k的取值范围为
A．或 B．或
C． D．
考向二 直线的方程
求直线方程的常用方法有
1.直接法：根据已知条件灵活选用直线方程的形式，写出方程．
2.待定系数法：先根据 
已知条件设出直线方程，再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)求系数，最后代入求出直线方程．
3.直线在x(y)轴上的截距是直线与x(y)轴交点的横(纵)坐标，所以截距是一个实数，可正、可负，也可为0，而不是距离．
4. 求直线方程时，如果没有特别要求，求出的直线方程应化为一般式Ax+By+C=0，且A≥0.
典例3 已知，则过点和线段的中点的直线方程为
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意可知线段的中点坐标为，即.
故所求直线方程为，整理，得.
故选B.
典例4 △ABC的三个顶点分别为A(－3,0)，B(2,1)，C(－2, 3)，求：
（1）BC边所在直线的方程；
（2）BC边上中线AD所在直线的方程；
（3）BC边的垂直平分线DE的方程．
【解析】（1）因为直线BC经过B(2,1)和C(－2,3)两点，
所以由两点式得BC的方程为，即x+2y-4=0.
（2）设BC边的中点D的坐标为(x，y)，则.
BC边的中线AD过点A(－3,0)，D(0,2)两点，
由截距式得AD所在直线的方程为，即2x－3y＋6＝0.
（3）由（1）知，直线BC的斜率，则BC的垂直平分线DE的斜率k2＝2.
由（2）知，点D的坐标为(0,2).
由点斜式得直线DE的方程为y－2=2(x－0)，即.
【思路分析】
2．过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线的方程为
A． B．
C．或 D．或
3．一条直线经过点，并且它的倾斜角等于直线的倾斜角的2倍，则这条直线的方程是
A． B．
C． D．
考向三 共线问题
已知三点若直线的斜率相同，则三点共线.因此三点共线问题可以转化为斜率相等问题，用于求证三点共线或由三点共线求参数.
典例5 若三点共线，则实数m=_____________.
【思路分析】由三点共线构造两条直线的斜率相等，问题便转化为解方程.
【解析】由题意得.
∵三点共线，∴，
∴， 解得．
4．已知三个不同的点，，在同一条直线上，则的值是________.
1．已知M(a，b)，N(a，c)(b≠c)，则直线MN的倾斜角是
A．不存在 B．45°
C．135° D．90°
2．如果直线l过点(1，2)，且不通过第四象限，那么l的斜率的取值范围是
A．[0,1] B．[0,2]
C． D．(0,3]
3．已知直线经过点，且斜率为，则直线的方程为
A． B．
C． D．
4．直线：中，若，关于轴对称，则的倾斜角为
A． B．
C． D．
5．的图象可能是下列图中的
6．若过点P(1－a,1＋a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围是
A．(－2,1) B．(－1,2)
C．(－∞，0) D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
7．与直线平行，且与直线交于轴上的同一点的直线方程是
A． B．
C． D．
8．若过不重合的两点的直线的倾斜角为45°，则的取值为
A． B．
C． D．
9．过点P(1,3)，且与x，y轴的正半轴围成的三角形的面积等于6的直线l的一般式方程是
A．3x＋y−6=0 B．x＋3y−10=0
C．3x−y=0 D．x−3y＋8=0
10．如图，已知直线l1：y=－2x+4与直线l2：y=kx+b（k≠0）在第一象限交于点M．若直线l2与x轴的交点为A（－2，0），则k的取值范围是
A．－2＜k＜2 B．－2＜k＜0
C．0＜k＜4 D．0＜k＜2
11．直线过点，且与以，为端点的线段总有公共点，则直线斜率的取值范围是
A． B．
C． D．
12．设直线的倾斜角为，且，则直线的斜率的取值范围是__________．
13．已知三点，，在同一条直线上，则___________．
14．如图，已知直线l1的倾斜角是150°，l2⊥l1，且垂足为B.若l1，l2与x轴分别相交于点C，A，l3平分
∠BAC，则l3的倾斜角为 ．
15．已知直线l的斜率是直线2x－3y＋12＝0的斜率的，l在y轴上的截距是直线2x－3y＋12＝0在y轴上的截距的2倍，则直线l的方程为__________．
16．在平面直角坐标系中,经过点的直线与轴交于点,与轴交于点.若,则直线的方程是_________.
17．已知点在函数的图象上，当时，求的取值范围.
18．已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0.
（1）求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；
（2）为使直线l经过第一、三、四象限，求a的取值范围．
19．求满足下列条件的直线的方程：
（1）设直线的方程为.若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程；
（2）过直线：上的点作直线，若直线，与轴围成的三角形的面积为2，则直线的方程.
20．已知的三个顶点分别为是，，.
（1）求边上的高所在的直线方程；
（2）求过点且在两坐标轴上的截距相等的直线方程.
21．已知直线l经过点P（2，2）且分别与x轴正半轴，y轴正半轴交于A、B两点，O为坐标原点.
（1）求面积的最小值及此时直线l的方程；
（2）求的最小值及此时直线l的方程.
变式拓展
1．【答案】A
【解析】∵直线l的方程可化为，∴直线l过定点，如图所示，又直线的斜率，直线的斜率，∴当直线l与线段相交时，直线l的斜率k的取值范围是或.故选A．
2．【答案】D
【解析】当直线过原点时，可得斜率为，
故直线方程为，即；
当直线不过原点时，设方程为，
代入点可得，解得，
则直线方程为，
故所求直线方程为：或.
故选D．
3．【答案】B
【解析】已知直线的斜率为，则倾斜角为，
故所求直线的倾斜角为，斜率为，
由直线的点斜式得所求直线方程为，
即.
故选B．
4．【答案】
【解析】因为三个不同的点，，在同一条直线上，
所以，解得，
所以，
故答案为.
考点冲关
1．【答案】D
【解析】∵MN⊥x轴，∴直线MN的倾斜角为90°.
2．【答案】B
【解析】过点(1,2)的斜率为非负且最大斜率为此点与原点的连线的斜率时，图象不过第四象限，故l的斜率的取值范围是[0,2].
3．【答案】A
【解析】直线经过点，且斜率为，则，即.
故选A.
4．【答案】C
【解析】，关于轴对称，设，的斜率分别为和，
则有，
又由，得，
则的倾斜角为.
故选C.
5．【答案】D
【解析】因为ab≠0，所以排除选项C；
又a＋b＝0，所以斜率与截距互为相反数，显然D选项符合，
故选D.
6．【答案】A
【解析】∵过点和的直线的倾斜角为钝角，
∴直线的斜率小于0，即.
∴，∴.
故选A.
7．【答案】C
【解析】直线的斜率为，则所求直线的斜率，
直线与轴的交点坐标为，
所求直线的方程为：，即.
故选C.
8．【答案】B
【解析】过两点的直线的斜率，
∵直线的倾斜角为，
解得或，
当时， 重合，舍去，∴．
故选B．
9．【答案】A
【解析】设所求直线l的方程为(a>0，b>0)，则有，且.
由，∴直线l的方程为，即为3x＋y−6=0.
10．【答案】D
【解析】因为直线l2与x轴的交点为A（－2，0），所以，即，
将其与联立可得，
由题设，解得，
故选D.
【名师点睛】解答本题的关键是借助题设中提供的图象及函数的解析式联立方程组求出交点坐标，借助点的位置建立不等式组，通过解不等式组使得问题获解.
11．【答案】B
【解析】如图所示：
当直线过时，设直线的斜率为，则，
当直线过时，设直线的斜率为，则，
要使直线与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是，故选B.
【名师点睛】本题考查了求直线的斜率问题，考查数形结合思想，属于简单题.数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决选择题、填空题时发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.结合函数的图象，求出线段端点与点连线的斜率，从而求出斜率的范围即可.
12．【答案】
【解析】∵直线的倾斜角为，且，∴直线的斜率的取值范围是或，∴或，
∴直线的斜率的取值范围是．
13．【答案】2
【解析】三点，，在同一条直线上，
则，解得．
故答案为2．
14．【答案】30°
【解析】因为直线l1的倾斜角为150°，所以∠BCA=30°，所以l3的倾斜角为×(90°−30°)=30°.
15．【答案】
【解析】将直线化为斜截式：，斜率为，所以直线l的斜率为，
令直线中，得y轴上的截距为4，所以直线l的纵截距为8，
根据斜截式可得直线l的方程为，化简得：.
【名师点睛】本题考查直线的各种方程间的互化以及直线中的系数求法，求斜率就要化简为斜截式，求截距就令或，要熟练掌握直线方程的不同形式所对应的不同已知条件，注意各种形式下的限制条件.
16．【答案】
【解析】设，
由，可得，
则，
由截距式可得直线方程为，即，
故答案为.
【名师点睛】本题主要考查向量相等的性质以及直线的方程，直线方程主要有五种形式，每种形式的直线方程都有其局限性，斜截式与点斜式要求直线斜率存在，所以用这两种形式设直线方程时要注意讨论斜率是否存在；截距式要注意讨论截距是否为零；两点式要注意讨论直线是否与坐标轴平行；求直线方程的最终结果往往需要化为一般式.
17．【解析】的几何意义是过两点的直线的斜率，
点M在线段上运动，
易知当时，，此时与两点连线的斜率最大，为；
当时，，此时与两点连线的斜率最小，为.
，
即的取值范围为.
18．【解析】（1）将直线l的方程整理为y－＝，
所以l的斜率为a，且过定点，
而点在第一象限，
故不论a为何值，直线l恒过第一象限．
（2）将方程化为斜截式方程：y＝ax－ .
要使l经过第一、三、四象限，则，解得a>3.
【名师点睛】有关直线过定点的求法：当直线方程含有参数时，把含参数的项放在一起，不含参数的项放在一起，分别令其为零，可求出直线过定点的坐标；直线l经过第一、三、四象限，只需斜率为正，截距为负，列出不等式组解出a的范围.
19．【解析】（1）当直线过原点时，该直线在轴和轴上的截距为0，∴，
则直线的方程为.
当直线不经过原点时，截距存在且均不为0，直线的方程为，
∴∴，
则直线的方程为.
综上，直线的方程为或.
（2）①若直线的斜率不存在，则直线的方程为，
直线，直线和轴围成的三角形的面积为2，符合题意；
②若直线的斜率，则直线与轴没有交点，不符合题意；
③若直线的斜率，设其方程为，
令，得，
依题意有，解得，
所以直线的方程为，即.
综上可知，直线的方程为或.
【名师点睛】本题主要考查直线的方程，直线方程主要有五种形式，每种形式的直线方程都有其局限性，斜截式与点斜式要求直线斜率存在，所以用这两种形式设直线方程时要注意讨论斜是否存在；截距式要注意讨论截距是否为零；两点式要注意讨论直线是否与坐标轴平行；求直线方程的最终结果往往需要化为一般式.
20．【解析】（1）依题意得，，
因为，
所以直线的斜率为，
可得直线的方程为，
即直线的方程为.
（2）①当两截距均为0时，设直线方程为，
因为直线过点，解得，
即所求直线方程为，
②当截距均不为0时，设直线方程为，
因为直线过点，解得，
即所求直线方程为，
综上所述，所求直线方程为或.
21．【解析】设直线，则直线.
（1），
当且仅当时，等号成立，
即.
（2）
，
当且仅当时等号成立，即.
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